孟瑞層，劉艷輝

（北京郵電大學世紀學院，北京 102100）

1 引言

由于日益增加的物質(zhì)文化需要，人們越來越關注食品的安全問題，近幾年的一些食品安全事件不斷曝光，如“孔雀石綠”事件、“敵敵畏”火腿、回收奶和早產(chǎn)奶等事件。食品保質(zhì)期短導致了“敵敵畏”火腿事件和“孔雀石綠”事件的發(fā)生，這些事件都是為了延長食品的保質(zhì)期，添加了非法的添加劑；而早產(chǎn)奶和回收奶事件的不斷發(fā)生，是為了延長產(chǎn)品可供銷售的貨架期，究其根源是食品企業(yè)在市場需求不確定和產(chǎn)品貨架期較短的矛盾下做出的非法行為。食品供應鏈的供應和市場需求的波動對食品供應鏈和人們生活產(chǎn)生了嚴重影響，因此本文在供應和需求不確定性的環(huán)境下對食品供應鏈進行研究，具有重要的理論價值和現(xiàn)實意義。

2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

由于食品及食品供應鏈的重要性，目前國內(nèi)外的供應鏈研究領域不斷向食品供應鏈拓展，尤其是在不確定環(huán)境下對食品供應鏈的研究得到了一定程度的發(fā)展。國外，VVlajic Jelena[1]通過總結食品供應鏈的特點，認為不確定性因素對食品供應鏈會產(chǎn)生更大的危害，而目前在供應鏈領域中關于穩(wěn)健性的研究較少，尤其是關于食品供應鏈穩(wěn)健性的研究。VVlajic Jelena[2]認為在市場競爭日趨激烈的環(huán)境下，只有制定出更穩(wěn)健的決策，食品供應鏈才能抵抗環(huán)境中的不確定因素對供應鏈帶來的威脅。為了給決策者提供一個能夠使食品供應鏈保持穩(wěn)健的決策方案，GAJ van der Vorst Jack[3]首先找出食品供應鏈系統(tǒng)的不確定性因素和來源，根據(jù)食品供應鏈系統(tǒng)抽象出數(shù)學模型，采用模擬仿真的方法對供應鏈各情景的績效進行評估。最后通過對案例實驗的求解和分析，找出能夠提高供應鏈績效和穩(wěn)健性的供應鏈運作方案，為決策者做出決策提供了科學依據(jù)。國內(nèi)，于海生[4]通過分析食品供應鏈的不確定因素，確定出對系統(tǒng)穩(wěn)健性影響較大的重要可控因素。通過應用改進的雙響應曲面法實現(xiàn)對食品供應鏈的穩(wěn)健設計，獲得穩(wěn)健優(yōu)化解。

對供應鏈不確定因素方面的優(yōu)化方法主要有：隨機規(guī)劃、模糊規(guī)劃和穩(wěn)健優(yōu)化方法。隨機規(guī)劃和模糊規(guī)劃的目標函數(shù)或約束條件的參數(shù)和結構都是確定的，在缺少大量不確定性數(shù)據(jù)的實際問題中，這兩種方法的應用受到了限制。在穩(wěn)健優(yōu)化方法的研究中，概率分布函數(shù)可以是未知的，不確定參數(shù)可以通過連續(xù)的凸不確定集或離散的情景集進行描述，穩(wěn)健優(yōu)化方法還能夠保證解的穩(wěn)健性，這是隨機規(guī)劃和模糊規(guī)劃所不能夠?qū)崿F(xiàn)的。Mulvey[5]在1995年提出了穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學模型，隨后Yu和Li[6]為提高該數(shù)學模型的可計算性進行了改善，在隨機規(guī)劃的基礎上，引入了波動參數(shù)和可行性懲罰函數(shù)以及目標均值與可行性懲罰函數(shù)之間的參數(shù)-風險系數(shù)。通過設定多種情景間的波動參數(shù)降低了決策風險，保證了模型的穩(wěn)健性，通過調(diào)整風險系數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)調(diào)整目標函數(shù)的平均值和波動值在目標函數(shù)中的重要性?？尚行詰土P函數(shù)的引入可以將硬約束轉(zhuǎn)化為軟約束，增加了模型的可行性，具有很大的現(xiàn)實意義。

