丁傳俊， 劉 寧， 張相炎

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

多股螺旋彈簧(簡稱多股簧，圖1)是由多股鋼絲擰成鋼索卷制而成的圓柱螺旋彈簧。和普通單股彈簧相比，多股簧抗沖擊性能好、吸振能力強、具有較大的剛度和非線性阻尼、壽命長，常被用作小口徑自動武器的緩沖復進簧[1]。

多股簧響應模型是描述多股簧在靜、動態(tài)載荷下恢復力與變形量之間關系的數(shù)學模型。目前使用較多的響應模型有雙折線模型[2]和基于現(xiàn)象模型的Bouc-Wen遲滯模型及其修正模型[3](簡稱BW模型)。雖然以上兩種模型可以較好地描述多股簧的響應特性，但構(gòu)建模型時的測試速度都很低，并沒有考慮到自動武器發(fā)射過程中的高速、沖擊等特性，應用于自動武器動力學計算時將會產(chǎn)生一定的誤差[4-5]。

圖1 多股簧Fig.1 A stranded wire helical spring

王時龍等[6-7]通過建立兩端并圈的多股簧有限元模型，研究了多股簧受沖擊時彈簧各質(zhì)點的運動形式，結(jié)論認為如果沖擊速度過大，彈簧簧圈會發(fā)生壓并現(xiàn)象；田波[8]測試了不同沖擊速度下多股簧的剛度和阻尼，發(fā)現(xiàn)高速沖擊時多股簧的阻尼系數(shù)是自由衰減時的6倍。雖然以上學者進行了多股簧的沖擊試驗，但是并沒有將多股簧沖擊試驗結(jié)果應用于武器的緩沖復進計算。

本文根據(jù)多股簧靜態(tài)、低速動態(tài)和沖擊試驗的測試結(jié)果對多股簧靜態(tài)、低速動態(tài)恢復力模型進行了參數(shù)辨識，并提出了計及沖擊端速度的廣義修正歸一化Bouc-Wen遲滯模型(簡稱廣義BW模型)。通過建立火炮自動機發(fā)射動力學有限元模型，同時考慮內(nèi)彈道和導氣裝置的耦合過程并將以上三種彈簧模型應用于自動機動力學仿真計算，本文驗證了當前耦合計算模型、自動機有限元模型的準確性。通過對比三個多股簧響應模型的計算結(jié)果，本文發(fā)現(xiàn)，雙折線模型的滯回耗能較大、彈簧恢復力較小，復進時自動機的傳動框不能及時復進到位；BW模型和廣義BW模型都能夠使自動機的傳動框復進到位，且廣義BW模型的理論射速高于BW模型。

1 多股簧非線性響應模型及其試驗

1.1 雙折線模型

雙折線模型采用一組分段線性函數(shù)來描述多股簧的遲滯響應。作為一種簡單遲滯模型，主要用于自動武器前期的概念設計。圖2為萬能拉壓試驗機所輸出的某撥彈板簧的恢復力曲線(加載速度為0.8 mm/s)。從圖中可以看出，當軸向位移加載到一定程度時，由于簧絲之間發(fā)生了緊密接觸和摩擦，多股簧恢復力有明顯的擰緊點，且擰緊點前后彈簧的靜態(tài)剛度有一定差異；卸載時多股簧簧絲逐漸放松，卸載階段彈簧的放松點不太明顯，有些較為“松軟”的多股簧甚至沒有放松點。

雙折線模型的恢復力為：

圖2 多股簧的靜態(tài)響應Fig.2 Measured static response of stranded wire helical spring

(1)

式中：F(x)、F0分別為多股簧的恢復力和預壓力，ca0、ca1、cb0、cb1分別彈簧各段的靜態(tài)剛度，xap、xbp分別為加載時的擰緊點和卸載時的放松點。

一般情況下自動武器中的多股簧其工作范圍都在加載擰緊點之上，所以彈簧的恢復力可以用擰緊點后的兩條直線來描述。雖然靜態(tài)試驗曲線形成了非對稱滯回曲線，但這種滯回曲線并不能用BW模型及其修正模型來描述，其原因是靜態(tài)試驗的加載速度為定值且存在加載和卸載時的突變。多股簧的雙折線模型可以采用最小二乘法求解，由于模型比較簡單，所獲得的參數(shù)有著較高的精度。

1.2 修正歸一化Bouc-Wen模型(BW模型)

