汪文帥

[摘 要]正確運(yùn)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分就是要理解它的實(shí)質(zhì)并且在計(jì)算實(shí)積分的過程中構(gòu)造能夠求解的適當(dāng)?shù)姆e分路徑， 然而大量教材或者相關(guān)文獻(xiàn)長(zhǎng)期有意無意地按照既定思維對(duì)某類問題選擇基本固定不變的積分路徑進(jìn)行求解， 大多數(shù)教師在教學(xué)中也沒有注意從思想上加以啟迪，這在一定程度上給學(xué)生以思維定式.該研究用例證的方法討論了用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分過程中積分曲線的選擇方法， 從不同的角度體現(xiàn)了求解時(shí)選擇積分路徑的核心思想， 對(duì)進(jìn)一步開拓學(xué)生思維，使其能夠更為深刻地理解留數(shù)定理有積極的意義.

[關(guān)鍵詞]實(shí)積分;留數(shù)定理;積分曲線

[中圖分類號(hào)] O175.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2019）04-0106-03

留數(shù)定理是復(fù)變函數(shù)論的重要組成部分，其在理論物理、流體力學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用. 其中一個(gè)重要的應(yīng)用是計(jì)算某些實(shí)函數(shù)的積分，如在研究阻尼振動(dòng)時(shí)的積分[1][0+∞sinxxdx]、研究光的衍射時(shí)的菲涅爾積分[2][0+∞sinx2dx]等，這些積分用實(shí)積分的方法計(jì)算幾乎是不可能的，但是轉(zhuǎn)化為復(fù)積分，利用留數(shù)定理計(jì)算就相對(duì)簡(jiǎn)單了. 轉(zhuǎn)化最關(guān)鍵的是設(shè)法把實(shí)變函數(shù)的積分與復(fù)變函數(shù)的封閉曲線積分聯(lián)系起來，一般的做法是將定積分的積分區(qū)間作為復(fù)積分的封閉曲線（積分路徑）的一部分，利用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)函數(shù)在圍線內(nèi)的奇點(diǎn)的留數(shù)，且要求在除定積分區(qū)間的其他積分曲線上，復(fù)函數(shù)的積分能夠求出.但是在具體的教學(xué)過程中，往往構(gòu)造容易求解的積分路徑， 然而大量教材[3-5]或者相關(guān)文獻(xiàn)[6-10]長(zhǎng)期有意無意地在選擇相應(yīng)的積分路徑的過程中都大同小異，按照既定思維對(duì)某類問題選擇基本固定不變的積分路徑進(jìn)行求解.誠(chéng)然， 在具體求解某些積分值時(shí)， 一種方法已經(jīng)足夠了.事實(shí)上， 我們知道， 用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的過程中，積分曲線的選取不會(huì)影響積分值， 這只是我們通過柯西積分公式以及留數(shù)定理所得出的結(jié)論， 然而對(duì)本部分的認(rèn)識(shí)如果能夠通過課本中的實(shí)例加以拓展驗(yàn)證，則會(huì)達(dá)到事半功倍的效果. 但是在教學(xué)過程中，大多數(shù)教師也沒有注意從思想上加以啟迪，這在一定程度上給學(xué)生以思維定式. 這樣的教學(xué)情境必然會(huì)對(duì)學(xué)生掌握留數(shù)定理造成錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生誤認(rèn)為在用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分的時(shí)候只能選取包含實(shí)軸的此類封閉曲線.

我們的要點(diǎn)是讓學(xué)生理解留數(shù)定理求解題目的本質(zhì)，單一的求解方法難以拓寬學(xué)生的思維， 達(dá)到培養(yǎng)其創(chuàng)新思維的目的. 為此， 本文用例證的方法討論了用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分過程中積分曲線的選擇方法， 從不同的角度體現(xiàn)了求解過程中選擇積分路徑的核心思想， 對(duì)進(jìn)一步開拓學(xué)生思維，使其能夠更為深刻理解留數(shù)定理有積極的意義.