孟瑞層，劉艷輝

（北京郵電大學(xué)世紀(jì)學(xué)院，北京 102100）

1 引言

由于日益增加的物質(zhì)文化需要，人們?cè)絹碓疥P(guān)注食品的安全問題，近幾年的一些食品安全事件不斷曝光，如“孔雀石綠”事件、“敵敵畏”火腿、回收奶和早產(chǎn)奶等事件。食品保質(zhì)期短導(dǎo)致了“敵敵畏”火腿事件和“孔雀石綠”事件的發(fā)生，這些事件都是為了延長(zhǎng)食品的保質(zhì)期，添加了非法的添加劑；而早產(chǎn)奶和回收奶事件的不斷發(fā)生，是為了延長(zhǎng)產(chǎn)品可供銷售的貨架期，究其根源是食品企業(yè)在市場(chǎng)需求不確定和產(chǎn)品貨架期較短的矛盾下做出的非法行為。食品供應(yīng)鏈的供應(yīng)和市場(chǎng)需求的波動(dòng)對(duì)食品供應(yīng)鏈和人們生活產(chǎn)生了嚴(yán)重影響，因此本文在供應(yīng)和需求不確定性的環(huán)境下對(duì)食品供應(yīng)鏈進(jìn)行研究，具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

由于食品及食品供應(yīng)鏈的重要性，目前國內(nèi)外的供應(yīng)鏈研究領(lǐng)域不斷向食品供應(yīng)鏈拓展，尤其是在不確定環(huán)境下對(duì)食品供應(yīng)鏈的研究得到了一定程度的發(fā)展。國外，VVlajic Jelena[1]通過總結(jié)食品供應(yīng)鏈的特點(diǎn)，認(rèn)為不確定性因素對(duì)食品供應(yīng)鏈會(huì)產(chǎn)生更大的危害，而目前在供應(yīng)鏈領(lǐng)域中關(guān)于穩(wěn)健性的研究較少，尤其是關(guān)于食品供應(yīng)鏈穩(wěn)健性的研究。VVlajic Jelena[2]認(rèn)為在市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈的環(huán)境下，只有制定出更穩(wěn)健的決策，食品供應(yīng)鏈才能抵抗環(huán)境中的不確定因素對(duì)供應(yīng)鏈帶來的威脅。為了給決策者提供一個(gè)能夠使食品供應(yīng)鏈保持穩(wěn)健的決策方案，GAJ van der Vorst Jack[3]首先找出食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的不確定性因素和來源，根據(jù)食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)抽象出數(shù)學(xué)模型，采用模擬仿真的方法對(duì)供應(yīng)鏈各情景的績(jī)效進(jìn)行評(píng)估。最后通過對(duì)案例實(shí)驗(yàn)的求解和分析，找出能夠提高供應(yīng)鏈績(jī)效和穩(wěn)健性的供應(yīng)鏈運(yùn)作方案，為決策者做出決策提供了科學(xué)依據(jù)。國內(nèi)，于海生[4]通過分析食品供應(yīng)鏈的不確定因素，確定出對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)健性影響較大的重要可控因素。通過應(yīng)用改進(jìn)的雙響應(yīng)曲面法實(shí)現(xiàn)對(duì)食品供應(yīng)鏈的穩(wěn)健設(shè)計(jì)，獲得穩(wěn)健優(yōu)化解。

對(duì)供應(yīng)鏈不確定因素方面的優(yōu)化方法主要有：隨機(jī)規(guī)劃、模糊規(guī)劃和穩(wěn)健優(yōu)化方法。隨機(jī)規(guī)劃和模糊規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)或約束條件的參數(shù)和結(jié)構(gòu)都是確定的，在缺少大量不確定性數(shù)據(jù)的實(shí)際問題中，這兩種方法的應(yīng)用受到了限制。在穩(wěn)健優(yōu)化方法的研究中，概率分布函數(shù)可以是未知的，不確定參數(shù)可以通過連續(xù)的凸不確定集或離散的情景集進(jìn)行描述，穩(wěn)健優(yōu)化方法還能夠保證解的穩(wěn)健性，這是隨機(jī)規(guī)劃和模糊規(guī)劃所不能夠?qū)崿F(xiàn)的。Mulvey[5]在1995年提出了穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，隨后Yu和Li[6]為提高該數(shù)學(xué)模型的可計(jì)算性進(jìn)行了改善，在隨機(jī)規(guī)劃的基礎(chǔ)上，引入了波動(dòng)參數(shù)和可行性懲罰函數(shù)以及目標(biāo)均值與可行性懲罰函數(shù)之間的參數(shù)-風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。通過設(shè)定多種情景間的波動(dòng)參數(shù)降低了決策風(fēng)險(xiǎn)，保證了模型的穩(wěn)健性，通過調(diào)整風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)調(diào)整目標(biāo)函數(shù)的平均值和波動(dòng)值在目標(biāo)函數(shù)中的重要性?？尚行詰土P函數(shù)的引入可以將硬約束轉(zhuǎn)化為軟約束，增加了模型的可行性，具有很大的現(xiàn)實(shí)意義。

