張福升

（南京市鎖金新村第一小學(xué)，江蘇 南京 210042）

當今的時代信息高度發(fā)達，信息攝取方式極其多樣化。教學(xué)方式也應(yīng)當是隨著孩子的發(fā)展而與時俱進。孩子的知識來源多而龐雜，不能按照教學(xué)進度亦步亦趨、層層推進，所以有的孩子對課堂知識有更深一步的思考，有更進一步的追問，有更深入的學(xué)習(xí)需求。老師應(yīng)該順勢而為，把提問的權(quán)力、質(zhì)疑的權(quán)力、反思的權(quán)力還給學(xué)生——前提是提出的問題有價值，質(zhì)疑的對象有意義，反思能夠引發(fā)新的問題。借助學(xué)程式課堂改革和學(xué)程單的應(yīng)用，學(xué)生在學(xué)習(xí)中有疑惑，有思考，有真學(xué)習(xí)。

一、倡導(dǎo)多元思考

在五年級“真分數(shù)和假分數(shù)”一課的學(xué)習(xí)中，認識多個分數(shù)以后，要給黑板上的分數(shù)進行分類并下定義。教師在孩子的學(xué)程單上呈現(xiàn)出所有的分數(shù)：

師：仔細觀察這些分數(shù)，你能不能按照一定的標準給這些分數(shù)分分類？（同桌2人討論一下分類方法。）

師：誰來說一說你們按什么標準怎么分類的？

生1：分子大于分母的一類，分子等于分母的一類，分子小于分母的一類。

（師隨機貼出黑板條，追問：他是按照什么分類的？）

生2：分子和分母的大小關(guān)系。（板書：分子與分母的大小關(guān)系。）

師：這里的每一類都有哪些分數(shù)？

生3說后老師出示板書。

師：還有不同的分類方法嗎？

生4：把用1個圓表示的放在一類，2個圓的一類，3個圓的一類，5個圓的一類。

生5：那如果有7個圓、8個圓、10個圓的，豈不是我們要分好多類??？

生4：……

生5：可不可以這樣，只用1個圓解決的放在一起，多于一個的分成另一類，分兩類。

師：如果按照數(shù)字來看，生5實際上是以哪個數(shù)字為標準給這些分數(shù)進行分類呢？

生4：噢，我知道了，他是在用分數(shù)和1的大小比較來分類的。（板書：和1的大小關(guān)系）

生6：還可以把分子是分母的倍數(shù)關(guān)系的放在一類，其他的分成另一類。（板書：是否存在倍數(shù)關(guān)系）

師：分類是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它給我們提供了進一步深入研究學(xué)習(xí)的機會。三位同學(xué)的分類都非常好：可以按照分子分母的大小關(guān)系分；可以以1為標準按大小分；也可以按照分子分母是否有倍數(shù)關(guān)系分。大家在以后的學(xué)習(xí)中都能找到這三種思考方法的影子。今天這節(jié)課，我們就重點研究按照分子與分母的大小關(guān)系進行的分類。這里每一個類別你還能舉例說出一些分數(shù)來嗎？（學(xué)生說，老師豐富板書。）

師：其實這些分數(shù)在數(shù)學(xué)上都有各自的名字，你們想知道嗎？請同學(xué)們把書翻到第38頁，自學(xué)第38頁最后2行的內(nèi)容。

師：從書上你都了解到什么？

生：我了解到分子比分母小的分數(shù)叫真分數(shù)；分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)叫假分數(shù)。（師和生一起歸類板書。）

師：這就是今天這節(jié)課所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容“真分數(shù)和假分數(shù)”。（師板書課題。）

剛才在分類的時候，有同學(xué)提到了“與1的大小關(guān)系”?，F(xiàn)在你們能結(jié)合圖再來看一看，這些真分數(shù)、假分數(shù)與1相比各有怎樣的關(guān)系嗎？

