侯勇俊， 譚海軍， 方 潘， 吳先進， 蔣 瑞

(1.西南石油大學 機械工程學院， 成都 610500；2.四川寶石機械專用車有限公司，四川 廣漢 613800)

在自然界和日常生活中同步現(xiàn)象隨處可見，振動系統(tǒng)的自同步是指系統(tǒng)依靠自身較弱的耦合特性調節(jié)子系統(tǒng)的頻率使其達到協(xié)調統(tǒng)一[1]。對于同步現(xiàn)象的研究最早可以追溯到1673年惠更斯(Huygens)對于耦合單擺實驗同步現(xiàn)象的觀測。近年來同步現(xiàn)象的研究主要包括化學、物理和社會等領域，例如混沌同步系統(tǒng)，耦合旋轉振動篩系統(tǒng)。振動機械的自同步理論最早是由俄羅斯Blekhman等[1]提出。在國內Hou等[2]利用Lyapunov穩(wěn)定性理論研究了雙軸二倍頻振動篩的穩(wěn)定性及自同步，并實現(xiàn)了二倍頻的自同步穩(wěn)定運轉。Wen等[3]采用小參數(shù)平均法計算出了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自同步，并通過實驗驗證了其理論的正確性。Zhao等[4]采用改進小參數(shù)法推導出了平面運動雙質體振動系統(tǒng)中兩偏心轉子的無量綱耦合方程，并依據(jù)其零解的存在及穩(wěn)定性計算出了多激振電機系統(tǒng)的穩(wěn)定性及自同步。Jiang等[5]用哈密頓原理近似表達了旋轉振動篩的動力學方程并研究了其非線性振動理論。Li等[6]由偏心轉子無量綱耦合方程零解存在條件得到了振動機實現(xiàn)自同步運動條件,并根Routh-Hu rwitz判據(jù)得到振動機同步運行的穩(wěn)定性條件。Fang等[7-9]采用龐加萊法研究系統(tǒng)同步性和穩(wěn)定準則，并通過中心流形定理判斷其穩(wěn)定性條件。近年來，對于振動系統(tǒng)的自同步理論研究的學者越來越多，但是大多只是涉及平面振動系統(tǒng)的自同步理論[10-13]，對于空間振動系統(tǒng)的自同步理論研究較少。平面振動系統(tǒng)的運動軌跡一般為直線、圓和橢圓，其運動形式單一限制了其使用范圍。對于旋轉振動篩系統(tǒng)，其運動方式為多自由度的空間運動，廣泛應用于醫(yī)藥、制鹽、磨料磨具、鑄造、礦業(yè)、建材、食品化工、輕工、木材造紙、制糖、糧食加工和化肥等許多行業(yè)[14]。

旋轉振動篩通過改變系統(tǒng)的相關參數(shù)調整同步相位差可以實現(xiàn)水平面的搖動、垂直方向的運動以及切向的運動，3種運動形式經過不同組合， 可以實現(xiàn)物料在篩面的均勻分布、 合理拋跳的螺旋向外三維空間復雜運動，有效地利用了全部圓形篩面，提高了篩分效率[15]；有效解決了細粒級物料的干法和濕法篩分透篩困難問題。通過偏心、徑向偏角和切向偏角的合理調節(jié)可以實現(xiàn)預定的各種運動模式適合于許多行業(yè)不同物料的有效篩分[16]。

1 理論和模型

1.1 基本理論

假設旋轉振動篩系統(tǒng)動力學方程為

(1)

(2)

在系統(tǒng)進入自同步狀態(tài)以后，轉子的角速度為ω，在一個周期內，忽略小參數(shù)項的影響(μ=0)，則振動系統(tǒng)做強迫穩(wěn)態(tài)振動響應為

x=x(ωt,α1,α2…αk)

(3)

假設轉子的初相位為α1,α2,…,αk，那么轉子的實際相位角可以表示為：

φi=ωt+αi

(4)

假設上式中參數(shù)α1,α2,…,αk分別對應一個值滿足方程

(5)

(6)

如果參數(shù)α1,α2,…,αk的一組常數(shù)滿足(7)且代數(shù)方程

(7)

如果χ的根實部為負，那么在μ足夠小的情況下α1,α2,…,αk的值是唯一的，這時方程(7)就存在穩(wěn)定解；如果χ的根實部為正，則解不穩(wěn)定；如果χ至少有一個根實部為零，則其穩(wěn)定性可以用中心流形定理判斷[1]。

