郭俊鋒， 黨姜婷

(蘭州理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730050)

機(jī)械振動(dòng)信號(hào)承載并傳遞著機(jī)械設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)過(guò)程中的多樣化信息，實(shí)時(shí)檢測(cè)并提取振動(dòng)過(guò)程中的有用信息，對(duì)機(jī)械設(shè)備的故障信息判定和生產(chǎn)維護(hù)尤為重要。傳統(tǒng)的且目前被廣泛采用的振動(dòng)信號(hào)采集都是以奈奎斯特采樣理論為指導(dǎo)的模數(shù)(A/D)采樣，它指出采樣頻率不低于原始信號(hào)最高頻率的兩倍，才能精確重建出該信號(hào)。然而，如今的機(jī)械設(shè)備日趨高速化和大型化，振動(dòng)頻率越來(lái)越高且呈現(xiàn)非線性、非平穩(wěn)性的特點(diǎn)。如果依然用傳統(tǒng)的采樣定理進(jìn)行采樣，必然要求更高的采樣頻率，同時(shí)產(chǎn)生海量的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的實(shí)時(shí)傳輸、同步存儲(chǔ)與后期處理已成為亟待解決的工程技術(shù)瓶頸問(wèn)題[1]。

近年來(lái)出現(xiàn)的壓縮感知理論[2](Compressed Sensing，CS)對(duì)上述問(wèn)題的解決起到了啟示作用，該理論指出，如果原信號(hào)是稀疏的或在某種變換域下可壓縮，就能以遠(yuǎn)低于奈奎斯特的速率對(duì)信號(hào)采樣的同時(shí)進(jìn)行壓縮。壓縮感知主要由信號(hào)的獲取和重建兩大部分構(gòu)成，作為壓縮感知最核心內(nèi)容的測(cè)量矩陣在這兩部分中都起著重要作用：測(cè)量矩陣性能越好，需要的采樣數(shù)越少，重建誤差也越小。目前的測(cè)量矩陣主要分為隨機(jī)性矩陣和確定性矩陣兩大類。在壓縮感知理論初期，以高斯矩陣[3]為代表的隨機(jī)性測(cè)量矩陣，因其所需測(cè)量數(shù)目少、重構(gòu)精度高而備受青睞，但其結(jié)構(gòu)復(fù)雜，占用的存儲(chǔ)空間大，隨機(jī)變?cè)?，不利用硬件?shí)現(xiàn)。相反，確定性測(cè)量矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，大大降低了硬件構(gòu)造難度，有利于工程實(shí)現(xiàn)，因此，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者轉(zhuǎn)而研究了確定性矩陣，如Toeplitz矩陣[4]、循環(huán)測(cè)量矩陣等，但因確定性測(cè)量矩陣的重建誤差較大，未能得到廣泛應(yīng)用。

在測(cè)量矩陣的優(yōu)化方面，大量研究表明，增大測(cè)量矩陣和稀疏表示矩陣的非相干性，可以提高壓縮感知的整體效率[5]。學(xué)者們提出不同的算法來(lái)降低測(cè)量矩陣和稀疏表示矩陣之間的相干系數(shù)，如Elad[6]算法，Abolghasemi等[7]的梯度下降算法，Duarte-Carvajalino等[8]算法，及Xu等[9]的角緊框架訓(xùn)練算法等。此外，Donoho提出的測(cè)量矩陣需要滿足的三個(gè)特征表明：測(cè)量矩陣優(yōu)化的另一個(gè)出發(fā)點(diǎn)是提高測(cè)量矩陣自身列向量的獨(dú)立性。如QR分解算法、SVD算法等。然而，上述兩大類優(yōu)化方法都只是單方面提高測(cè)量矩陣的性能，未能使壓縮感知達(dá)到最優(yōu)效果。目前也有學(xué)者針對(duì)特定信號(hào)，研究出了不同的測(cè)量矩陣，比如，基于雷達(dá)圖像的卷積測(cè)量矩陣[10]、基于信道的時(shí)域測(cè)量矩陣[11]等，然而，鮮有研究針對(duì)機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的測(cè)量矩陣。