（在生的回答中完成板書：真分數(shù)＜1，假分數(shù)≥1。）

師：是否存在這樣的關(guān)系，我們還將繼續(xù)學(xué)習(xí)！

在充分放手、班級交流研討的寬松氛圍下，孩子們變得敢想、敢說，課堂參與度明顯提高了，思考也變得更真切了。通過對過程性細節(jié)的質(zhì)疑與討論，不知不覺中，從模糊變得清晰。在這一段討論中，不同的孩子從不同的角度思考與解釋——可以按照分子分母的大小關(guān)系分，可以以1為標準按大小分，也可以按照分子分母是否有倍數(shù)關(guān)系來分類。借助實物分類、建立表象思考、最終分類抽象，這其實是代表了完整的一個數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)過程，通過班級討論與交流，把它們?nèi)砍尸F(xiàn)出來，有助于不同認知水平的學(xué)生從自己的角度去理解進而解決這個問題，并最終構(gòu)建適合于自己的知識結(jié)構(gòu)體系。

二、鼓勵體系建構(gòu)

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級總復(fù)習(xí)——“平面圖形的面積整理與復(fù)習(xí)”，通過整理希望讓學(xué)生進一步弄清長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積公式的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，形成系統(tǒng)，進一步體會公式與公式之間的聯(lián)系。通過復(fù)習(xí)，學(xué)生能根據(jù)長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓的面積公式解決一些簡單的實際問題，進一步體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的價值，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

師：我們學(xué)過的平面圖形有哪些？（長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形）

師：你能把它們的面積公式之間的關(guān)系用畫圖的方式表示出來嗎？

（學(xué)生借助學(xué)程單分組研究，討論反饋。）

小組A反饋知識結(jié)構(gòu)圖（學(xué)生看圖口述）：

（1）以三年級學(xué)習(xí)的長方形面積計算方法S=ab為起點，首先推導(dǎo)出正方形面積計算公式S=a2；

（2）五年級利用切割和平移以及長方形面積計算方法推導(dǎo)出平行四邊形面積計算方法S=ah；利用切割以及無限細分的策略，推導(dǎo)出圓的面積計算方法S=πr2，滲透極限的思想；

（3）利用旋轉(zhuǎn)、拼接的方法以及平行四邊形面積計算方法推導(dǎo)出梯形和三角形的面積計算方法S=ah÷2；S=（a+b）h÷2。

小組B反饋知識結(jié)構(gòu)圖（學(xué)生看圖口述）：

（1）以平行四邊形為中心，通過切分可以推導(dǎo)出三角形、梯形的面積計算方法；

（2）以平行四邊形為中心，通過切割、平移可以推算出長方形、正方形的面積計算方法；

（3）如果圓形在均分時份數(shù)較少，圓形轉(zhuǎn)化后更接近一個不規(guī)則的平行四邊形，所以圓的面積計算方法在細分份數(shù)較少、較多時分別接近平行四邊形和長方形，細分份數(shù)越多越接近長方形，直到份數(shù)無窮大等于長方形面積為止。

A小組的平面圖形面積計算公式的聯(lián)系結(jié)構(gòu)圖比較常見。在整個小學(xué)階段，按照教材的編排體系，按照知識習(xí)得的先后順序，把它們整理出一個具有內(nèi)在聯(lián)系的完整結(jié)構(gòu)。雖然和教材上呈現(xiàn)的方式稍有區(qū)別，但是從本質(zhì)上來說，是完全一致的，屬于“中規(guī)中矩”的知識結(jié)構(gòu)體系。

B小組的整理結(jié)構(gòu)圖體現(xiàn)出了比較差異化的思維方式，一般孩子都是以長方形面積計算公式為平面圖形面積認識的起點，但是這個小組卻以平行四邊形為中心點，往外輻射出其他所有小學(xué)階段的平面圖形面積計算方法，而且全部都能夠“言之有理”，在他們的結(jié)構(gòu)圖中，運用了平移、切割、轉(zhuǎn)化、拼接等各種數(shù)學(xué)策略。

