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        6-UPS并聯(lián)機(jī)器人快速正向運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

        2019-04-29 02:21:00劉艷梨吳洪濤王若冰徐媛媛
        關(guān)鍵詞:運(yùn)動(dòng)學(xué)并聯(lián)姿態(tài)

        劉艷梨 吳洪濤 李 耀 王若冰 徐媛媛 陳 柏

        (1.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院, 南京 210016; 2.江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院機(jī)械工程系, 徐州 221011;3.南通理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院, 南通 226002)

        0 引言

        現(xiàn)有的求解6-UPS并聯(lián)機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方法[1]可概括為多項(xiàng)式、添加傳感器、數(shù)值迭代3類方法,這些方法不具備實(shí)時(shí)反饋的能力。多項(xiàng)式方法可以通過采用對(duì)偶四元數(shù)方法[2]、特殊的幾何性質(zhì)[3]、Gr?bner基算法[4-5]、區(qū)間分析[6]和代數(shù)消元[7-8]等方法求解非線性方程組,化簡得到一元40、20、17、14次的代數(shù)方程,最終得到所有可能解,包括無理復(fù)根和增根的所有解,運(yùn)動(dòng)學(xué)正解多解對(duì)應(yīng)多種裝配模式,且計(jì)算時(shí)間長,給實(shí)時(shí)反饋控制帶來困難。文獻(xiàn)[9]采用方位特征集方法得到了全解析算法,解決了多解容易產(chǎn)生增根、出現(xiàn)失根問題。傳感器方法通過添加4個(gè)[10]、3個(gè)[11]、2個(gè)[12]甚至1個(gè)傳感器[13-14]來輔助計(jì)算正向運(yùn)動(dòng)學(xué),能夠得到較好結(jié)果,但是,添加傳感器不但增加了硬件成本,還引入傳感器測(cè)量誤差等問題。文獻(xiàn)[13]采用傳感器方法得到唯一位姿,但是推導(dǎo)過程繁瑣,計(jì)算時(shí)間較長。數(shù)值迭代方法關(guān)鍵是選取一個(gè)合適的初始值,如果初值選取得當(dāng),使用牛頓-拉夫森迭代方法可以得到唯一解[15-18],否則會(huì)影響系統(tǒng)的魯棒性,同時(shí)無法得到所有的裝配模式。文獻(xiàn)[19]采用四元數(shù)得到了正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的快速數(shù)值解,消除了姿態(tài)矩陣的數(shù)學(xué)奇異性,是一個(gè)較好的數(shù)值方法。文獻(xiàn)[20]研究了冗余驅(qū)動(dòng)的數(shù)值解,消除了算法中位置和姿態(tài)的數(shù)學(xué)奇異性。文獻(xiàn)[21]采用齊次坐標(biāo)變換求解反向運(yùn)動(dòng)學(xué)。文獻(xiàn)[22]采用由點(diǎn)和方位矢量形成的自然坐標(biāo)法來描述多體系統(tǒng)的位置,而沒有使用角度坐標(biāo)。文獻(xiàn)[23]利用鏈路的自然坐標(biāo)來描述相鄰鏈路的相對(duì)運(yùn)動(dòng),這些自然坐標(biāo)僅描述機(jī)構(gòu)與所選擇的相對(duì)系統(tǒng)之間的關(guān)系,而不管機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[24]通過選擇合適的點(diǎn)和方位矢量形成的自然坐標(biāo)描述多體系統(tǒng),建立了一個(gè)合適的模型。文獻(xiàn)[25]提出了用自然坐標(biāo)表示的致動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)力公式。采用自然坐標(biāo)方法描述系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué),可有利于建立二次或線性的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組,能避免三角函數(shù)等超越函數(shù)計(jì)算。

        本文將并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)參數(shù)選為若干點(diǎn)的坐標(biāo),選擇平面平臺(tái)型6-UPS并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)平面中2個(gè)動(dòng)坐標(biāo)軸端點(diǎn)和坐標(biāo)軸原點(diǎn)為代表點(diǎn),將并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)表示為3個(gè)代表點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)形式,建立9個(gè)一次和二次多項(xiàng)式方程,進(jìn)行消元處理,得到6個(gè)二次多項(xiàng)式方程,在此基礎(chǔ)上,改進(jìn)牛頓-拉夫森迭代算法,最終求解得到唯一一組位置和姿態(tài)參數(shù)。