針對(duì)上述測(cè)量矩陣存在的問(wèn)題，本文從工程應(yīng)用角度出發(fā)，得益于文獻(xiàn)[12]的啟示，以機(jī)械振動(dòng)信號(hào)為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)出適用于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣，進(jìn)而提出一種基于最優(yōu)型確定性矩陣的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集方法?？紤]對(duì)確定性矩陣的典型代表——Toeplitz矩陣，進(jìn)行正交化及對(duì)稱化，減少獨(dú)立變?cè)?，?gòu)造出易于硬件實(shí)現(xiàn)的OST矩陣。為了提高OST矩陣的重構(gòu)精度，從非相干性出發(fā)，將上述兩大類優(yōu)化方法結(jié)合起來(lái)，首先根據(jù)最優(yōu)測(cè)量理論，通過(guò)閾值迭代收縮算法優(yōu)化OST測(cè)量矩陣，以降低OST測(cè)量矩陣與稀疏基之間的互相干性，其次采用SVD算法，進(jìn)一步提高OST矩陣自身列向量獨(dú)立性，最終得到適用于振動(dòng)信號(hào)的最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣。本文提出的振動(dòng)信號(hào)壓縮采集算法運(yùn)行速度快，在提高測(cè)量矩陣壓縮性能的同時(shí)大大降低了計(jì)算復(fù)雜度。

1 壓縮感知基本理論

壓縮感知理論指出：倘若一個(gè)信號(hào)本身是稀疏的或者在某種變換域下是可壓縮的，那么通過(guò)一個(gè)與稀疏變換基不相關(guān)的測(cè)量矩陣，就可以將原始信號(hào)從高維空間投影到低維空間，從而得到一組遠(yuǎn)小于原始信號(hào)長(zhǎng)度的測(cè)量值，并且通過(guò)重建算法，可以由這些少量的測(cè)量值重建出原始信號(hào)。壓縮感知基本模型如下：

(1)

式中：f為原始信號(hào)，f∈Rn；α為f在稀疏變換基Ψ下的稀疏系數(shù)(α中非零值的數(shù)目K遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于信號(hào)的長(zhǎng)度N)；y為觀測(cè)值，y∈Rm×1；Φ為m×n的觀測(cè)矩陣；D(D=ΦΨ)為m×n的感知矩陣。其中，Φ必須滿足下述約束等距性質(zhì)(RIP)：

(2)

式中：0<δk<1，f為一稀疏向量。由式(1)反求f的過(guò)程為信號(hào)的重建過(guò)程，重建過(guò)程一般通過(guò)求解l0范數(shù)問(wèn)題來(lái)實(shí)現(xiàn)，但因?yàn)閘0范數(shù)問(wèn)題是一個(gè)NP-hard難題，因而轉(zhuǎn)為求解等價(jià)的l1范數(shù)問(wèn)題，求解這類問(wèn)題的典型算法主要有以基追蹤為代表的凸優(yōu)化算法，和以正交匹配追蹤[13](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)為代表的貪婪迭代算法等。

對(duì)于構(gòu)造的測(cè)量矩陣，只有其以高概率滿足RIP特性，才可以從少量的測(cè)量值y中精確地重建出原始信號(hào)，然而，要證明其滿足RIP是很復(fù)雜的，因此，常常采用與RIP等價(jià)的非相干特性作為測(cè)量矩陣構(gòu)造與優(yōu)化的參考依據(jù)。

2 基于最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣壓縮采集振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)的整體方案

將壓縮感知理論應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)的采集過(guò)程，其前提條件是該振動(dòng)信號(hào)是可壓縮的或稀疏的，因此，首先應(yīng)分析振動(dòng)信號(hào)的稀疏特性，之后再設(shè)計(jì)振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集的整體方案。