Zhao等[3]提出使用修正歸一化BW模型來表示多股簧的力/位移響應特性。該模型作為非線性微分模型將彈性元件的恢復力分解為彈性部分和純遲滯部分，并將遲滯量以微分方程解的形式給出。由于BW模型及其修正模型能夠同時描述多股簧的剛度和遲滯阻尼效應，響應曲線比較光滑，且在加載和卸載的各個區(qū)域內(nèi)都能很好地與試驗結(jié)果吻合，因此能以較高的精度反映出多股簧的非線性動態(tài)特性并獲得了廣泛的應用。BW模型的表達式為：

(2)

式中：x(t)、t分別為位移和時間；FE和FA分別是恢復力的非線性彈性部分和非線性放大部分；kEi和kAi分別是非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子，N是多項式的階數(shù)，一般取2階或3階；ω(t)為純遲滯部分，對于任意的x(t)和t，都有|ω(t)|≤1；ρ、σ、n為控制純遲滯部分ω(t)曲線形狀的遲滯三參數(shù)。Ikhouane等[9]進一步指出歸一化BW模型只有在滿足ρ>0、σ≥0.5時才有物理意義，而且在實際應用中，若n<1則會使微分方程的右端出現(xiàn)無限大的量，從而導致計算發(fā)散。

圖3即為使用動態(tài)疲勞試驗機測得的某撥彈板簧恢復力曲線。從圖中可以看出，動態(tài)情況下多股簧的響應曲線也是非對稱滯回曲線；和靜態(tài)試驗結(jié)果相比，動態(tài)加載時彈簧的回彈力所有增加。需要指出的是使用動態(tài)試驗機測試多股簧的響應時，儀器的加載速度和幅值都比較有限，例如當前試驗條件下，試驗機的最大加載速度、幅值分別是214 mm/s，45 mm。

圖3 多股簧的動態(tài)響應Fig.3 Measured dynamic response of stranded wire helical spring

多股簧的BW模型以及本文將要提出的廣義BW模型是一個多參數(shù)的非線性遲滯模型，對其參數(shù)辨識存在一定的難度，目前廣泛采用的辨識方法大體可以分為兩類：解析算法和迭代算法。其中常用的解析算法有三步法[3]、極限環(huán)法[9]等，這類方法大多數(shù)都要求在求解前對試驗數(shù)據(jù)進行平滑降噪和遲滯量分離處理，優(yōu)點在于求解速度快；迭代算法主要有濾波算法[10]、粒子云算法[11]、差分演化算法[12]等，這些算法一般不需要對數(shù)據(jù)進行預處理，求解參數(shù)數(shù)量不受限制，計算過程抗噪聲性能較強且參數(shù)辨識結(jié)果精度高，但求解過程比較耗時。圖3中的黑色實線即為本文使用自適應無跡卡爾曼濾波算法[13-14](AUKF)預測出的多股簧力/位移響應。

1.3 廣義修正歸一化Bouc-Wen模型(廣義BW模型)

自動武器中的多股簧在使用時主要承受高速沖擊載荷，彈簧的變形速度很快。在這種變形速度下，由于彈簧自身有質(zhì)量和慣性，其內(nèi)部各質(zhì)點的運動速度沿軸向不再是線性分布，而是以縱波的形式向固定端傳遞并在固定端反射[7]。由于以上兩個模型不能反映多股簧在自動武器中的實際工作狀態(tài)，因此本文提出計及沖擊端速度的廣義BW模型。廣義BW模型不再將彈性部分和非線性放大因子中的系數(shù)當做定值，而視其為沖擊端速度v的二階或者三階函數(shù)。一般情況下，通過三到四次不同沖擊速度的測量即可確定模型中的參數(shù)。廣義BW模型的表達式為：

(3)

式中：kEi(v)和kAi(v)分別是計及沖擊端速度的非線性剛度系數(shù)和非線性放大因子。圖4(a)即為重慶大學多股簧課題組[7]研制的沖擊試驗裝置，其中A為沖擊試驗所用的高壓氣源，B為沖擊結(jié)構(gòu)主體(包括多股簧固定裝置、沖擊體和閥門等)，C為測量簧圈運動情況所用的光電傳感器。圖4(b)為當沖擊體速度為17.65 m/s時某復進裝置多股簧的沖擊響應情況。從圖中可以看出，沖擊時多股簧剛度的非線性特性更為明顯，當壓縮變形量為0.4 m時彈簧的恢復力約為靜態(tài)測試情況下的1.5倍。圖4(b)中的黑色曲線即為本文使用反向差分演化算法[15](ODE)預測出的多股簧的力/位移響應。

