熊梅　李順異　張大林

【摘 要】利用MATLAB軟件，對一維離散映射的參數分支進行模擬，通過數值實驗說明混沌對初值的敏感性。

【關鍵詞】數學實驗;倍周期;混沌

中圖分類號： O172 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2019）05-0220-003

1 背景簡介

數學實驗是以實際問題為載體，把數學知識、數學建模、數學軟件和計算機有機結合起來，以數學理論知識作為原理，以軟件編程、圖形演示和數值計算等為實驗內容，以實際生活問題和數學教材為實驗對象，以計算機作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結推廣為主要實驗方法。強調學生的主體地位，在教師引導下查閱文獻資料，引導學生將實際問題轉化為數學模型與實踐，再運用現代的計算機技術和數學專業(yè)軟件來進行數學推演和數值計算，以求出實驗結果。用所學的數學知識和計算機技術，借助適當的數學軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來分析解決實際問題，并撰寫實驗報告或論文，使學生得到全面鍛煉，從而增強學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生的主動探索精神、綜合應用能力和創(chuàng)新意識。

“混沌”一詞出現在生活的各個領域，不僅出現在數學、物理和生物等自然科學，而且出現在金融、經濟和管理等社會科學，甚至出現在文學和藝術范疇：從宇宙起源到龍卷風的產生，從金融危機到侏羅紀公園中恐龍的重現。本文從一個一維離散映射開始，用MATLAB軟件進行模擬研究，進而討論了復雜而有趣的混沌現象.

2 實驗目的

（1）復習函數的迭代，差分方程，不動點等基本知識;Matlab編程實踐時間序列圖，蛛網迭代圖，參數分支圖等的作圖.

（2）使用數值迭代，蛛網迭代等方法來研究混沌的數值特征.

（3）了解渾沌的倍周期分叉，遍歷性和某些普適結構，計算機和數學結合在科學研究中的重要性.

（1）在區(qū)間[6，18]所劃分的各區(qū)域（I至V）內自行選擇參數α的值，做出映射（1）迭代的時間序列圖和蛛網迭代圖，觀察并比較圖形特征.通過數值實驗說明混沌對初值的敏感性.

由分支圖（圖1）可知，從區(qū)域I到V，映射（1）經歷了典型的倍周期到混沌過程.通過作出迭代映射的時間序列圖和蛛網迭代圖，表征典型的周期解和混沌現象.如圖2所示，分別取α=13，17作出圖形，其很好的表征了映射的周期性和混沌特性，回顧了”迭代映射”的基本知識，考查了迭代映射的時間序列圖和蛛網迭代圖形的基本作圖。

用數值試驗說明混沌對初值的敏感性，即初值相差非常小，經過充分迭代之后結果相差也是非常大的.將對”混沌對初值的敏感性”轉化為具體的數值試驗的設計與實踐，令初值x0=0.1，另一初值X0=x0+10-6，? |x0-X0|=10-6.取α=17，作出由初值x0，X0所確定的時間序列圖和迭代絕對誤差圖.由圖3可知，迭代次數n≤25時，由初值x0，X0出發(fā)所確定的迭代結果非常接近，而當迭代次數n>25時，迭代結果（絕對誤差）相差就很大了.通過數值試驗，形象的說明了混沌對初值的敏感性.

3.2 通過數值方法求取第一分叉值c1及第二分叉c2.

（1）利用Feigenbaum常數估計第三分叉值c3'.

（2）直接使用數值方法計算第三分叉值c3.

用估計方法和數值計算得到的結果有什么區(qū)別？

用數值方法計算分支值，要求學生給出分支點的估計值.如計算周期1周期2的分支值，可使用二分法，逐步搜索法等.在獲得第一和第二分叉值后，由Feigenbaum常數的定義

由（2）式可以給出第三分叉值的估計值.注意到Feigenbaum常數是取極限以后的結果，所以估計值c3'與數值計算直接得到的c3有較大差異，引導學生探討發(fā)生這種情形的根本原因.

3.3 作出映射（1）關于參數α在區(qū)間[6，40]上變化的參數分支圖，闡述分支圖的特征，比較它與Logistic映射分支圖形的異同.

由分支圖知道，映射（1）由倍周期分支到混沌，再經歷周期窗口到混沌，中間又有倍周期分支到混沌.在每一個小的部分與整體是自相似的，迭代結果的范圍逐步增大，而Logistic映射只在α∈[0，4]上存在.

4 實施數學實驗教學，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才

4.1 數學實驗及其分類

數學實驗是以實際問題為載體，把數學知識、數學建模、數學軟件和計算機有機結合起來，以數學理論知識作為原理，以軟件編程、圖形演示和數值計算等為實驗內容，以實際生活問題和數學教材為實驗對象，以計算機作為工具，以分析建模、模擬仿真、軟件求解和總結推廣為主要實驗方法.強調學生的主體地位，在教師引導下查閱文獻資料，引導學生將實際問題轉化為數學模型與實踐，再運用現代的計算機技術和數學專業(yè)軟件來進行數學推演和數值計算，以求出實驗結果.用所學的數學知識和計算機技術，借助適當的數學軟件（如SPSS，Matlab，Lingo，Lindo）來分析解決一些實際問題，并撰寫實驗報告或論文，使學生得到全面鍛煉，從而增強學生學習數學的興趣，培養(yǎng)學生的主動探索精神、綜合應用能力和創(chuàng)新意識.

圖3 時間序列圖和絕對誤差圖，其中α=17，x0=0.1，X0=x0+10-6.

圖4 映射（1）關于α∈[6，40]的分支圖

按其實驗內容和性質，?？煞譃橐韵铝鶄€層次的實驗：（1）基礎性數學實驗.此類實驗的目的是要求學生掌握一些常用數學軟件包的基本命令，熟悉相關軟件的圖形繪制與數值計算等的基本技能.（2）驗證性數學實驗.要求學生通過對數學實驗現象的觀測，驗證數學中的基本理論和經典的數學方法，以增強其對數學概念的認識，并揭示數學知識的內涵.（3）研究性數學實驗.要求學生根據教師提出的實驗課題設計相應的實驗方案，運用數學理論相關知識和數學技巧，尋求解決實際問題的途徑，得出研究性結論.（4）應用性數學實驗.要求學生結合實際生活問題，如太陽能房屋的造型設計、股市行情走勢分析、基金投資分配等，建立相關數學模型，并運用數學軟件進行數值計算，從而指導實際問題.（5）拓展性數學實驗.要求學生學會揭示數學理論之間的聯系并從中拓展發(fā)現新的知識，或拓展到其他相關領域（如運籌與優(yōu)化、數值方法計算、分形與混沌等科學領域）.（6）綜合性數學實驗.[5]