2.1 機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的稀疏性分析

信號(hào)是稀疏的或可壓縮的分兩種情況，其一，信號(hào)本身是稀疏的或可壓縮的；其二，信號(hào)在某種變換下是稀疏的或可壓縮的。大部分實(shí)際信號(hào)(包括本文研究的機(jī)械振動(dòng)信號(hào))都屬于第二種情況。常用的稀疏變換基有：離散余弦變換基(DCT)、小波基(DWT)及傅里葉變換基(DFT)等，本文研究機(jī)械振動(dòng)信號(hào)在DCT正交基下的稀疏特性，同時(shí)估計(jì)其稀疏度K。隨機(jī)地從美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)中選取512個(gè)數(shù)據(jù)開(kāi)展振動(dòng)信號(hào)的稀疏性研究。圖1為振動(dòng)信號(hào)的時(shí)域波形，圖2為該振動(dòng)信號(hào)在DCT基下的變換系數(shù)按絕對(duì)值從大到小排列后的系數(shù)分布。

圖1 振動(dòng)信號(hào)時(shí)域波形Fig.1 Time-domain waveform of the vibration signal

2.2 基于最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣壓縮采集振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)的整體框架

為了在不丟失原始振動(dòng)信息的情況下，提高機(jī)械振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集的效率，提出一種基于最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集方法，其框圖如圖3所示，該方法以振動(dòng)信號(hào)的稀疏性為先驗(yàn)，其測(cè)量過(guò)程為：首先分析信號(hào)在DCT基上的稀疏性，結(jié)合稀疏度K構(gòu)造最優(yōu)型OST確定性測(cè)量矩陣，然后按照公式(1)的CS基本模型壓縮采集振動(dòng)信號(hào)得到壓縮測(cè)量值y，最后將y通過(guò)數(shù)據(jù)傳輸網(wǎng)絡(luò)輸送到信號(hào)重構(gòu)與檢測(cè)環(huán)節(jié)，一方面可直接通過(guò)攜帶振動(dòng)信號(hào)全局信息的壓縮值y進(jìn)行信息提取，完成狀態(tài)檢測(cè)，另一方面，可選用經(jīng)典的OMP算法，融入振動(dòng)信號(hào)的稀疏信息，用少量的壓縮值y重構(gòu)出原始信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，并計(jì)算重構(gòu)精度。本文在提出該方法的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)研究振動(dòng)信號(hào)壓縮采集環(huán)節(jié)中最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)。

圖2 振動(dòng)信號(hào)在DCT基下的變換系數(shù)衰減分布

Fig.2 The change coefficient attenuation distribution of the vibration signal under DCT base

圖3 基于最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集方法框圖Fig.3 A block diagram of the data compression method for collecting vibration signals based on optimal deterministic measurement matrix

3 最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)

3.1 確定性測(cè)量矩陣模型

以Toeplitz測(cè)量矩陣為基礎(chǔ)，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，建立OST確定性矩陣模型。

Toeplitz測(cè)量矩陣的形式如下：

(3)

該矩陣由元素取值為±1的隨機(jī)行向量通過(guò)循環(huán)移位得到一個(gè)方陣，并對(duì)其列向量進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)的歸一化處理得到，存儲(chǔ)量極少，但因其元素取值單一，導(dǎo)致矩陣的非相干性較小，因此重建誤差較大。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)Toeplitz測(cè)量矩陣做出了改進(jìn)：Bottcher[15]提出了一種新型的確定性觀測(cè)矩陣——正交對(duì)稱托普利茲(OST)矩陣；Li等[16]證明，如果一個(gè)矩陣滿足統(tǒng)計(jì)約束等距性(Statistical Restricted Isometry Property，SRIP)，也可以作為壓縮感知的觀測(cè)矩陣；Li等又證明，OST測(cè)量矩陣滿足SRIP，并且其感知性能與隨機(jī)性矩陣相當(dāng)。受此啟發(fā)，考慮將OST矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮采集過(guò)程中，并驗(yàn)證其壓縮性能。

OST測(cè)量矩陣的模型如下：

(4)

該矩陣由特定的隨機(jī)序列通過(guò)循環(huán)移位得到一個(gè)方陣，并隨機(jī)選取其中的M行之后標(biāo)準(zhǔn)化得到：首先定義符號(hào)序列σ(σ1,σ2,…,σN)，OST矩陣的首行元素由該序列通過(guò)逆傅里葉變換得到，即按式(5)生成：

(5)

3.2 最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)

