童日武,張劍云,周青松
(國防科技大學(xué),安徽 合肥 230037)
不同于地基雷達(dá),機(jī)載雷達(dá)[1]能夠有效克服由于地球曲率引起的探測盲區(qū)問題,并且具有很高的機(jī)動性,因此無論是在軍事還是民事領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。通常情況下,機(jī)載雷達(dá)采取下視工作模式,對地面目標(biāo)進(jìn)行探測、跟蹤、識別等等。然而大地同樣能夠?qū)走_(dá)信號進(jìn)行反射形成地雜波,地雜波強(qiáng)度大,分布范圍廣,更重要的是由于機(jī)載平臺的運(yùn)動,地雜波的多普勒頻譜范圍大大展寬,這些將嚴(yán)重影響機(jī)載雷達(dá)對地面動目標(biāo)的檢測性能。因此如何采取有效的手段抑制地雜波,從而提高對地面目標(biāo)的檢測性能一直是一個(gè)研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題。
傳統(tǒng)雜波抑制方法主要是從雷達(dá)的接收端進(jìn)行信號處理,空時(shí)自適應(yīng)處理技術(shù)(STAP)是抑制雜波的有效工具,大量研究表明通過STAP技術(shù)可以顯著提高雷達(dá)對地面動目標(biāo)的檢測性能[2]。然而機(jī)載雷達(dá)往往面臨著復(fù)雜多變的外界環(huán)境,如地形的多樣性導(dǎo)致雜波的非均勻性,干擾數(shù)量和種類的增多導(dǎo)致接收端處理自由度的下降等因素會嚴(yán)重降低STAP抑制雜波的性能。但是如果將雷達(dá)發(fā)射端的自由度加以利用,基于已知先驗(yàn)信息對發(fā)射端波形優(yōu)化[3],使得雷達(dá)能夠根據(jù)外部環(huán)境的特點(diǎn)實(shí)時(shí)調(diào)整發(fā)射波形,則能夠進(jìn)一步提高雷達(dá)抑制雜波的能力。
多輸入多輸出(MIMO)雷達(dá)是一種新體制雷達(dá)[4],相比于傳統(tǒng)雷達(dá)具有很多優(yōu)勢。其最大特點(diǎn)是發(fā)射端具有很高的自由度,每個(gè)發(fā)射陣元可以獨(dú)立發(fā)射不同的信號。MIMO雷達(dá)可分為如下兩大類:一類是分布式MIMO雷達(dá)[5],其特點(diǎn)是天線間距足夠大,具有空間分集特性;另一類是集中式MIMO雷達(dá)[6],其特點(diǎn)是天線間距很近,在波長量級,具有波形分集特性,能夠在不增加雷達(dá)實(shí)際物理孔徑條件下形成較大虛擬陣列,有效提高對目標(biāo)的檢測、識別能力,因此非常適用于空間受限的機(jī)載平臺。近年來對MIMO雷達(dá)的研究得到了廣泛的關(guān)注,主要包括MIMO-STAP[7]和MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)[8]等。
文獻(xiàn)[9]研究了機(jī)載雷達(dá)發(fā)射方向圖設(shè)計(jì)方法,但沒有對雷達(dá)發(fā)射波形設(shè)計(jì)進(jìn)行研究;文獻(xiàn)[10]和[11]雖然研究了雜波環(huán)境下MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問題,但所研究的對象都不針對機(jī)載MIMO雷達(dá),文獻(xiàn)[10]研究的是靜態(tài)環(huán)境下的雜波抑制問題,文獻(xiàn)[11]研究的是抑制距離模糊雜波問題;文獻(xiàn)[12]和[13]雖然對機(jī)載MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)進(jìn)行研究,但都只單獨(dú)考慮了波形的恒模約束問題,沒有同時(shí)對波形施加恒模和相似性約束,并且所使用的優(yōu)化算法都是通過半正定松弛(SDR)后求解半正定規(guī)劃(SDP)問題,再使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)出優(yōu)化波形,具有較高的計(jì)算復(fù)雜度,并且使用高斯隨機(jī)化方法并不能保證在迭代過程中目標(biāo)函數(shù)單調(diào)非減。