        1 6-UPS并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

        1.1 結(jié)構(gòu)

        6-UPS并聯(lián)機(jī)器人及其坐標(biāo)系如圖1所示。該機(jī)構(gòu)包括動(dòng)、靜上下2個(gè)平臺(tái)和6條結(jié)構(gòu)一致支腿組成,各個(gè)支腿和動(dòng)平臺(tái)之間通過球鉸S連接,和靜平臺(tái)之間通過虎克鉸U連接,支腿上有移動(dòng)副P,通過對(duì)P施加驅(qū)動(dòng),來保證整個(gè)平臺(tái)的期望運(yùn)動(dòng)。該機(jī)構(gòu)屬于平面平臺(tái)型,即動(dòng)、靜平臺(tái)的6個(gè)球鉸S和6個(gè)虎克鉸U中心分別布置在兩個(gè)平面之中。為了方便分析,選擇絕對(duì)靜坐標(biāo)系Obxyz與靜平臺(tái)固連,相對(duì)動(dòng)坐標(biāo)系Oaαβγ與動(dòng)平臺(tái)固連,其中,Oa、Ob分別是動(dòng)、靜平臺(tái)的外接圓圓心;z、γ軸分別垂直于各自所在平面。動(dòng)、靜平臺(tái)6對(duì)頂點(diǎn)Ai、Bi(i=1,2,…,6)分別循環(huán)對(duì)稱布置在一個(gè)平面圓周上,如圖2所示。

        圖1 6-UPS并聯(lián)機(jī)器人簡圖Fig.1 Structure diagram of 6-UPS parallel robot

        圖2 6-UPS并聯(lián)機(jī)器人的頂點(diǎn)布置示意圖Fig.2 Vertices arrangement schematic of 6-UPS parallel robot

        選擇3點(diǎn)P1、P2、P3為代表點(diǎn),分別位于動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)Oa、α軸端點(diǎn)和β軸的端點(diǎn)處,如圖1所示。用P1=(x1,y1,z1)T、P2=(x2,y2,z2)T、P3=(x3,y3,z3)T分別表示3個(gè)代表點(diǎn)P1、P2、P3在靜坐標(biāo)系Obxyz中的位置坐標(biāo),于是正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中含有9個(gè)待求變量。

        1.2 基于代表點(diǎn)坐標(biāo)的位置P和姿態(tài)R

        P2、P3和P1存在如下關(guān)系:P2=P1+R·x,P3=P1+R·y。動(dòng)平臺(tái)動(dòng)坐標(biāo)系Oaαβγ的α、β、γ軸對(duì)應(yīng)的矢量記為:α=(αx,αy,αz)T,β=(βx,βy,βz)T,γ=(γx,γy,γz)T。則矢量α、β、γ用代表點(diǎn)P1、P2、P3坐標(biāo)表示后可得

        α=P2-P1=(x2,y2,z2)T-(x1,y1,z1)T= ((x2-x1),(y2-y1),(z2-z1))T

        (1)

        同理可得

        β=((x3-x1),(y3-y1),(z3-z1))T

        (2)

        由于γ垂直于α和β所決定的平面,所以存在

        (3)

        靜坐標(biāo)系基矢量為:x=(1,0,0)T;y=(0,1,0)T;z=(0,0,1)T。采用代表點(diǎn)表示,動(dòng)平臺(tái)位置在靜坐標(biāo)系中的位置矢量為P=P1=(x1,y1,z1)T;姿態(tài)矩陣R表示為

        (4)

        根據(jù)式(1)~(3)可得αx=x2-x1、αy=y2-y1、αz=z2-z1、βx=x3-x1、βy=y3-y1、βz=z3-z1、γx=y1z2-y1z3-y2z1+y2z3+y3z1-y3z2、γy=-x1z2+x1z3+x2z1-x2z3-x3z1+x3z2、γz=x1y2-x1y3-x2y1+x2y3+x3y1-x3y2。

        2 6-UPS并聯(lián)機(jī)器人位置矢量方程構(gòu)建

        Lkek=P+Rak-bk(k=1,2,…,6)

        (5)