如前所述，目前測(cè)量矩陣的優(yōu)化一般從非相干性出發(fā)，考慮兩方面：一是增大稀疏基和觀測(cè)矩陣之間的非相干性，二是降低測(cè)量矩陣本身的列相干性。本文將用于降低測(cè)量矩陣和稀疏基相關(guān)性的閾值迭代法和用于增加測(cè)量矩陣自身列獨(dú)立性的SVD算法相融合，層層優(yōu)化OST矩陣，得到適用于振動(dòng)信號(hào)的最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣。

(6)

(7)

則基于該矩陣，此時(shí)互相干系數(shù)μ可定義為：

(8)

(9)

此時(shí)優(yōu)化的目標(biāo)是降低觀測(cè)矩陣Φ和稀疏基Ψ的t-平均互相關(guān)系數(shù)μt(D)，以得到改進(jìn)的矩陣Φ′。

相比原始OST矩陣，經(jīng)上述閾值迭代算法改進(jìn)后的Φ′，重構(gòu)性能有了一定程度的提高，但還未達(dá)到最佳的感知效果，即此時(shí)得到的矩陣并非是最優(yōu)的，因此，下一步將采用SVD算法繼續(xù)優(yōu)化Φ′。

測(cè)量矩陣經(jīng)SVD分解后可以增大矩陣的最小奇異值，該值越大，測(cè)量矩陣的列向量獨(dú)立性越強(qiáng)，該矩陣用于信號(hào)壓縮感知時(shí)的性能也就越強(qiáng)。SVD算法的主要思想為：將測(cè)量矩陣Φ′作對(duì)角化分解得Φ′=UΛPT，其中U∈RM×M和P∈RN×N均是正交陣，Λ∈RM×N是對(duì)角陣，Λ的對(duì)角線上的元素是測(cè)量矩陣Φ′的奇異值。現(xiàn)對(duì)Λ做限定：只保留Λ正對(duì)角線上絕對(duì)值前M大的因子，其余都設(shè)為0，即

(10)

式中：Δ=diag(σ1,σ2,…,σM)，優(yōu)化后得到測(cè)量矩陣Φ″=UΛ′PT。

基于閾值迭代收縮與SVD聯(lián)合優(yōu)化算法的最優(yōu)型OST矩陣設(shè)計(jì)方案為：

輸入?yún)?shù)：相干性閾值t，尺度下降因子γ(0<γ<1)，最高迭代次數(shù)Itermax，迭代的次數(shù)(q=1:Itermax)，測(cè)量數(shù)M，稀疏基ΨDCT，測(cè)量矩陣Φ，感知矩陣D=ΨDCTΦ。

具體步驟如下：

步驟1 對(duì)Φ進(jìn)行列單位化，獲得初始矩陣Φ0

步驟2 根據(jù)振動(dòng)信號(hào)在DCT基下的稀疏特性，確定Φ0的行數(shù)，即測(cè)量數(shù)M

(11)

步驟9 用SVD算法優(yōu)化Φ′，得到測(cè)量矩陣Φ″

輸出：稀疏基ΨDCT對(duì)應(yīng)的最優(yōu)型OST矩陣Φ″

其流程圖如圖4所示。

圖4 最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣的構(gòu)造流程圖Fig.4 Constructed flow chart of the optimal OST measurement matrix

上述測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)過(guò)程中，首先以振動(dòng)信號(hào)的稀疏性為先驗(yàn)信息，通過(guò)構(gòu)造感知矩陣D得到格拉姆矩陣，然后通過(guò)閾值迭代更新格拉姆矩陣，反求出感知矩陣，以得到改進(jìn)的矩陣Φ′，最后再采用SVD算法提高Φ′的列獨(dú)立性，得到適用于振動(dòng)信號(hào)的聯(lián)合優(yōu)化下的最優(yōu)型確定性O(shè)ST測(cè)量矩陣Φ″。

4 基于最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣壓縮測(cè)量振動(dòng)信號(hào)的數(shù)據(jù)采集方法實(shí)現(xiàn)步驟

步驟1 提取振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，對(duì)該振動(dòng)信號(hào)在DCT正交基下進(jìn)行稀疏性分析，獲得其先驗(yàn)信息及稀疏度K。