針對以上文獻(xiàn)研究的不足之處,本文基于先驗(yàn)信息對機(jī)載MIMO雷達(dá)波形設(shè)計(jì)問題進(jìn)行進(jìn)一步研究,不同于文獻(xiàn)[12]和[13],本文同時(shí)考慮了波形的恒模和相似性約束問題,并提出了一種快速迭代優(yōu)化算法,在每次迭代過程中能夠直接給出波形的閉式解,避免了求解SDP問題和使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)波形,具有較低的運(yùn)算復(fù)雜度。
當(dāng)?shù)孛婺繕?biāo)距離機(jī)載雷達(dá)很遠(yuǎn)時(shí),其俯仰角可以忽略不計(jì),因此本文只考慮目標(biāo)的方位角。假設(shè)目標(biāo)方位角已知為θ0,對于第m個(gè)脈沖信號而言,雷達(dá)接收到的目標(biāo)信號經(jīng)過基帶采樣后可表示為:
(1)
(2)
(3)
為方便計(jì)算和表示,將接收波形矩陣Yt,m向量化,有:
yt,m=vec(Yt,m)=
(4)
其中:
(5)
式中:IL表示L×L的單位陣;s=vec(S);?表示克羅內(nèi)克積。
(6)
其中:
(7)
式中:p(f0)=[1,ej2πf0,…,ej2π(M-1)f0]T,表示歸一化多普勒頻率為f0的時(shí)間導(dǎo)向矢量。
機(jī)載雷達(dá)在下視工作時(shí)會面臨強(qiáng)地雜波的干擾,同時(shí)由于機(jī)載平臺的運(yùn)動,以雷達(dá)為中心的等距離環(huán)所包含的所有地雜波會存在多普勒偏移的分布,因此容易使得目標(biāo)被強(qiáng)主瓣雜波(多普勒域)所淹沒,嚴(yán)重影響了雷達(dá)的檢測性能。因此必須通過STAP技術(shù),從空域和多普勒域同時(shí)抑制雜波干擾。
雜波信號指的是不感興趣的回波信號,其本質(zhì)上與目標(biāo)信號并無差異。本文在雜波建模的同時(shí)考慮了目標(biāo)所在距離環(huán)[14]的雜波信號以及目標(biāo)相鄰距離環(huán)的雜波信號。
圖1畫出了3個(gè)雜波距離環(huán),分別為目標(biāo)所在距離環(huán)以及目標(biāo)前后的距離環(huán)。將每個(gè)等距離環(huán)內(nèi)的雜波看成為若干等份雜波塊的組合,因此雜波信號可以表示為所有雜波塊信號的疊加。
圖1 雜波距離環(huán)
以目標(biāo)所在距離環(huán)為參考標(biāo)準(zhǔn),對于第r(r=0表示目標(biāo)所在距離環(huán);r>0表示目標(biāo)后面距離環(huán);r<0表示目標(biāo)前面距離環(huán))個(gè)距離環(huán)而言,假設(shè)共有Nc個(gè)雜波塊,則其第k(k=1,2,…,Nc)個(gè)雜波塊相對于第m個(gè)脈沖信號而言的雜波信號可表示為:
(8)
式中:αc,r,k,fc,r,k,θc,r,k分別表示距離-角度位置為(r,k)的雜波塊對應(yīng)的幅度,歸一化多普勒頻率,方位角。
(9)
式中:r∈{0,±1,±2,…};(m,n)∈{1,2,…,L}2。
(10)
αc,r,kA(r,fc,r,k,θc,r,k)s
(11)
其中:
(12)
當(dāng)r=0時(shí),Jr=IL,則對于目標(biāo)有A(f0,θ0)=A(0,f0,θ0)。為方便表示和運(yùn)算,將A(f0,θ0)表示為A0,將A(r,fc,r,k,θc,r,k)表示為Ac,r,k。
則對于2R+1個(gè)雜波距離環(huán)而言,總的雜波信號表示如下:
(13)
雷達(dá)接收機(jī)接收到的總信號為目標(biāo)信號,雜波信號以及接收機(jī)內(nèi)部噪聲的疊加,即:
y=yt+yc+n=
(14)
雷達(dá)接收機(jī)接收到回波信號后需要對信號進(jìn)行處理以提高檢測性能,而SINR是衡量檢測性能的一項(xiàng)重要指標(biāo),SINR越高意味著發(fā)現(xiàn)概率越高,因此本文以最大化輸出信號的SINR為優(yōu)化準(zhǔn)則進(jìn)行波形設(shè)計(jì)。
yout=wHy=
(15)