        其中

        ak=(akα,akβ,akγ)T

        bk=(bkx,bky,bkz)T

        式中Lk——第k個(gè)連桿桿長

        ek——第k個(gè)連桿單位矢量

        ak——?jiǎng)幼鴺?biāo)系Oaαβγ中動(dòng)平臺(tái)各個(gè)頂點(diǎn)Ak坐標(biāo)值

        bk——靜坐標(biāo)系Obxyz中靜平臺(tái)各個(gè)頂點(diǎn)Bk坐標(biāo)值

        圖1所示機(jī)構(gòu),因動(dòng)、靜平臺(tái)均為平面布置,所以ak、bk的γ軸和z軸分量均為0,即akγ=bkz=0,也即ak=(akα,akβ,0)T,bk=(bkx,bky,0)T,可見動(dòng)、靜平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)也可以通過4個(gè)變量ra、rb、θa、θb來表示,各點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)一步表示如下

        (6)

        其中

        令W為動(dòng)平臺(tái)在動(dòng)坐標(biāo)系中的位置矢量,W=(Wx,Wy,Wz)T,則存在P=RW,結(jié)合R的正交性,同時(shí)成立:W=RTP。將ak、bk、P、R和W代入式(5),兩邊與自身進(jìn)行矢量點(diǎn)乘,得到6個(gè)桿長平方標(biāo)量方程式如下(此處省略下標(biāo)k)

        (7)

        其中Px=P·xPy=P·yWx=P·αWy=P·β

        αx=α·xαy=α·yβx=β·xβy=β·y

        式中Pp——位置矢量P模長平方

        Px——P在x方向上的投影

        Py——P在y方向上的投影

        Wx——P在α方向上的投影

        Wy——P在β方向上的投影

        αx——α在x方向上的投影

        αy——α在y方向上的投影

        βx——β在x方向上的投影

        βy——β在y方向上的投影

        式中,含Pp、Px、Py、Wx、Wy、αx、αy、βx、βy等9個(gè)未知數(shù),各個(gè)未知數(shù)之間由動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)各個(gè)參數(shù)聯(lián)系起來,且9個(gè)未知數(shù)的系數(shù)由平臺(tái)結(jié)構(gòu)參數(shù)和桿長參數(shù)決定。

        3 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型構(gòu)造并求解

        正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題就是已知機(jī)構(gòu)的6個(gè)桿長輸入,求解末端運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置矢量P和姿態(tài)矩陣R。此處首先將正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題轉(zhuǎn)換為構(gòu)造和求解6個(gè)二次多項(xiàng)式方程問題。

        3.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型構(gòu)造

        由式(7)可得,通過對(duì)Pp、Px、Py、Wx、Wy、αx、αy、βx、βy9個(gè)未知數(shù)進(jìn)行移項(xiàng)、整理,可解得

        (8)

        其中

        (9)

        將9個(gè)未知數(shù)的代表點(diǎn)表達(dá)式代入式(8)后可得6個(gè)一次或二次多項(xiàng)式方程組

        (10)

        (11)

        (12)

        (13)

        (14)

        (15)

        又由α和β的正交性和歸一性

        α·β=0α·α=1β·β=1

        可得9個(gè)未知數(shù)的代表點(diǎn)約束方程

        (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+ (z2-z1)(z3-z1)=0

        (16)

        (x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2=1

        (17)

        (x3-x1)2+(y3-y1)2+(z3-z1)2=1

        (18)

        觀察式(11)、(12)、(15)最高次為一次多項(xiàng)式,本文先求出x3、y2、y3對(duì)x1、y1、z1、x2、z2、z3的線性表示,再代回剩余的6個(gè)方程,可得到式(10)、(13)、(14)、(16)~(18)的6個(gè)二次多項(xiàng)式方程,將其記為

        (19)

        其中X為待求未知數(shù),X=(x1,y1,z1,x2,z2,z3),Ci是由6-UPS并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)和6條支腿長決定;Mi由6-UPS并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定;Qi(i=1,2,…,6)是二次項(xiàng)系數(shù)矩陣,是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)中3個(gè)參數(shù)ra、θa、θb所決定的6×6維對(duì)稱矩陣,Qi的具體形式為

        將式(19)代表的6個(gè)方程統(tǒng)一表示為向量形式

        (20)