步驟2 根據(jù)振動(dòng)信號(hào)的稀疏性等先驗(yàn)信息，以Toeplitz矩陣為基礎(chǔ)，建立易于硬件實(shí)現(xiàn)的確定性O(shè)ST測(cè)量矩陣模型。

步驟3 針對(duì)OST測(cè)量矩陣重建精度不高這一問(wèn)題，采用不同算法層層優(yōu)化該矩陣，設(shè)計(jì)適用于振動(dòng)信號(hào)的最優(yōu)型OST矩陣Φ″。

步驟4 以Φ″為測(cè)量矩陣，利用y=Φf，對(duì)振動(dòng)信號(hào)f進(jìn)行壓縮測(cè)量，將N維振動(dòng)信號(hào)在測(cè)量矩陣上投影為M維的測(cè)量值y。

步驟8 采用在重構(gòu)誤差最小的情況下得到的最優(yōu)型Φ″壓縮測(cè)量振動(dòng)信號(hào)，從而得到少量的測(cè)量值y，進(jìn)行振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)分析與狀態(tài)檢測(cè)。

基于最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集方法流程圖，如圖5所示。

5 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證提出的基于最優(yōu)型確定性測(cè)量矩陣的機(jī)械振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)壓縮采集方法的有效性，選用美國(guó)西儲(chǔ)大學(xué)軸承數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)做試驗(yàn)驗(yàn)證。試驗(yàn)對(duì)象是軸承型號(hào)為6025-2RS JEM SKF的深溝球軸承，在軸承外圈6點(diǎn)鐘方向設(shè)置故障，其形式為電火花加工生產(chǎn)的單點(diǎn)故障，其直徑是0.178 cm，軸承負(fù)載是0，傳感器安裝在軸承驅(qū)動(dòng)端，信號(hào)采樣頻率是12 000 Hz。首先采用DCT正交基對(duì)信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，之后壓縮測(cè)量，恢復(fù)算法采用OMP算法。實(shí)驗(yàn)中將最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣應(yīng)用于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的壓縮測(cè)量中，觀察其壓縮性能，對(duì)比矩陣有高斯矩陣、Toeplitz矩陣、OST測(cè)量矩陣、OST-閾值迭代優(yōu)化矩陣及OST-SVD優(yōu)化矩陣。

圖5 基于最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù) 壓縮采集方法流程圖

Fig.5 A flow chart of the data compression acquisition method of vibration signal based on optimal deterministic matrix

本文分別采用壓縮率CR、相對(duì)誤差δ、匹配度β等指標(biāo)來(lái)衡量振動(dòng)信號(hào)的壓縮性能。

(1)壓縮率(Compression Rate，CR)，衡量振動(dòng)信號(hào)的壓縮程度。CR越大，表示壓縮程度越大，所需要的測(cè)量數(shù)越少，其定義為

(12)

式中：n是原始振動(dòng)信號(hào)的長(zhǎng)度；m是壓縮測(cè)量振動(dòng)信號(hào)的長(zhǎng)度。為了精確重構(gòu)振動(dòng)信號(hào)，壓縮測(cè)量數(shù)m必須滿足式(13)

(13)

式中：常數(shù)c≈0.28；k為稀疏度。由前面分析可知，當(dāng)振動(dòng)信號(hào)n的長(zhǎng)度為512時(shí)，k=137，計(jì)算得m≥51，由上面兩式聯(lián)立得CR≤90%，即壓縮感知時(shí)壓縮率不能太大，否則測(cè)量數(shù)目過(guò)少，達(dá)不到精確重構(gòu)原始振動(dòng)信號(hào)的效果，同時(shí)壓縮率也不能過(guò)小，否則測(cè)量數(shù)過(guò)多，達(dá)不到壓縮的效果，因此壓縮率的范圍限定為60%≤CR≤85%。

(2)相對(duì)誤差(Relative Error)，衡量振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)性能，是指振動(dòng)信號(hào)的絕對(duì)誤差與原始信號(hào)的比值，其定義為

(14)