故輸出SINR表示為:
RSIN(w,s)=
(16)
在工程實(shí)踐當(dāng)中,雷達(dá)發(fā)射機(jī)放大器通常工作在飽和狀態(tài),無法對波形幅度進(jìn)行調(diào)制,因此為了能夠充分利用發(fā)射機(jī)放大器放大功率,往往要求發(fā)射的波形具有恒模特性。本文對波形施加恒模約束,為方便表示和計(jì)算,假設(shè)波形具有歸一化發(fā)射能量,即‖s‖2=1,那么波形s的第i個(gè)元素s(i)表示如下:
(17)
式(17)又可表示為:
(18)
式中:φi表示si的相位。
對波形施加相似性約束可以使得波形享有已知參考波形的良好特性[16],如線性調(diào)頻信號具有良好的脈沖壓縮特性和理想的模糊度特性。相似性約束的本質(zhì)是在已知參考波形的鄰域?qū)ふ液线m的解,表示如下:
(19)
式中:s0表示已知參考波形,且有‖s0‖2=1;s0(i)表示波形s0的第i個(gè)元素;ε(0≤ε≤2)表示相似度,當(dāng)ε=0時(shí),s(i)=s0(i);當(dāng)ε=2時(shí),不存在相似性約束,退化為恒模約束。
由于同時(shí)施加恒模約束和相似性約束,s(i)只有相位上的自由度,式(19)可進(jìn)一步表示為[16]:
φi=args(i)∈[γi,γi+δ],i=1,2,…,NTL
(20)
其中:
γi=args0(i)-arccos(1-ε2/2)
(21)
δ=2arccos(1-ε2/2)
(22)
由以上設(shè)計(jì)指標(biāo)和約束條件,可得以下優(yōu)化問題:
(23)
忽略目標(biāo)函數(shù)中的常數(shù)項(xiàng)不影響優(yōu)化結(jié)果,則有:
(24)
優(yōu)化問題(23)是一個(gè)NP-hard問題,無法在多項(xiàng)式時(shí)間內(nèi)給出最優(yōu)解,但可以通過優(yōu)化算法獲得其高度近似解。文獻(xiàn)[12]、[13]在求解只有波形恒模約束的優(yōu)化問題時(shí)所使用的優(yōu)化算法都是通過循環(huán)迭代w和s,在每次迭代過程中都需要求解SDP問題,并需要使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)出優(yōu)化波形。然而該算法存在以下幾點(diǎn)不足:一是由于求解SDP問題并使用高斯隨機(jī)化方法恢復(fù)出秩1約束的波形近似解,計(jì)算復(fù)雜度較高;二是使用高斯隨機(jī)化方法不能保證在迭代過程中目標(biāo)函數(shù)單調(diào)非減。
考慮以上文獻(xiàn)中算法的缺點(diǎn),本文提出了一種新的迭代算法,不需要循環(huán)迭代w和s,且能夠避免求解SDP問題和使用高斯隨機(jī)化方法獲得波形的近似解,在每次迭代過程中能夠直接給出波形的閉式解,具體算法如下。
當(dāng)固定s時(shí),問題(24)轉(zhuǎn)化成如下無約束優(yōu)化問題:
(25)
其中:
Rcn(s)=Rc(s)+INRLM
(26)
(27)
問題(25)等價(jià)于如下著名的最小方差無失真響應(yīng)(MVDR)問題[17]:
(28)
其閉式解如下:
(29)
由上可知wopt和s之間的關(guān)系,將式(29)代入到式(23)中,經(jīng)過一番整理后得到如下優(yōu)化問題:
(30)
觀察可發(fā)現(xiàn)分式規(guī)劃問題(24)已經(jīng)被轉(zhuǎn)化成一個(gè)非分式規(guī)劃問題。
令:
(31)
則第l次迭代過程中,問題(30)轉(zhuǎn)化成如下優(yōu)化問題:
(32)
首先拋去約束條件,可得:
(33)
由類功率迭代法[18]易知其具有歸一化能量的波形閉式解為:
(34)
求得s后再考慮恒模約束和相似性約束,可得:
(35)
式中:φu(i)表示u(sl)的第i個(gè)元素的相位;?m∈{-1,0,1}。
求得φi后,由式(18)可求得s(i)。
算法總結(jié)如表1所示。
表1 本文提出的算法