1.2 力學模型

雙激振電機驅動旋轉振動篩系統(tǒng)的力學模型如圖1所示，旋轉振動篩系統(tǒng)以系統(tǒng)質心為坐標原點建立動坐標系，以系統(tǒng)靜止時質心所在位置建立定坐標系。該系統(tǒng)由質量為m0(kg)的振動體和兩個質量分別為m1，m2(kg)的偏心塊構成。兩激振電機質心與系統(tǒng)質心位于平面xoz，振動體和機架之間用剛性彈簧連接，彈簧在x,y,z,ψ1,ψ2方向的剛度系數(shù)分別為kx,ky,kz,kψ1,kψ2(N/m)，阻尼系數(shù)分別為fx，fy，fz，fψ1,fψ2(N·s/m)。激振電機固定在振動體上，偏心塊質心到回轉中心的距離為r(m)，兩激振電機安裝中心到振動體質心之間的距離分別為l1，l2(m)，激振電機安裝角分別為β1,β2(rad)。轉子1和轉子2的相位角分別為φ1,φ2(rad)，偏心塊安裝角為ε(rad)。

圖1 旋轉振動篩系統(tǒng)力學模型Fig.1 Mechanics model of rotary vibrating screen system

該系統(tǒng)的總動能為

(8)

式中:J1,J2是偏心轉子的轉動慣量;J11,J22分別是振動體沿著y和z軸旋轉的轉動慣量;ψ1,ψ2分別是振動體沿著xoz平面和xoy軸旋轉的角位移。fx,fy,fz分別是系統(tǒng)在x,y,z平動方向的阻尼系數(shù)，fψ1,fψ2分別是系統(tǒng)在ψ1,ψ2轉動方向的阻尼系數(shù)。

旋轉振動篩系統(tǒng)的總勢能為

(9)

旋轉振動篩系統(tǒng)的總耗能為

(10)

將式(8),(9),(10)代入拉格朗日方程

(11)

(12)

2 穩(wěn)定性和同步性

2.1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)近似解

當系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)后，其在各個方向的阻尼對系統(tǒng)的響應的影響可以忽略。在其系統(tǒng)動力學方程中引入小參數(shù)μ，并忽略其中小量對系統(tǒng)的影響，將動力學方程(12)改寫為

(13)

由前面基本理論可知

(14)

(15)

其中

(16)

由方程(13)可以得到旋轉振動篩系統(tǒng)是關于自由度x,y,z,ψ1,ψ2的耦合動力學方程，因此方程中包含小參數(shù)的項可以被忽略并引入無量綱參數(shù)：

(17)

其中ωx,ωy,ωz,ωψ1,ωψ2為系統(tǒng)的頻率系數(shù)，是彈簧剛度和系統(tǒng)總質量的函數(shù)。其中λx,λy,λz,λψ1,λψ2為頻率比系數(shù)，是激振電機頻率和頻率系數(shù)的函數(shù)，直接將彈簧剛度、系統(tǒng)質量和激振電機頻率聯(lián)系在一起。從式(18)可以得到引入無量綱參數(shù)后極大程度上簡化了方程式(15)的形式，直接將系統(tǒng)的相關參數(shù)用無量綱參數(shù)替代，這樣就更形象的反應了旋轉振動篩系統(tǒng)的有關特點。把無量綱參數(shù)代入到式(16)

A1=A2=-rmrλx，B1=B2=-rmrλy，

C1=C2=-rmrλz

D1=D2=-re1rl1λψ1，D3=D4=-re2rl2λψ2，

D5=-re1rl1λψ1，D6=-re2rl2λψ2

(18)

則式(15)可以寫為

(19)

2.2 系統(tǒng)自同步性

當振動系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)后，轉子的角速度逐漸趨近一個穩(wěn)定值ω；假設偏心轉子1和2的初相位分別為α1,α2，則偏心轉子在某一時刻t其相位為

φ1=ωt+α1，φ2=ωt+α2，α=α1-α2

在一個周期T內對式(14)積分，由等式(6)可以得到

B2ω2m1rcos2εsinα-C2ω2m1rsin2εsinα-

D3ω2m1rl1sin2εcosβ1cosβ2sinα-

D4ω2m1rl1sinεsinβ2cosβ1cosα-

D3ω2m1rl1sinεsinβ1cosβ2cosα+

D4ω2m1rl1sinβ1sinβ2sinα-

D6ω2m1rl1sinεcosεsinα,

B2ω2m2rcos2εsinα+C1ω2m2rsin2εsinα+

D1ω2m2rl2sin2εcosβ1cosβ2sinα-

D2ω2m2rl2sinεsinβ2cosβ1cosα-

D1ω2m2rl2sinεsinβ1cosβ2cosα-

D2ω2m2rl2sinβ1sinβ2sinα+

D5ω2m2rl2sinεcosεsinα

(20)