(3)匹配度(Matching Degree)，衡量振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)性能，是指重建信號(hào)與原始信號(hào)的相似程度，其計(jì)算公式為：

(15)

式中：β表示匹配度，β∈[0,1]，其值越大，重建匹配度越高，表明壓縮性能越好。

所有的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)均在雙核、8 G運(yùn)行內(nèi)存的臺(tái)式機(jī)的MATLAB R2014a軟件下運(yùn)行，所有的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均是運(yùn)行100次取平均值得到的。

5.1 確定性O(shè)ST測(cè)量矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮性能分析

(1)壓縮率固定時(shí)，確定性O(shè)ST矩陣的性能分析

選取長(zhǎng)度n=512的振動(dòng)信號(hào)數(shù)據(jù)，稀疏度K=137，依上述分析，測(cè)量數(shù)取為80～200，即壓縮率的變換范圍為85%～60%，可較為準(zhǔn)確地重構(gòu)出原始振動(dòng)信號(hào)。首先固定壓縮率為75%，即測(cè)量數(shù)固定為128時(shí)，比較原始振動(dòng)信號(hào)和高斯矩陣、Toeplitz矩陣、OST測(cè)量矩陣重構(gòu)的振動(dòng)信號(hào)波形圖，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

圖6表明：在壓縮率固定為75%時(shí)，從直觀上可以看出，相比Toeplitz矩陣，同樣作為確定性測(cè)量矩陣的OST測(cè)量矩陣可以更精確地重建原始信號(hào)，也可以看出OST測(cè)量矩陣相比高斯矩陣重建的信號(hào)更加接近于原始振動(dòng)信號(hào)。表1為固定壓縮率為75%時(shí)，三種不同測(cè)量矩陣下振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)誤差、匹配度、矩陣構(gòu)造時(shí)間和占用內(nèi)存的性能指標(biāo)比較。

表1表明：高斯矩陣隨機(jī)性強(qiáng)，重建誤差較小，但其運(yùn)行時(shí)間和占用內(nèi)存較大；Toeplitz矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，所占用的內(nèi)存較小、運(yùn)行時(shí)間較短，但重構(gòu)誤差很大；OST矩陣為T(mén)oeplitz矩陣的變形，復(fù)雜度和Toeplitz矩陣相當(dāng)，都比較小，但因其正交對(duì)稱的性質(zhì)，重構(gòu)誤差有所降低，略優(yōu)于高斯矩陣。

(2)壓縮率變化時(shí)，確定性O(shè)ST矩陣的性能分析

圖7給出不同測(cè)量矩陣的重建誤差隨著壓縮率的變化曲線，即當(dāng)測(cè)量值在60～270范圍內(nèi)變化時(shí)，不同測(cè)量矩陣下機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的重建誤差。圖8給出不同測(cè)量矩陣的波形匹配度隨壓縮率的變化曲線，即不同測(cè)量矩陣下重構(gòu)振動(dòng)信號(hào)與原始振動(dòng)信號(hào)的相似程度比較。

(a) 原始振動(dòng)信號(hào)

(b) Toeplitz矩陣

(c) 高斯矩陣

(d) OST矩陣圖6 CR為75%， 不同矩陣重建振動(dòng)信號(hào)與原始振動(dòng) 信號(hào)對(duì)比圖

Fig.6 A comparison diagram of the reconstructed vibration signals under different matrices with the original vibration signal when the CR is 75%

表1壓縮率為75%，不同測(cè)量矩陣的重構(gòu)性能比較

Tab.1Thecomparisonofdifferentmatrices’reconstructionperformancewhentheCRis75%

測(cè)量矩陣重建誤差匹配度構(gòu)造時(shí)間/s占用內(nèi)存/kBToeplitz矩陣1.067 20.632 60.1520.761 7高斯矩陣0.756 80.729 80.386134.000OST矩陣0.653 30.743 50.1490.7617

圖7 三種不同矩陣下振動(dòng)信號(hào)的重建誤差Fig.7 The reconstruction error of vibration signal under three different matrices