(a) 多股簧沖擊試驗裝置

(b) 實測的多股簧響應圖4 多股簧的沖擊試驗Fig.4 Dynamic Impact of stranded wire helical spring

2 火炮自動機動力學模型

為考察三種不同彈簧恢復力模型對自動機運動性能的影響，本文通過分析身管和導氣裝置之間存在的變質(zhì)量熱力學過程，建立了內(nèi)彈道耦合導氣裝置的變質(zhì)量熱力學計算模型，并將計算方程編制成子程序作為邊界添加到自動機動力學仿真之中。

2.1 自動機運動原理

本文研究的自動炮為某23 mm導氣式航空自動炮，除首發(fā)裝填需高壓氣瓶外，自動機的動力源均為導氣裝置內(nèi)的氣體壓力。發(fā)射藥被點燃后，彈丸在火藥燃氣壓力的作用下擠進膛線并加速向前運動。當彈丸經(jīng)過導氣孔時，部分燃氣由導氣孔流入導氣室，由于內(nèi)彈道起始階段膛內(nèi)氣壓比氣室氣壓高出很多，導氣孔處出現(xiàn)臨界流動，此時氣室壓力逐漸升高并推動傳動框加速向后運動；傳動框向后運動的同時，帶動撥彈板操縱器及其相關機構(gòu)、加速臂及其相關機構(gòu)并最終完成開閂、抽殼、撥彈等動作。隨著膛內(nèi)壓力下降和傳動框運動導致氣室容積增大，氣室壓力達到峰值后開始下降。當傳動框上的活塞越過導氣室排氣孔時，導氣室不再提供動力、傳動框進入慣性后坐階段，傳動框在復進簧和撥彈板簧的共同作用下逐漸減速，并以一定的速度撞擊緩沖器。撞擊后傳動框和緩沖器一起后坐一定距離，然后在彈簧恢復力和緩沖器推力的作用下加速復進。復進時推彈臂在加速臂和加速座的作用下，加速推彈入膛，當復進到一定位置時，傳動框提起炮閂，于此同時自動扣機扣住炮閂上的撞擊筒。最后傳動框以一定的余速撞擊反跳鎖，當剩余的能量被消耗后，傳動框被反跳鎖鎖死并停留在最前位置，至此一個射擊循環(huán)完成。

2.2 自動機有限元模型建模

進行火炮自動機有限元建模時必須對模型進行簡化。對于那些剛度大、變形小且對自動機運動影響較小的部件可以當做剛體或者直接將其從計算模型中刪去。炮箱作為一個比較復雜的部件，其內(nèi)部有許多碰撞接觸表面，在建模時需要精確處理；由于本文主要關注自動機運動情況，因此只建立藥筒模型，并將膛底壓力施加在藥筒內(nèi)部；推彈臂和加速臂之間、加速臂和傳動框之間采用旋轉(zhuǎn)鉸單元建立鉸接運動關系，并在這些單元上施加小質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量以平衡計算；為了減少計算成本，將炮箱和加速座設定為剛體并將其固定在計算區(qū)域中；為了方便彈簧恢復力的施加，分別建立撥彈板簧和復進簧的施力耦合面，并將這些面耦合到彈簧力的施力點上。最終的計算模型共含有13個部件、409 108個實體單元，如下圖所示(隱藏炮箱和身管)。

2.3 導氣室內(nèi)火藥氣體壓力計算和載荷施加

由于導氣室內(nèi)的氣體壓力變化規(guī)律與自動機傳動框的往復運動有關，因此在計算導氣室壓力時需將傳動框的運動和導氣裝置氣流參數(shù)的變化規(guī)律耦合起來計算。

圖5 簡化的自動機計算模型Fig.5 Simplified computation model of automatic mechanism

以下為當前變質(zhì)量熱力學計算模型的基本假設：

(1) 內(nèi)彈道采用經(jīng)典內(nèi)彈道模型求解，并將后效期膛內(nèi)氣流當作準定常流處理；

(2) 不考慮導氣裝置內(nèi)氣流參數(shù)的分布，將氣室內(nèi)氣體壓力、密度、溫度取平均參數(shù)；

(3) 氣室與活塞之間的間隙漏氣作臨界流動處理；

(4) 忽略氣體在管道以及間隙中的橫向流動效應；

(5) 流動中的氣體為完全氣體，不計質(zhì)量力。

導氣式自動武器變質(zhì)量熱力學計算模型包括內(nèi)彈道模型、導氣裝置模型和導氣孔流量(耦合)方程。詳細的內(nèi)彈道方程和導氣孔流量方程可以參考相關文獻。由于耦合模型中的傳動框速度vh、位移xh可以通過ABAQUS的傳感器接口向外輸出，因此導氣室氣體參數(shù)方程不需要求解傳動框的運動參數(shù)，于是簡化后的導氣裝置動力學模型如下：