3 食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)及模型構(gòu)建

3.1 系統(tǒng)描述與模型抽象

本文研究的食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的核心企業(yè)為制造商，研究對(duì)象為由兩個(gè)供應(yīng)商、一個(gè)制造商、三個(gè)零售商組成的食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)，模型框架如圖1所示。目標(biāo)是為制造商找到一個(gè)能夠保證食品供應(yīng)鏈優(yōu)化且穩(wěn)健的運(yùn)營(yíng)計(jì)劃，包括采購計(jì)劃、生產(chǎn)計(jì)劃和配送計(jì)劃，目標(biāo)函數(shù)是供應(yīng)鏈的總利潤(rùn)最大化。由于季節(jié)、氣候以及供應(yīng)商本身的問題，假定供應(yīng)商會(huì)出現(xiàn)不同概率的中斷，為補(bǔ)救這種原材料的供應(yīng)中斷進(jìn)行緊急采購會(huì)比正常情況下產(chǎn)生更高的成本，由此可知供應(yīng)的不確定性歸根到底為采購成本的不確定性，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)可知，兩個(gè)供應(yīng)商中斷概率分別為α1、α2，供應(yīng)不確定參數(shù)見表1。假定市場(chǎng)需求是不確定性的，是離散的，采用離散的情景集進(jìn)行描述，市場(chǎng)需求的不確定性主要指市場(chǎng)需求量的波動(dòng)性，假定這種不確定性是由經(jīng)濟(jì)發(fā)展形式引起的，假定經(jīng)濟(jì)波動(dòng)的過程分為三種狀態(tài)，分別為經(jīng)濟(jì)狀態(tài)好、中、差。三種經(jīng)濟(jì)狀況發(fā)生的概率分別為β1、β2、β3。該供應(yīng)鏈中制造商向2個(gè)供應(yīng)商采購原材料，原材料和生產(chǎn)的產(chǎn)成品存放在制造商倉庫，產(chǎn)生庫存成本，制造商負(fù)責(zé)生產(chǎn)加工，產(chǎn)生制造成本，零售商在市場(chǎng)需求發(fā)生后，向制造商發(fā)出訂單，制造商將貨物發(fā)送至零售商，期間如果發(fā)生缺貨，會(huì)產(chǎn)生缺貨成本。可以將所有零售商分為三類，分別為重要零售商、較重要零售商和一般零售商。通過設(shè)定不同的安全庫存水平和不同大小的缺貨成本來表示零售商對(duì)于制造商的重要性。假定原材料倉庫和產(chǎn)成品倉庫的初始庫存量均為零。需求不確定參數(shù)的設(shè)定情況見表2，其中mrij表示情景i下第j個(gè)零售商的市場(chǎng)需求量。

圖1 食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的模型框架

表1 供給不確定情景的參數(shù)情況

表2 需求不確定情景參數(shù)情況

3.2 參數(shù)和變量的定義

（1）下標(biāo)的含義。m表示m個(gè)零售商，m∈M；g表示g個(gè)供應(yīng)商，g∈G；s表示s個(gè)供應(yīng)鏈情景，s∈S。

（2）參數(shù)。模型中使用到的參數(shù)見表3。

表3 參數(shù)匯總表

（3）變量。Yg表示對(duì)供應(yīng)商g的采購量；x表示制造商的生產(chǎn)量；zm表示向零售商m分配的產(chǎn)品數(shù)量。

3.3 最優(yōu)模型的構(gòu)建

根據(jù)上述條件可以構(gòu)建如下模型：

式（1）為模型的目標(biāo)函數(shù)，表示供應(yīng)鏈利潤(rùn)最大化，其中第一項(xiàng)表示銷售收入；第二項(xiàng)表示生產(chǎn)成本；第三項(xiàng)表示供應(yīng)鏈的庫存成本；第四項(xiàng)表示缺貨成本。式（2）表示生產(chǎn)量小于等于原材料的采購總量。式（3）表示制造商向零售商的配送量小于等于制造商的生產(chǎn)量。式（4）表示各個(gè)零售商的配送量應(yīng)滿足三類市場(chǎng)需求和安全庫存水平的要求。表示超出安全庫存的過量庫存，δms表示配送量未能滿足市場(chǎng)需求和安全庫存水平的缺貨量。式（5）表示制造商供給的產(chǎn)品小于市場(chǎng)需求時(shí)的缺貨量。式（6）、（7）分別表示原材料、產(chǎn)成品的庫存量。式（8）-（10）分別表示原材料、產(chǎn)成品和供應(yīng)商供貨量最大能力限制。式（11）為非負(fù)條件約束。