3 食品供應鏈系統(tǒng)及模型構建

3.1 系統(tǒng)描述與模型抽象

本文研究的食品供應鏈系統(tǒng)的核心企業(yè)為制造商，研究對象為由兩個供應商、一個制造商、三個零售商組成的食品供應鏈系統(tǒng)，模型框架如圖1所示。目標是為制造商找到一個能夠保證食品供應鏈優(yōu)化且穩(wěn)健的運營計劃，包括采購計劃、生產(chǎn)計劃和配送計劃，目標函數(shù)是供應鏈的總利潤最大化。由于季節(jié)、氣候以及供應商本身的問題，假定供應商會出現(xiàn)不同概率的中斷，為補救這種原材料的供應中斷進行緊急采購會比正常情況下產(chǎn)生更高的成本，由此可知供應的不確定性歸根到底為采購成本的不確定性，根據(jù)經(jīng)驗可知，兩個供應商中斷概率分別為α1、α2，供應不確定參數(shù)見表1。假定市場需求是不確定性的，是離散的，采用離散的情景集進行描述，市場需求的不確定性主要指市場需求量的波動性，假定這種不確定性是由經(jīng)濟發(fā)展形式引起的，假定經(jīng)濟波動的過程分為三種狀態(tài)，分別為經(jīng)濟狀態(tài)好、中、差。三種經(jīng)濟狀況發(fā)生的概率分別為β1、β2、β3。該供應鏈中制造商向2個供應商采購原材料，原材料和生產(chǎn)的產(chǎn)成品存放在制造商倉庫，產(chǎn)生庫存成本，制造商負責生產(chǎn)加工，產(chǎn)生制造成本，零售商在市場需求發(fā)生后，向制造商發(fā)出訂單，制造商將貨物發(fā)送至零售商，期間如果發(fā)生缺貨，會產(chǎn)生缺貨成本。可以將所有零售商分為三類，分別為重要零售商、較重要零售商和一般零售商。通過設定不同的安全庫存水平和不同大小的缺貨成本來表示零售商對于制造商的重要性。假定原材料倉庫和產(chǎn)成品倉庫的初始庫存量均為零。需求不確定參數(shù)的設定情況見表2，其中mrij表示情景i下第j個零售商的市場需求量。

圖1 食品供應鏈系統(tǒng)的模型框架

表1 供給不確定情景的參數(shù)情況

表2 需求不確定情景參數(shù)情況

3.2 參數(shù)和變量的定義

（1）下標的含義。m表示m個零售商，m∈M；g表示g個供應商，g∈G；s表示s個供應鏈情景，s∈S。

（2）參數(shù)。模型中使用到的參數(shù)見表3。

表3 參數(shù)匯總表

（3）變量。Yg表示對供應商g的采購量；x表示制造商的生產(chǎn)量；zm表示向零售商m分配的產(chǎn)品數(shù)量。

3.3 最優(yōu)模型的構建

根據(jù)上述條件可以構建如下模型：

式（1）為模型的目標函數(shù)，表示供應鏈利潤最大化，其中第一項表示銷售收入；第二項表示生產(chǎn)成本；第三項表示供應鏈的庫存成本；第四項表示缺貨成本。式（2）表示生產(chǎn)量小于等于原材料的采購總量。式（3）表示制造商向零售商的配送量小于等于制造商的生產(chǎn)量。式（4）表示各個零售商的配送量應滿足三類市場需求和安全庫存水平的要求。表示超出安全庫存的過量庫存，δms表示配送量未能滿足市場需求和安全庫存水平的缺貨量。式（5）表示制造商供給的產(chǎn)品小于市場需求時的缺貨量。式（6）、（7）分別表示原材料、產(chǎn)成品的庫存量。式（8）-（10）分別表示原材料、產(chǎn)成品和供應商供貨量最大能力限制。式（11）為非負條件約束。

3.4 穩(wěn)健模型的構建

Mulvey在一般數(shù)學模型的基礎上提出了穩(wěn)健優(yōu)化模型，引入了離散的情景集合Ω={1,2,...,S},在每個情景下控制約束的系數(shù)為每個情景出現(xiàn)的概率為ps，并且如果模型的解能夠在任何情景實現(xiàn)后都能保持“接近”最優(yōu)解，說明模型的解具有穩(wěn)健性。如果模型的解在任何情景實現(xiàn)后都能保持“幾乎”可行，說明模型具有穩(wěn)健性?！敖咏焙汀皫缀酢笔菦Q策者根據(jù)不同問題和對目標函數(shù)的不同要求制定的標準。但是模型所有的解不可能都能夠同時保證解的穩(wěn)健性又能滿足模型的穩(wěn)健性。因此，Mulvey提出了權衡解穩(wěn)健性和模型穩(wěn)健性的經(jīng)典模型，如下所示：