        其中F(X)=(f1(X),f2(X),…,f6(X))T

        Q=(Q1,Q2,…,Q6)TM=(M1,M2,…,M6)TC=(C1,C2,…,C6)T

        (21)

        (22)

        3.2 正解運(yùn)動(dòng)學(xué)方程數(shù)值迭代求解

        對(duì)二次多項(xiàng)式方程組(20)求導(dǎo),可得

        現(xiàn)在考慮牛頓-拉夫森數(shù)值迭代算法,當(dāng)待求未知變量X取第k步數(shù)值,即:X=xk時(shí),可得

        因此可得

        (23)

        根據(jù)一般牛頓-拉夫森數(shù)值迭代算法

        (24)

        將式(23)代入X=xk時(shí)的方程組(20)可得

        (25)

        將式(25)代回式(24)一般牛頓-拉夫森數(shù)值迭代算法可得

        (26)

        (27)

        由式(26)和式(27)聯(lián)合可得一類代表點(diǎn)表示的6-UPS并聯(lián)機(jī)器人的快速正向運(yùn)動(dòng)學(xué)迭代算法

        (28)

        據(jù)此,可解出唯一一組變量x1、y1、z1、x2、z2、z3的解,根據(jù)P=(x1,y1,z1)T和姿態(tài)矩陣R(式(4))可以求解出唯一的位置和姿態(tài)。

        4 數(shù)值算例驗(yàn)證

        采用數(shù)值算例來說明和驗(yàn)證前文方法的正確性、高效性。

        (1)正確性

        通過給定一組反解,即給定平臺(tái)位置姿態(tài),計(jì)算對(duì)應(yīng)的代表點(diǎn)坐標(biāo)值。將給定的一組初始代表點(diǎn)坐標(biāo)值代入式(28)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)正解計(jì)算,如果能夠收斂、且收斂到反解對(duì)應(yīng)的代表點(diǎn)坐標(biāo)值,即可驗(yàn)證所提算法的正確性。

        ① 給定反解條件。6-UPS并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)θa=0.286 18π、θb=0.046 988π、ra=0.849 864、rb=0.849 864,由此可以確定6-UPS并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)、靜平臺(tái)的頂點(diǎn)坐標(biāo)ai、bi(i=1,2,…,6)。角度單位為rad,長度單位為m。設(shè)定6-UPS并聯(lián)機(jī)器人預(yù)設(shè)狀態(tài)下位置矢量為Pt=(-0.2,-0.03,1.1)T,姿態(tài)矩陣Rt為

        可得到P1=(-0.2,-0.03,1.1)T,通過P2=P1+Rt(1,0,0)T,P3=P1+Rt(0,1,0)T計(jì)算可得另外兩個(gè)代表點(diǎn)坐標(biāo)分別為:P2=(0.769 017,-0.194 971,1.283 82)T,P3=(-0.028 091 9,0.954 859,1.077 65)T,通過反解計(jì)算得到6條支腿長為:L1=1.516 92 m、L2=1.318 95 m、L3=1.268 81 m、L4=1.136 69 m、L5=1.257 04 m、L6=1.209 43 m。

        根據(jù)課題組研制的物理樣機(jī),其構(gòu)型選擇的電缸行程為0.5 m,6條支腿的平衡位置均在1.36 m處,即6條支腿的運(yùn)動(dòng)范圍均在(1.360.25) m范圍內(nèi),即:關(guān)節(jié)空間范圍為Li∈[1.11,1.61],i=1,2,…,6,進(jìn)而可以驗(yàn)證Pt、Rt選取正確。

        ② 求解正解。首先,將6-UPS并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)和腿長參數(shù)代入前述的C、M、Q,可得

        假設(shè)6-UPS并聯(lián)機(jī)器人動(dòng)平臺(tái)從初始位姿:P0=(0.5,0.5,2)T,R0=I3×3出發(fā),運(yùn)動(dòng)到反解給定的位姿:Pt、Rt。那么,對(duì)應(yīng)的始末位姿代表點(diǎn)坐標(biāo)值分別為:X0=(0.5,0.5,2,1.5,2,2)T、Xt=(-0.2,-0.03,1.1,0.769 017,1.283 82,1.077 65)T。