3.4 穩(wěn)健模型的構(gòu)建

Mulvey在一般數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上提出了穩(wěn)健優(yōu)化模型，引入了離散的情景集合Ω={1,2,...,S},在每個(gè)情景下控制約束的系數(shù)為每個(gè)情景出現(xiàn)的概率為ps，并且如果模型的解能夠在任何情景實(shí)現(xiàn)后都能保持“接近”最優(yōu)解，說明模型的解具有穩(wěn)健性。如果模型的解在任何情景實(shí)現(xiàn)后都能保持“幾乎”可行，說明模型具有穩(wěn)健性。“接近”和“幾乎”是決策者根據(jù)不同問題和對(duì)目標(biāo)函數(shù)的不同要求制定的標(biāo)準(zhǔn)。但是模型所有的解不可能都能夠同時(shí)保證解的穩(wěn)健性又能滿足模型的穩(wěn)健性。因此，Mulvey提出了權(quán)衡解穩(wěn)健性和模型穩(wěn)健性的經(jīng)典模型，如下所示：

目標(biāo)函數(shù)的第一項(xiàng)表示多個(gè)情景下的目標(biāo)函數(shù)ξs=cTx+dTsys的加權(quán)平均值；第二項(xiàng)表示系數(shù)λ與多個(gè)情景的目標(biāo)函數(shù)之間的方差的乘積，目標(biāo)函數(shù)不僅考慮多個(gè)情景下的平均值還包括多個(gè)情景目標(biāo)函數(shù)的方差，并且通過調(diào)整λ值，可以改變目標(biāo)函數(shù)的敏感性，λ值越大，目標(biāo)函數(shù)的敏感性越低，管理者決策的風(fēng)險(xiǎn)越低，λ取值因管理者偏好而定；目標(biāo)函數(shù)中的第三項(xiàng)ρ(δ1,δ2,..,δs)是可行性懲罰函數(shù)，是每個(gè)情景下的誤差變量，表示控制約束中的不可行量，該模型考慮到現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際情況，可行性懲罰函數(shù)的引入將一般數(shù)學(xué)模型中的硬性約束轉(zhuǎn)化成軟約束，使得很多模型既能夠在一定范圍內(nèi)求得可行解，又能夠通過調(diào)整系數(shù)ω保證模型的可行性。因此，該模型能夠保證模型的穩(wěn)健性和解的穩(wěn)健性。由于目標(biāo)函數(shù)中存在二次項(xiàng)，二次項(xiàng)的存在增加了模型計(jì)算的難度，限制了該模型的應(yīng)用范圍。為了降低模型的計(jì)算難度，Chian-Son Yu和Han-Lin Li[6]首先將二次項(xiàng)替換成但是絕對(duì)值的求解也存在著一定的難度，因此，他們進(jìn)一步將絕對(duì)值項(xiàng)轉(zhuǎn)化成線性形式，見式（16）-（18）。

根據(jù)Mulvey提出的穩(wěn)健模型，對(duì)上述最優(yōu)模型轉(zhuǎn)化，結(jié)合本文的問題框架，可以構(gòu)建成如下的穩(wěn)健優(yōu)化模型：

其中式（19）表示利潤(rùn)最大化穩(wěn)健目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)榍笞畲蠡膯栴}，所以穩(wěn)健模型中的系數(shù)λ和ω為負(fù)值，其中第一項(xiàng)表示各個(gè)情景目標(biāo)函數(shù)的均值；第二項(xiàng)表示各情景目標(biāo)函數(shù)的波動(dòng)情況；最后一項(xiàng)表示可行性懲罰函數(shù)，由過量庫存名義缺貨量構(gòu)成。式（20）、（21）是為了提高穩(wěn)健模型的可計(jì)算性。原最優(yōu)模型中的其他約束條件不變。

4 算例設(shè)計(jì)與求解分析

為了驗(yàn)證所構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的有效性，本節(jié)進(jìn)行了算例實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，然后采用LINGO11.0軟件進(jìn)行求解，最后對(duì)模型的求解結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)，驗(yàn)證模型的正確性與有效性。