目標函數(shù)的第一項表示多個情景下的目標函數(shù)ξs=cTx+dTsys的加權平均值；第二項表示系數(shù)λ與多個情景的目標函數(shù)之間的方差的乘積，目標函數(shù)不僅考慮多個情景下的平均值還包括多個情景目標函數(shù)的方差，并且通過調(diào)整λ值，可以改變目標函數(shù)的敏感性，λ值越大，目標函數(shù)的敏感性越低，管理者決策的風險越低，λ取值因管理者偏好而定；目標函數(shù)中的第三項ρ(δ1,δ2,..,δs)是可行性懲罰函數(shù)，是每個情景下的誤差變量，表示控制約束中的不可行量，該模型考慮到現(xiàn)實生活中的實際情況，可行性懲罰函數(shù)的引入將一般數(shù)學模型中的硬性約束轉(zhuǎn)化成軟約束，使得很多模型既能夠在一定范圍內(nèi)求得可行解，又能夠通過調(diào)整系數(shù)ω保證模型的可行性。因此，該模型能夠保證模型的穩(wěn)健性和解的穩(wěn)健性。由于目標函數(shù)中存在二次項，二次項的存在增加了模型計算的難度，限制了該模型的應用范圍。為了降低模型的計算難度，Chian-Son Yu和Han-Lin Li[6]首先將二次項替換成但是絕對值的求解也存在著一定的難度，因此，他們進一步將絕對值項轉(zhuǎn)化成線性形式，見式（16）-（18）。

根據(jù)Mulvey提出的穩(wěn)健模型，對上述最優(yōu)模型轉(zhuǎn)化，結合本文的問題框架，可以構建成如下的穩(wěn)健優(yōu)化模型：

其中式（19）表示利潤最大化穩(wěn)健目標函數(shù)，因為求最大化的問題，所以穩(wěn)健模型中的系數(shù)λ和ω為負值，其中第一項表示各個情景目標函數(shù)的均值；第二項表示各情景目標函數(shù)的波動情況；最后一項表示可行性懲罰函數(shù)，由過量庫存名義缺貨量構成。式（20）、（21）是為了提高穩(wěn)健模型的可計算性。原最優(yōu)模型中的其他約束條件不變。

4 算例設計與求解分析

為了驗證所構建數(shù)學模型的有效性，本節(jié)進行了算例實驗設計，然后采用LINGO11.0軟件進行求解，最后對模型的求解結果進行分析總結，驗證模型的正確性與有效性。

4.1 算例實驗

該算例實驗來源于國內(nèi)D省的一家乳制品供應鏈，在一定假設條件下，對該供應鏈進行抽象，得出以下具體參數(shù)值。三個零售商的安全庫存分別為safm=1 000，500，300。根據(jù)長期合作經(jīng)驗可以判定α1=0.1，α2=0.2。在采用優(yōu)質(zhì)原材料進行生產(chǎn)時，產(chǎn)品單位生產(chǎn)成本為C=120元，每緊急采購一單元原材料新增的生產(chǎn)成本C1=10元，產(chǎn)品市場銷售價格為P=300元，表4為三個零售在三種市場情景的需求情況。

表4 市場需求不確定情景的參數(shù)

其他參數(shù)：C=120，C1=10；Pp=4；Pm=3；Immax=1 000；Ipmax=10 000；Capg=6 000，8 000；Scpm=50,30，20；λ=0.1；ω=10；Prs=（0.072，0.018，0.008，0.002，0.36,0.09，0.04，0.01，0.288，0.072，0.032，0.008）。

4.2 基于LINGO的模型求解

此時得到供應鏈的決策變量和其他參數(shù)值情況見表5。由表5可知，算例的穩(wěn)健優(yōu)化解為：第一家供應商采購原材料6 000，第二家供應商采購原材料2 880；制造商的生產(chǎn)量為8 880；三個零售商的配送量分別為：4 490、2 860、1 530單位產(chǎn)品。多個情景下的加權平均利潤為1 149 200，加權平均缺貨量為500。為了簡化說明，在后面的論述中利潤、收入、成本和缺貨量等都是指多個情景下的加權平均值。

表5 穩(wěn)健多目標模型的求解結果

4.3 模型的求解效率分析

采用Lingo11.0進行求解，求得全局最優(yōu)結果的 運行時間是5s。該非線性規(guī)劃模型的求解時間會隨著模型中情景數(shù)、零售商數(shù)和供應商數(shù)的增加而增加。在本文算例實驗的基礎上，增加供應商和零售商數(shù)量來驗證該求解方法的效率。通過實驗發(fā)現(xiàn)，該模型的規(guī)模受限于供應商的數(shù)量，供應商數(shù)量不宜超過4個，零售商數(shù)量允許在30個以內(nèi)，這樣規(guī)模模型的求解時間均在7h之內(nèi)，該供應鏈的確定性在一定時間內(nèi)是相對穩(wěn)定的，其運營計劃的求解時間是可以接受的。由于供應數(shù)量較少，當有兩個或兩個以上供應商供應中斷概率相同時，在模型中可以看成一個供應商，可求解的供應商數(shù)不局限于4個，因此該求解方法的求解效率較高。