(4)

式中：ρq、pq、Tq分別為導氣室內(nèi)的氣體密度、壓力和溫度；qmb、qmq、Vq0、Sh分別為流入導氣室氣體流量、導氣室間隙的泄漏量、導氣室初始容積、活塞的橫截面積；γ、Q、R、ei、eq分別為絕熱指數(shù)、導氣室氣體對外散熱量、火藥氣體常數(shù)、導氣室流入和流出單位質(zhì)量氣體所具有的能量。

計算時將內(nèi)彈道程序輸出的膛底壓力施加在彈殼內(nèi)部表面上，結(jié)合導氣孔處的膛內(nèi)火藥氣體壓力和密度，將計算得到的導氣室壓力施加在活塞頭端面上。至于復進簧和撥彈板簧的彈簧力，則需要在VUAMP子程序內(nèi)部調(diào)用傳動框的位移和速度信息、計算微分方程并將彈簧力施加在相應的耦合節(jié)點上；除了9.8 N/m2的重力場之外，以上所施加載荷均使用ABAQUS的VUAMP子程序進行施加，效果如圖6(b)所示；模型中的其他載荷(如推彈臂推彈阻力、撥彈齒的彈鏈阻力)均采用常值的方式簡化處理。在有限元模型中設定計算時間為0.05 s，計算終止條件為傳動框撞擊反跳鎖后反彈速度為小于10-7m/s。

(a) 傳動框和多股簧的相對位置

3 模型驗證及計算結(jié)果分析

3.1 模型驗證

由于廣義BW模型輸出的恢復力比較符合實際，因此本文首先使用廣義BW模型來驗證當前自動機計算模型的準確性。由ABAQUS子程序輸出的內(nèi)彈道壓力、導氣室壓力和彈丸出膛速度分別如圖7和圖8所示，最大膛內(nèi)壓力、最大導氣室壓力、彈丸出膛速度分別均為326.0 MPa、40.27 MPa、695.2 m/s，和文獻[16]給出的結(jié)果分別相差了-0.5%、+2.7%、-1.4%，這說明本文所建立的內(nèi)彈道/導氣裝置耦合計算模型是準確的。

當彈丸越過導氣孔時(1.179 ms)時，膛內(nèi)氣壓很大，導氣孔處出現(xiàn)正向臨界流動、導氣室開始充氣；2.2ms時彈丸飛離炮口、內(nèi)彈道時期結(jié)束，膛內(nèi)氣體開始迅速排空，但此時的膛內(nèi)壓力依然高于導氣室壓力，導氣孔處為正向亞臨界流動；2.5 ms時導氣室壓力開始高于導氣孔處的膛內(nèi)壓力，導氣孔處出現(xiàn)火藥燃氣的反向流動；隨著導氣室內(nèi)的氣體不斷流入膛內(nèi)和導氣室空間的不斷增大，導氣室壓力逐漸降低；7.87 ms時活塞越過導氣室泄氣孔，導氣室壓力降為一個大氣壓，至此傳動框開始進入無動力慣性后坐階段。

圖8 廣義BW模型的彈丸速度和位移Fig.8 Displacement and velocity of Generalized BW model

傳動框的速度曲線如圖9所示，在導氣室壓力的作用下，傳動框的速度不斷增大，并在加速臂撞擊加速座前達到了最大值16.58 m/s。加速臂撞擊加速座時，加速臂相對于傳動框旋轉(zhuǎn)的同時，還要后坐并帶動推彈臂加速抽殼、拋殼，因此導致傳動框的速度有一定的衰減；加速臂和加速座分離后不久，傳動框便以10.17 m/s的速度撞擊緩沖器，并在彈簧力和緩沖器反力的作用下速度降為0；傳動框后坐大約12 mm后開始反彈復進，經(jīng)過短暫的復進加速后其復進速度達到了最大值8.38 m/s；當其上的加速臂再次和加速座相撞使得推彈臂得以加速推彈入膛后，傳動框速度降到6.4 m/s左右。和加速座脫離接觸后傳動框的速度繼續(xù)增大，在驅(qū)動其他機構(gòu)和摩擦等消耗的作用下，傳動框最終以4 m/s左右的余速撞擊反跳鎖，并被反跳鎖消耗掉剩余的能量而停留在最初的位置上。當前有限元模型所輸出的傳動框最大后坐速度較文獻[17]給出的結(jié)果增大5.6%；該炮的理論速射不低于1 200 r/min[16]，使用當前模型獲得的單次射擊循環(huán)時間(已包含扣機打火、彈丸啟動等時間)為48.243 1 ms，理論速射為1 243.7 r/min。綜上所述，可以認為當前所建立的導氣式自動機動力學模型是準確的。