圖7表明：當(dāng)測(cè)量數(shù)大于80，即壓縮率小于86%時(shí)，隨著測(cè)量數(shù)的不斷增大，各矩陣下振動(dòng)信號(hào)的重建誤差都不斷減少。其中，Toeplitz矩陣的重建誤差最大，高斯矩陣的重建誤差次之，OST矩陣的重建誤差最小。同時(shí)，通過(guò)圖8也可以看出，Toeplitz矩陣重建的振動(dòng)信號(hào)波形匹配度最小，無(wú)論采樣數(shù)如何變化，其匹配度在60%左右，基本沒(méi)提高，可以看出Toeplitz矩陣作為測(cè)量矩陣的局限性，相比之下，OST測(cè)量矩陣重建的原始振動(dòng)信號(hào)波形匹配度較好。

圖8 三種不同矩陣下重建振動(dòng)信號(hào)的波形匹配度

Fig.8 The degree of waveform matching of the reconstructed vibration signals under three different matrices

表2 不同矩陣的相對(duì)誤差值Tab.2 Relative errors under different matrices

表2表明：隨著壓縮率的不斷增大，各矩陣的重建誤差值也在增大，相比之下，OST測(cè)量矩陣的誤差最小，說(shuō)明OST測(cè)量矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)壓縮測(cè)量的感知性能優(yōu)于高斯矩陣和Toeplitz矩陣，但從誤差的具體數(shù)值來(lái)看，OST矩陣的壓縮測(cè)量性能仍有很大的提升空間，因此，下一步實(shí)驗(yàn)將分別采用閾值迭代法和SVD算法對(duì)OST矩陣進(jìn)行優(yōu)化，并對(duì)比優(yōu)化前后振動(dòng)信號(hào)的重構(gòu)性能。

5.2 最優(yōu)型確定性O(shè)ST測(cè)量矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮性能分析

5.2.1 壓縮率固定時(shí)，最優(yōu)型OST矩陣的性能分析

針對(duì)OST測(cè)量矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)仍然沒(méi)有達(dá)到最優(yōu)的壓縮效果這一問(wèn)題，采用不同的優(yōu)化算法對(duì)OST矩陣進(jìn)行優(yōu)化。圖9為固定壓縮率為75%時(shí)，OST測(cè)量矩陣、OST-閾值迭代優(yōu)化矩陣、OST-SVD優(yōu)化矩陣、最優(yōu)型 OST測(cè)量矩陣重構(gòu)的振動(dòng)信號(hào)與原始振動(dòng)信號(hào)比較圖。

圖9表明：相比于OST測(cè)量矩陣，優(yōu)化以后的OST矩陣能夠更精確地重建原始振動(dòng)信號(hào)，直觀上說(shuō)明，最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣重建的信號(hào)與原始振動(dòng)信號(hào)差異最小，幾乎可以完美重構(gòu)。表3為固定壓縮率為75%，OST矩陣及不同優(yōu)化算法下的OST矩陣的壓縮性能比較。

(a) 原始振動(dòng)信號(hào)

(b) OST矩陣

(c) OST-SVD優(yōu)化矩陣

(d) OST-閾值迭代優(yōu)化矩陣

(e) 最優(yōu)型OST矩陣

圖9 壓縮率為75%， OST矩陣優(yōu)化前后重建振動(dòng)信號(hào)與原始信號(hào)對(duì)比圖

Fig.9 A comparison diagram of the reconstructed vibration signals under different matrices with the original vibration signal when the CR is 75%

表3壓縮率為75%，不同OST測(cè)量矩陣的壓縮性能比較

Tab.3Thecomparisonofdifferentmeasurementmatrices’reconstructionperformancewhentheCRis75%

測(cè)量矩陣重建誤差匹配度 構(gòu)造時(shí)間/sOST矩陣0.653 30.743 50.149OST-閾值迭代優(yōu)化矩陣0.531 70.818 612.698OST-SVD優(yōu)化矩陣0.640 20.748 92.926本文最優(yōu)型OST矩陣0.430 80.829 916.891