        迭代過程如表1所示,經(jīng)過5次迭代計(jì)算后得到的X5=(-0.2,-0.03,1.1,0.769 017,1.283 82,1.077 65)T與反解給定的Xt=(-0.2,-0.03,1.1,0.769 017,1.283 82,1.077 65)T完全一致,驗(yàn)證了所提算法是正確的,機(jī)構(gòu)位姿示意如圖3所示。

        本次計(jì)算中,所提方法迭代時(shí)間為0.20 ms,對(duì)比計(jì)算表明,采用傳統(tǒng)歐拉角方法描述的牛頓-拉夫森方法,則迭代次數(shù)8次、需要耗時(shí)2.67 ms,由此可見本文所提出的二次形方程組數(shù)值迭代方法的迭代次數(shù)少,用時(shí)少,收斂速度快,效率提高92.51%,至此,初步顯示出算法的高效性。

        (2) 高效性

        與旋轉(zhuǎn)矩陣方法的計(jì)算進(jìn)行對(duì)比,即可驗(yàn)證所提算法的高效性。所提算法和旋轉(zhuǎn)矩陣方法均在以下條件下進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算機(jī)硬件為:Win 8.1/Intel Core i5 2.4 GHz/8 GB RAM/MatlabR2016b,代表點(diǎn)初始值取X0=(0.5,0.5,2,1.5,2,2)T,最大迭代次數(shù)均為20次,算法終止條件允許誤差‖Δx‖<10-8。

        表1 迭代過程及其結(jié)果Tab.1 Iterative process and results

        圖3 位置和姿態(tài)示意圖Fig.3 Schematic of position and orientation for 6-UPS parallel robot

        為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提算法的高計(jì)算效率,根據(jù)課題組研制的物理樣機(jī),在其可達(dá)無奇異工作空間內(nèi)任意選取25組數(shù)據(jù)。首先,25組初始位置姿態(tài)P0i、R0i均取為P0、R0,其具體數(shù)值為:P0=(0.5,0.5,2)T,R0=I3×3,轉(zhuǎn)換成代表點(diǎn)表示為:X0=(0.5,0.5,2,1.5,2,2)T。其次,針對(duì)表2中給定的25組數(shù)據(jù),其每一組數(shù)據(jù)均是從初始位姿:P0、R0開始,分別代入所提算法,重復(fù)(1)的反解、正解過程并進(jìn)行計(jì)算,動(dòng)平臺(tái)最終分別運(yùn)動(dòng)到表2中給定的25組終止位置姿態(tài),即25組Pti、Rti處。經(jīng)過計(jì)算可知,25組數(shù)據(jù)計(jì)算結(jié)果均正確且收斂,同時(shí)也得到每一組數(shù)據(jù)計(jì)算所需時(shí)間,并將其與旋轉(zhuǎn)矩陣方法計(jì)算反解、正解過程所需時(shí)間進(jìn)行對(duì)比。每一組位姿在Matlab中計(jì)算100次并取平均數(shù)值即為本次計(jì)算時(shí)間,結(jié)果如表2所示。

        表2 兩種算法計(jì)算時(shí)間對(duì)比Tab.2 Consumption time comparison of two algorithms

        5 結(jié)論

        (1)采用代表點(diǎn)描述可將并聯(lián)機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型表達(dá)為一組二次方程組。該模型含有二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),最高次項(xiàng)為二次,求導(dǎo)后得到的雅可比矩陣僅含有一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng),最高次項(xiàng)為一次,建立了簡單非線性的并聯(lián)機(jī)器人正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。

        (2)結(jié)合正運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的特點(diǎn),對(duì)一般的牛頓-拉夫森方法進(jìn)行改進(jìn),改進(jìn)后的牛頓-拉夫森迭代方法不需要求解雅可比的逆矩陣;而且,在每一次迭代計(jì)算過程中,部分變量還原到原始二次形,計(jì)算過程中直接抵消了大部分計(jì)算,方程組與雅可比矩陣的更新僅需消耗極少的計(jì)算量,由此確保所提算法收斂速度快、計(jì)算效率高,并可得到唯一解,便于實(shí)時(shí)控制所需。

        (3)通過對(duì)比傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)矩陣方法,本文提出的二次方程組數(shù)值迭代方法的迭代次數(shù)少、用時(shí)少、收斂速度快,效率高。

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