對于文獻(xiàn)[12]、[13]中算法,在每次迭代過程中更新一次w的計(jì)算復(fù)雜度為Ο((NRLM)3),解一次SDP問題的計(jì)算復(fù)雜度為Ο((NTL)3.5),使用高斯隨機(jī)化恢復(fù)s的計(jì)算復(fù)雜度為Ο(P(NTL)2),P表示隨機(jī)化次數(shù)。故該算法每次迭代總的計(jì)算復(fù)雜度為:Ο((NRLM)3)+Ο((NTL)3.5)+Ο(P(NTL)2)。
對于本文所提的算法,在每次迭代過程中只需要更新一次u(s),計(jì)算復(fù)雜度為Ο(NTL·(NRLM)2)。
綜上可以看出,本文所提出的算法具有更低的計(jì)算復(fù)雜度。
S0(m,n)=
(36)
式中:m=1,2,…,NT;n=1,2,…,L;s0=vec(S0)。
表2給出了2種算法在只考慮恒模約束情況下的性能指標(biāo),包括SINR(dB),CPU運(yùn)行時(shí)間time(s),迭代次數(shù)l,圖2給出了2種算法的SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線。
表2 本文算法和文獻(xiàn)[12]算法性能比較
圖2 2種算法SINR隨迭代次數(shù)變化曲線
從表2和圖2可以看出,在只考慮恒模約束時(shí)本文所提算法比對比算法的SINR略高,并且本文算法的運(yùn)算速度更快,僅需要2次迭代即可停止,耗費(fèi)時(shí)間為24.398 2 s,而對比算法則需要10次迭代才能夠停止,耗費(fèi)時(shí)間為187.457 3 s。從對比結(jié)果可以看出,本文算法不僅和對比算法具有相同的優(yōu)化效果,而且具有更快的運(yùn)算速度。
表3給出了相似度ε=2,0.5,0.1時(shí)使用本文算法得出的優(yōu)化結(jié)果。
表3 相似度對SINR的影響
從表3中可以看出,隨著ε的減小,優(yōu)化后的SINR也不斷減小,這是符合理論預(yù)期的。因?yàn)棣诺牟粩鄿p小,意味著波形s的可行集在不斷減小,從而導(dǎo)致相位的自由度越來越低,最終體現(xiàn)為優(yōu)化后的SINR值不斷降低。另外從表3中也可以看出無論ε取何值,該算法都具有很快的運(yùn)算速度。
圖3給出了在ε=2,0.5,0.1時(shí)SINR隨迭代次數(shù)的變化曲線。從圖3中可以看出波形優(yōu)化后的SINR由最初未波形設(shè)計(jì)時(shí)(即使用參考信號S0)的9.773 3 dB得到了較大幅度的提升。特別在ε=2時(shí),SINR提高了將近7.5 dB。
圖3 不同相似性約束下SINR隨迭代次數(shù)變化曲線
圖4給出了優(yōu)化波形的幅度曲線,從圖中可以看出,無論相似度取多少,優(yōu)化后的波形振幅恒定,說明了本文算法所設(shè)計(jì)的波形能夠滿足恒模約束的要求。
圖4 波形幅度
圖5給出了在ε=2,0.5,0.1時(shí)雷達(dá)第一個(gè)發(fā)射陣元對應(yīng)的發(fā)射波形的脈沖壓縮特性曲線圖[10]。
圖5 波形脈沖壓縮特性曲線
從圖5可以看出,隨著ε的減小,脈壓旁瓣水平不斷下降,越來越接近于參考波形LFM的脈壓旁瓣,說明了本文算法能夠?qū)Σㄐ纹鸬较嗨菩约s束的效果。
最后,本文給出了在ε=2,r=0時(shí)空-時(shí)互模糊函數(shù)的二維響應(yīng)圖,分析了波形優(yōu)化后對雜波的抑制效果???時(shí)互模糊函數(shù)定義如下:
P(r,f,θ)=|wHA(r,f,θ)s|2
(37)
從圖6可以看出,在目標(biāo)位置形成峰值,在雜波脊位置形成一條深零陷,說明了本文算法能夠有效抑制雜波。
圖6 空-時(shí)互模糊函數(shù)二維響應(yīng)圖
本文研究了機(jī)載MIMO雷達(dá)在強(qiáng)地雜波環(huán)境下的波形設(shè)計(jì)問題,進(jìn)一步提高了雷達(dá)抑制雜波的性能。本文對波形同時(shí)施加了恒模約束和相似性約束,并提出了一種有效的快速迭代優(yōu)化算法。仿真結(jié)果表明了本文所提算法能夠有效提升SINR,進(jìn)一步增強(qiáng)了對雜波的抑制能力,并且該算法具有較低的運(yùn)算復(fù)雜度,所設(shè)計(jì)的波形具備恒模特性和相似性特點(diǎn)。下一步可能的工作是研究在雜波兼頻譜擁擠環(huán)境下機(jī)載MIMO雷達(dá)的波形設(shè)計(jì)問題。