表3表明：三種優(yōu)化方式下的OST測(cè)量矩陣相比較，SVD算法優(yōu)化的OST矩陣重建誤差略有減少，閾值迭代算法優(yōu)化OST矩陣在提高重構(gòu)精度的同時(shí)需要以時(shí)間為代價(jià)，本文最優(yōu)型OST矩陣雖然運(yùn)行時(shí)間較長(zhǎng)，但其重建誤差最小，匹配度最大，因此重建性能最好。

5.2.2 壓縮率變化時(shí)，最優(yōu)型OST矩陣的性能分析

圖10給出不同優(yōu)化算法下的OST測(cè)量矩陣的重建誤差隨其壓縮率的變化曲線，即當(dāng)測(cè)量值在60～270范圍內(nèi)變化時(shí)，不同測(cè)量矩陣下振動(dòng)信號(hào)的重建誤差。圖11給出不同測(cè)量矩陣的波形匹配度隨壓縮率的變化曲線，即不同測(cè)量矩陣下重建振動(dòng)信號(hào)與原始振動(dòng)信號(hào)的相似程度比較。

圖10 不同算法優(yōu)化后的OST矩陣重建誤差

Fig.10 The reconstruction error under different OST matrices with different optimization algorithms

圖11 不同算法優(yōu)化后的OST矩陣重建振動(dòng)信號(hào)的波形匹配度

Fig.11 The reconstructed vibration signal’s degree of waveform matching under different OST matrices with different optimization algorithms

圖10表明：相比于未優(yōu)化的OST矩陣，SVD算法優(yōu)化的OST矩陣相對(duì)誤差略有減小，閾值迭代優(yōu)化的OST矩陣重構(gòu)誤差更小，兩種優(yōu)化方式結(jié)合下的最優(yōu)型OST矩陣的重建誤差最小。圖11表明：最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣下重建信號(hào)的波形匹配度最高，說(shuō)明該矩陣用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮采集性能最好。

表4表明：隨著壓縮率的逐漸增大，測(cè)量數(shù)目逐漸減小，各矩陣的重建誤差值也逐漸變大，相比于未優(yōu)化的OST矩陣，優(yōu)化后的OST矩陣的重建誤差數(shù)值明顯減少，其中，最優(yōu)型OST矩陣的重構(gòu)誤差最小，在壓縮率為60%時(shí)，相對(duì)誤差值已減小到了0.230 9，同條件下的Toeplitz矩陣重構(gòu)誤差值為0.924 4，同條件下的高斯矩陣重構(gòu)誤差值為0.560 7，明顯可以看出最優(yōu)型OST矩陣相比于Toeplitz矩陣、高斯矩陣及優(yōu)化前的OST矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮采集有著更好的性能。

表4 不同矩陣的相對(duì)誤差值Tab.4 Relative errors under different matrices

6 結(jié) 論

針對(duì)依據(jù)傳統(tǒng)的奈奎斯特采集定律采集機(jī)械振動(dòng)信號(hào)時(shí)，需要非常高的采樣頻率及巨大存儲(chǔ)空間的問(wèn)題，本文將壓縮感知理論應(yīng)用于機(jī)械振動(dòng)信號(hào)的采集過(guò)程中去。針對(duì)壓縮感知隨機(jī)矩陣不易硬件實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，以確定性的Toeplitz矩陣為基礎(chǔ)，采用OST測(cè)量矩陣對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行壓縮測(cè)量。為了解決確定性測(cè)量矩陣重構(gòu)精度較低的問(wèn)題，采用閾值迭代和SVD分解算法聯(lián)合優(yōu)化的方式對(duì)OST測(cè)量矩陣進(jìn)行優(yōu)化，得到的最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣可以很好地適用于振動(dòng)信號(hào)的壓縮測(cè)量，且重構(gòu)性能優(yōu)于高斯矩陣、Toeplitz矩陣和優(yōu)化前的OST矩陣。本文設(shè)計(jì)的最優(yōu)型OST測(cè)量矩陣和振動(dòng)信號(hào)壓縮采集方案具有一定的理論意義與應(yīng)用價(jià)值，針對(duì)OST矩陣結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單易構(gòu)造的特點(diǎn)，后期將更深層次地開(kāi)展OST測(cè)量矩陣應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)壓縮采集硬件實(shí)現(xiàn)的研究。