4.4 模型敏感性分析

為了驗證模型的正確性，本文進行了模型的敏感性分析。當市場經(jīng)濟發(fā)生變化時，市場需求也會發(fā)生變化。通過調(diào)整不同經(jīng)濟狀況的發(fā)生頻率，分析解和目標函數(shù)對需求情景發(fā)生概率的敏感性，結果見表6。表6中實驗序號從1-5表示市場經(jīng)濟不斷惡化，即經(jīng)濟狀況差的情景發(fā)生率越來越高，經(jīng)濟狀況中的發(fā)生概率不變，經(jīng)濟狀況好的發(fā)生概率越來越低，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，隨著經(jīng)濟的惡化，利潤隨之降低，從實驗1和2對比可以看出，經(jīng)濟變壞時，配送量、生產(chǎn)量和采購量隨之降低，從實驗2-5可以看出，隨著需求量低的情況發(fā)生概率的增加，缺貨量開始減少。因此，一旦市場經(jīng)濟狀況出現(xiàn)變化時，需要及時調(diào)整運營計劃，才能夠保證食品供應鏈的穩(wěn)健績效。由此可見，該模型對于需求情景概率是敏感的，模型是符合正常情況的，驗證了模型的正確性。同理，調(diào)整供應情景的概率、供貨水平以及各個零售商安全庫存水平都對模型的解和目標函數(shù)有影響，也就是說當參數(shù)發(fā)生變化時，模型的解出現(xiàn)了合理的變化，充分證明了模型的正確性。

表6 市場需求情況概率的敏感性分析

4.5 模型穩(wěn)健性分析

（1）解的穩(wěn)健性分析。表7是三種不同算法的求解結果，其中包括市場需求確定情況下的決策、不確定情況下隨機規(guī)劃模型求解結果和不確定情況下穩(wěn)健優(yōu)化求解結果。第一種決策方案是假定每一個市場需求量是已知、確定的，其中三種市場情景的加權均值已求出，總利潤為1 161 835，不存在缺貨。隨機規(guī)劃求解結果中總利潤為1 160 100，不存在缺貨。穩(wěn)健優(yōu)化求解結果中總利潤為1 149 200，加權平均缺貨量為500。穩(wěn)健優(yōu)化的利潤值分別占確定需求、隨機規(guī)劃模型利潤的98.9%、99.1%。顯然穩(wěn)健優(yōu)化的解是近優(yōu)的，此外由于穩(wěn)健優(yōu)化模型中存在缺貨量，會產(chǎn)生相應的缺貨成本，使得總利潤相應會減少，由于缺貨成本不是真正的成本，穩(wěn)健優(yōu)化模型中的缺貨成本為16 400，那么實際的總利潤應為1 165 600，總利潤高于確定模型和隨機規(guī)模模型的總利潤。綜上所述驗證了穩(wěn)健優(yōu)化解的近優(yōu)性，即解的穩(wěn)健性。

表7 解的穩(wěn)健性分析對比表

（2）模型的穩(wěn)健性分析。為了分析說明穩(wěn)健模型的風險性，將隨機規(guī)劃模型與穩(wěn)健優(yōu)化模型的求解結果進行對比，表8中是當采用隨機模型和穩(wěn)健模型的運營方案時，三種不同市場需求發(fā)生時的利潤和缺貨情況，其中“標準差”這一列表示同一模型下三種市場需求的利潤的標準差，顯然可見穩(wěn)健優(yōu)化模型的標準差小，由此證明了穩(wěn)健優(yōu)化模型的風險性較低，即驗證了模型的穩(wěn)健性。

表8 模型的穩(wěn)健性分析對比表

5 總結與展望

本文通過分析食品供應鏈的特點，在不確定環(huán)境下構建了食品供應鏈系統(tǒng)的穩(wěn)健優(yōu)化模型。結合考慮食品原材料供應的不確定性和客戶需求的波動性的特點，對以制造商為核心企業(yè)的食品供應鏈系統(tǒng)的采購、生產(chǎn)和配送計劃進行穩(wěn)健優(yōu)化，以實現(xiàn)食品供應鏈的穩(wěn)健績效，并以此為導向展開了研究工作。隨后以國內(nèi)D省的乳制品公司為研究背景進行算例設計，通過求解與分析，驗證了模型的正確性和解的穩(wěn)健性以及模型的穩(wěn)健性，對企業(yè)進行決策提供了一定的借鑒意義，為擴展生鮮供應鏈的研究具有一定的理論價值。