4.1 算例實(shí)驗(yàn)

該算例實(shí)驗(yàn)來源于國內(nèi)D省的一家乳制品供應(yīng)鏈，在一定假設(shè)條件下，對(duì)該供應(yīng)鏈進(jìn)行抽象，得出以下具體參數(shù)值。三個(gè)零售商的安全庫存分別為safm=1 000，500，300。根據(jù)長(zhǎng)期合作經(jīng)驗(yàn)可以判定α1=0.1，α2=0.2。在采用優(yōu)質(zhì)原材料進(jìn)行生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本為C=120元，每緊急采購一單元原材料新增的生產(chǎn)成本C1=10元，產(chǎn)品市場(chǎng)銷售價(jià)格為P=300元，表4為三個(gè)零售在三種市場(chǎng)情景的需求情況。

表4 市場(chǎng)需求不確定情景的參數(shù)

其他參數(shù)：C=120，C1=10；Pp=4；Pm=3；Immax=1 000；Ipmax=10 000；Capg=6 000，8 000；Scpm=50,30，20；λ=0.1；ω=10；Prs=（0.072，0.018，0.008，0.002，0.36,0.09，0.04，0.01，0.288，0.072，0.032，0.008）。

4.2 基于LINGO的模型求解

此時(shí)得到供應(yīng)鏈的決策變量和其他參數(shù)值情況見表5。由表5可知，算例的穩(wěn)健優(yōu)化解為：第一家供應(yīng)商采購原材料6 000，第二家供應(yīng)商采購原材料2 880；制造商的生產(chǎn)量為8 880；三個(gè)零售商的配送量分別為：4 490、2 860、1 530單位產(chǎn)品。多個(gè)情景下的加權(quán)平均利潤(rùn)為1 149 200，加權(quán)平均缺貨量為500。為了簡(jiǎn)化說明，在后面的論述中利潤(rùn)、收入、成本和缺貨量等都是指多個(gè)情景下的加權(quán)平均值。

表5 穩(wěn)健多目標(biāo)模型的求解結(jié)果

4.3 模型的求解效率分析

采用Lingo11.0進(jìn)行求解，求得全局最優(yōu)結(jié)果的 運(yùn)行時(shí)間是5s。該非線性規(guī)劃模型的求解時(shí)間會(huì)隨著模型中情景數(shù)、零售商數(shù)和供應(yīng)商數(shù)的增加而增加。在本文算例實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，增加供應(yīng)商和零售商數(shù)量來驗(yàn)證該求解方法的效率。通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，該模型的規(guī)模受限于供應(yīng)商的數(shù)量，供應(yīng)商數(shù)量不宜超過4個(gè)，零售商數(shù)量允許在30個(gè)以內(nèi)，這樣規(guī)模模型的求解時(shí)間均在7h之內(nèi)，該供應(yīng)鏈的確定性在一定時(shí)間內(nèi)是相對(duì)穩(wěn)定的，其運(yùn)營(yíng)計(jì)劃的求解時(shí)間是可以接受的。由于供應(yīng)數(shù)量較少，當(dāng)有兩個(gè)或兩個(gè)以上供應(yīng)商供應(yīng)中斷概率相同時(shí)，在模型中可以看成一個(gè)供應(yīng)商，可求解的供應(yīng)商數(shù)不局限于4個(gè)，因此該求解方法的求解效率較高。

4.4 模型敏感性分析

為了驗(yàn)證模型的正確性，本文進(jìn)行了模型的敏感性分析。當(dāng)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)生變化時(shí)，市場(chǎng)需求也會(huì)發(fā)生變化。通過調(diào)整不同經(jīng)濟(jì)狀況的發(fā)生頻率，分析解和目標(biāo)函數(shù)對(duì)需求情景發(fā)生概率的敏感性，結(jié)果見表6。表6中實(shí)驗(yàn)序號(hào)從1-5表示市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)不斷惡化，即經(jīng)濟(jì)狀況差的情景發(fā)生率越來越高，經(jīng)濟(jì)狀況中的發(fā)生概率不變，經(jīng)濟(jì)狀況好的發(fā)生概率越來越低，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，隨著經(jīng)濟(jì)的惡化，利潤(rùn)隨之降低，從實(shí)驗(yàn)1和2對(duì)比可以看出，經(jīng)濟(jì)變壞時(shí)，配送量、生產(chǎn)量和采購量隨之降低，從實(shí)驗(yàn)2-5可以看出，隨著需求量低的情況發(fā)生概率的增加，缺貨量開始減少。因此，一旦市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)狀況出現(xiàn)變化時(shí)，需要及時(shí)調(diào)整運(yùn)營(yíng)計(jì)劃，才能夠保證食品供應(yīng)鏈的穩(wěn)健績(jī)效。由此可見，該模型對(duì)于需求情景概率是敏感的，模型是符合正常情況的，驗(yàn)證了模型的正確性。同理，調(diào)整供應(yīng)情景的概率、供貨水平以及各個(gè)零售商安全庫存水平都對(duì)模型的解和目標(biāo)函數(shù)有影響，也就是說當(dāng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，模型的解出現(xiàn)了合理的變化，充分證明了模型的正確性。