綜合來看，借助學(xué)程單為媒介，結(jié)合教師給的開放性的大問題，利用指定的素材、自由的討論，兩組學(xué)生都形成了屬于自己的、完整合理的知識結(jié)構(gòu)體系，A小組更加線性化，以知識習(xí)得的時間線為軸；B小組更加結(jié)構(gòu)化，以知識間的內(nèi)在聯(lián)系為軸。無論如何建構(gòu)，開放的學(xué)程單都給與了孩子足夠的思考時間、思考空間，也有了整理思路使之顯性化的媒介，充分體現(xiàn)了以學(xué)生的學(xué)為中心，以學(xué)生的素材為教學(xué)資源，變“教程”為“學(xué)程”的核心思想。

三、善于自我反思

蘇教版六年級下冊第四單元是“比例”。在學(xué)生認識了比例的意義后，進行概念的強化練習(xí)。學(xué)程單：判斷下面每組的四個數(shù)是否可以組成比例，完成后再看看你還有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生完成練習(xí)后，匯報反饋。

師：對于這四道題目，你還有什么想說的嗎？

生1：老師，我有一個問題，以第二題為例，是不是只要四個數(shù)是等差數(shù)列，這四個數(shù)就不能組成比例呢？

生2：一個例子恐怕不能說明問題，我們可以再舉幾個例子驗證一下。

師：同意，誰來為大家舉幾個例子？

生3：1、2、3、4。

師：口算一下，可以組成比例嗎？

生齊：不可以（1×4＜2×3）。

生4：0.8、1.6、2.4、3.2。

生5：不可以，觀察一下0.8 乘3.2 和1.6 乘2.4 的尾數(shù)就知道結(jié)果不可能相同，他們不可以組成比例。

生7：不可以，從數(shù)值大小觀察，兩個中間數(shù)和首尾數(shù)的乘積不相等。

師：通過大家剛才的驗證，我們發(fā)現(xiàn)，無論是四個整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)組成的等差數(shù)列，都不能組成比例。可是，我們不可能把所有的例子全部舉完??！到底該怎么證明四個數(shù)如果構(gòu)成等差數(shù)列，那么，它們就一定不能組成比例這個結(jié)論呢？

生齊：用字母來表示！

師：你們分小組合作，試試看能不能解決這個問題。

A小組：我們組舉的例子是x，x+a，x+2a，x+3a。

利用乘法分配律算出結(jié)果，把兩個式子的答案對比一下：x2+3ax和x2+3ax+2a2。假設(shè)這四個數(shù)能夠組成比例，那么x2+3ax=x2+3ax+2a2，也就是說2a2=0，即a2=0。而平方以后還等于0 的數(shù)，只有0，所以結(jié)論是a=0。

通過以上的推理，我們可以得出結(jié)論，除了公差為0 的四個數(shù)組成的等差數(shù)列（也就是四個一樣的數(shù)），其他所有組成等差數(shù)列的四個數(shù)，都不能夠組成比例。

學(xué)生個體所具有的反思角度、思考深度，引發(fā)出這個極具價值的數(shù)學(xué)問題。雖然在討論交流中牽涉到了一些目前他們還不夠熟悉的方法，但是教師適當指導(dǎo)，引領(lǐng)他們探索未知的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，還是一件極具價值的課堂體驗。數(shù)學(xué)課程課標提倡把提問的主動權(quán)交給學(xué)生，鼓勵學(xué)生自由思考，自主發(fā)現(xiàn)，著力培養(yǎng)學(xué)生提問的習(xí)慣、批評爭論的習(xí)慣、合作探究的習(xí)慣，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、終身學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ)。

“學(xué)起于思而貴有疑”，既然鼓勵孩子主動發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，那么我們就應(yīng)該給他們時間進行反思并解決問題。在適當?shù)臅r候，可以讓學(xué)生主導(dǎo)的“學(xué)程”來替代教師既定的“教程”。作為老師，我們是否能夠說到做到，下放權(quán)力——真的在課堂上讓孩子有提問的權(quán)力、質(zhì)疑的權(quán)力、反思的權(quán)力？借助學(xué)程式課堂變革，借助學(xué)程單這個媒介，學(xué)生腦海中的疑變得顯性化，變得可討論、可解決，課堂從“教程”走向“學(xué)程”，真正讓孩子們做課堂的主角、學(xué)習(xí)的主人！