圖9 廣義BW模型的傳動框速度Fig.9 Drive box speed of of Generalized BW model

3.2 不同多股簧響應模型對自動機運動性能的影響

三種彈簧響應模型所輸出的撥彈板簧恢復力曲線如圖10所示。通過對比可以看出，雙折線模型的滯回曲線包絡面積最大，其線性的加載和卸載關系所產(chǎn)生的恢復力均小于BW模型和廣義BW模型，出現(xiàn)這種情況的原因在于靜態(tài)模型的加載速度太小，使得多股簧簧絲有足夠的時間擰緊和放松，從而導致多股簧耗能區(qū)間過大、彈簧恢復力較低，因此不足以體現(xiàn)多股簧的非線性漸硬特性；傳動框后坐到0.08 m之前，BW模型的恢復力和雙折線模型的恢復力基本相等，而在此之后多股簧表現(xiàn)出了非線性剛度，響應曲線開始上翹；計及沖擊端速度的廣義BW模型由于考慮了沖擊時簧圈的慣性效應，彈簧的恢復力分別是BW模型和雙折線模型的1.336倍、1.42倍(后坐位移0.16 m時)，同時彈簧的滯回耗能也較BW模型有所增加。

圖10 撥彈板簧恢復力的對比Fig.10 Comparison curves of feeding slide spring force

三個模型的傳動框速度和位移曲線如圖11(a)、(b)所示。從圖中可以看出，由于廣義BW模型計算出來的彈簧恢復力大大超過了其他兩個模型，因此在復進后期傳動框復進的動力比較充足、復進速度較大，能夠及時地使傳動框復進到位，比如0.04 s時，廣義BW模型中傳動框的速度是BW模型的1.144倍；而雙折線模型由于遲滯耗能過大、輸出的恢復力過小，導致傳動框復進速度過低，在距離前位17 mm處，傳動框開始緩慢“爬行”。由于在規(guī)定計算時間內(nèi)不能使傳動框復進到位，因而雙折線模型無法完成一個射擊循環(huán)。

三種響應模型的傳動框最大后坐速度、位移、單次射擊循環(huán)耗時和理論射速(理論射速中包含了扣機平均打火時間)如表1所示。由于輸出的恢復力高于其他兩個模型，廣義BW模型的傳動框最大后坐速度和位移均小于其他兩個模型，但由于復進動力較為充足，所以理論射速高于BW模型。文獻[16]認為該武器的理論射速處于1 200～1 350 r/min之間，因此BW模型和廣義BW模型的計算結(jié)果都比雙折線模型更切合實際。

(a) 傳動框的速度

(b) 傳動框的位移圖11 三種響應模型的傳動框速度和位移

Fig.11 Drive box speed and displacement curves of three spring response models

表1傳動框運動特性和火炮理論射速比較

Tab.1Comparisonofmotioncharacteristicsandtheoreticalshootingrateofdrivebox

多股簧響應模型最大后坐速度/(m·s-1)最大后坐位移/m單次射擊循環(huán)耗時/s理論射速/(r·min-1)雙折線模型16.8650.161 4無無BW模型16.7650.162 120.048 392 11 239.87廣義BW模型16.5820.160 310. 048 243 11 243.70

4 結(jié) 論

(1) 本文建立了考慮身管和導氣裝置耦合過程的火炮自動機有限元模型并將三種多股簧響應模型代入計算。通過分析計算結(jié)果并對比相關文獻數(shù)據(jù)，證明當前所建立的內(nèi)彈道耦合導氣室計算模型、自動機仿真模型是準確的。

(2) 基于靜態(tài)試驗的雙折線模型由于滯回耗能過大、彈簧恢復力較小，導致傳動框復進時動力不足、速度較低，不能有效地使傳動框復進到預定位置，這說明裝備設計前期所使用的雙折線模型并不適用于后期的自動機動力學計算。

(3) 廣義BW模型的滯回耗能雖然大于BW模型，但相同后坐位移情況下廣義BW模型的恢復力是BW模型的1.336倍，復進速度是BW模型的1.144倍，此時傳動框復進動力充足，因此廣義BW模型的理論射速高于BW模型。