表6 市場(chǎng)需求情況概率的敏感性分析

4.5 模型穩(wěn)健性分析

（1）解的穩(wěn)健性分析。表7是三種不同算法的求解結(jié)果，其中包括市場(chǎng)需求確定情況下的決策、不確定情況下隨機(jī)規(guī)劃模型求解結(jié)果和不確定情況下穩(wěn)健優(yōu)化求解結(jié)果。第一種決策方案是假定每一個(gè)市場(chǎng)需求量是已知、確定的，其中三種市場(chǎng)情景的加權(quán)均值已求出，總利潤(rùn)為1 161 835，不存在缺貨。隨機(jī)規(guī)劃求解結(jié)果中總利潤(rùn)為1 160 100，不存在缺貨。穩(wěn)健優(yōu)化求解結(jié)果中總利潤(rùn)為1 149 200，加權(quán)平均缺貨量為500。穩(wěn)健優(yōu)化的利潤(rùn)值分別占確定需求、隨機(jī)規(guī)劃模型利潤(rùn)的98.9%、99.1%。顯然穩(wěn)健優(yōu)化的解是近優(yōu)的，此外由于穩(wěn)健優(yōu)化模型中存在缺貨量，會(huì)產(chǎn)生相應(yīng)的缺貨成本，使得總利潤(rùn)相應(yīng)會(huì)減少，由于缺貨成本不是真正的成本，穩(wěn)健優(yōu)化模型中的缺貨成本為16 400，那么實(shí)際的總利潤(rùn)應(yīng)為1 165 600，總利潤(rùn)高于確定模型和隨機(jī)規(guī)模模型的總利潤(rùn)。綜上所述驗(yàn)證了穩(wěn)健優(yōu)化解的近優(yōu)性，即解的穩(wěn)健性。

表7 解的穩(wěn)健性分析對(duì)比表

（2）模型的穩(wěn)健性分析。為了分析說明穩(wěn)健模型的風(fēng)險(xiǎn)性，將隨機(jī)規(guī)劃模型與穩(wěn)健優(yōu)化模型的求解結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，表8中是當(dāng)采用隨機(jī)模型和穩(wěn)健模型的運(yùn)營(yíng)方案時(shí)，三種不同市場(chǎng)需求發(fā)生時(shí)的利潤(rùn)和缺貨情況，其中“標(biāo)準(zhǔn)差”這一列表示同一模型下三種市場(chǎng)需求的利潤(rùn)的標(biāo)準(zhǔn)差，顯然可見穩(wěn)健優(yōu)化模型的標(biāo)準(zhǔn)差小，由此證明了穩(wěn)健優(yōu)化模型的風(fēng)險(xiǎn)性較低，即驗(yàn)證了模型的穩(wěn)健性。

表8 模型的穩(wěn)健性分析對(duì)比表

5 總結(jié)與展望

本文通過分析食品供應(yīng)鏈的特點(diǎn)，在不確定環(huán)境下構(gòu)建了食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化模型。結(jié)合考慮食品原材料供應(yīng)的不確定性和客戶需求的波動(dòng)性的特點(diǎn)，對(duì)以制造商為核心企業(yè)的食品供應(yīng)鏈系統(tǒng)的采購、生產(chǎn)和配送計(jì)劃進(jìn)行穩(wěn)健優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)食品供應(yīng)鏈的穩(wěn)健績(jī)效，并以此為導(dǎo)向展開了研究工作。隨后以國內(nèi)D省的乳制品公司為研究背景進(jìn)行算例設(shè)計(jì)，通過求解與分析，驗(yàn)證了模型的正確性和解的穩(wěn)健性以及模型的穩(wěn)健性，對(duì)企業(yè)進(jìn)行決策提供了一定的借鑒意義，為擴(kuò)展生鮮供應(yīng)鏈的研究具有一定的理論價(jià)值。