式中:Lmi為感應第i個激振電機的互感系數(shù)；Lsi為第i個激振電機的定子電感；rm為激振電機的極對數(shù)；ωm為自同步電角速度；Rri為第i個激振電機的轉子電阻；US0為定子電壓的幅值[7]。

整理式(20)，由前面基本理論可以得到系統(tǒng)的平衡方程為

μ1sinα+μ2sinα+μ3cosα=0

(21)

其中

μ1=4rmλx

μ2=l1l2(re1λψ1+re2λψ2)(sin2εcosβ1cosβ2-

sinβ1sinβ2+sinεcosε)

μ3=l1l2(re2λψ2-re1λψ1)sinεsin(β1+β2)

由等式(7)可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件為

(22)

把式(20)代入式(22)，系統(tǒng)自同步穩(wěn)定性準則可簡化為

μ1cosα+μ2cosα-μ3sinα<0

(23)

由式(21)可知，系統(tǒng)的同步穩(wěn)定準則主要由偏心塊安裝角、彈簧剛度、激振電機安裝位置和系統(tǒng)質量決定。只有當這些參數(shù)滿足振動方程和穩(wěn)定準則時，兩偏心轉子才可以實現(xiàn)同步運轉。根據(jù)(21)可以得到，當偏心塊水平安裝的時候，系統(tǒng)達到平衡后其轉子相位差為0。當激振電機安裝在質心所在水平面附近的時候，系統(tǒng)達到平衡后其轉子相位差在0的附近波動。

3 數(shù)值模擬

3.1 系統(tǒng)自同步數(shù)值分析

為了驗證上述結論的正確性，按照表1所給出模型的參數(shù)，在MATLAB中進行系統(tǒng)自同步數(shù)值分析，其相應仿真參數(shù)如表1。由式(21)可知，系統(tǒng)同步穩(wěn)定準則主要由偏心塊安裝角、彈簧剛度、激振電機安裝位置和系統(tǒng)質量決定。只有當這些參數(shù)滿足振動方程和穩(wěn)定準則時，兩偏心轉子才可以實現(xiàn)同步運行。為了更加準確的描述系統(tǒng)的自同步過程，采用單一控制變量原則，分別討論彈簧剛k和偏心塊安裝角ε對系統(tǒng)自同步過程的影響。

表1 系統(tǒng)仿真參數(shù)Tab.1 System emulation parameters

合理選擇系統(tǒng)參數(shù)不僅可以正確描述旋轉振動篩系統(tǒng)的運動軌跡，更能精準的反應系統(tǒng)的同步行為。表1給出了系統(tǒng)的部分參數(shù)，圖2(a)是當l1等于l2為0.3(m),kψ1=kψ2=105(N/m)，kx=ky=kz=105(N/m)，兩激振電機到系統(tǒng)質心連線與水平面夾角β1,β2相等，且β1分別為0°,30°,45°時候偏心塊安裝角ε與系統(tǒng)同步行為之間的關系。圖2(b)是當l1=0.3(m),kψ1=kψ2=105(N/m)，kx=ky=kz=105(N/m)，兩激振電機中心位置到系統(tǒng)質心連線與水平面夾角β1,β2不等(兩激振電機質心始終處于同一水平面)，使β1=45°保持不變，β2分別為0°,30°,45°的時候偏心塊安裝角ε與系統(tǒng)同步行為之間的關系。

從圖2(a)可以得到當兩激振電機連線與系統(tǒng)質心處于同一水平面的時候，偏心塊安裝角ε無論如何變化兩偏心轉子的相位差始終為0，此時系統(tǒng)在偏心塊安裝角ε所在的方向做軌跡為圓的運動。當兩激振電機連線與系統(tǒng)質心不在于同一水平面的時候，兩偏心轉子的相位差隨著安裝角ε的增大而增大。因此，改變安裝角ε就可以使旋轉振動篩系統(tǒng)按照預定的方式運動。從圖2(b)我們可以得到，在同一水平面改變激振電機的安裝角β2可以使兩偏心轉子的相位差α=|α1-α2|的大小發(fā)生變化。當增大β2時兩偏心轉子的相位差α隨之增大，此時系統(tǒng)在空間中的運動軌跡也隨之發(fā)生變化。因此可以通過改變偏心塊安裝方向或者改變激振電機安裝位置去調節(jié)振動篩的在空間中的運動軌跡。

圖3(a)是當l1等于l2為0.3(m),kx=ky=kz=105(N/m)，偏心塊安裝角ε=45°，兩激振電機中心位置到系統(tǒng)質心連線與水平面夾角β1,β2相等分別為0°,45°,60°的時候彈簧扭轉剛度與系統(tǒng)同步行為之間的關系。圖3(b)是當l1等于l2為0.3(m),kx=ky=kz=105(N/m)，偏心塊安裝角ε=90°，兩激振電機中心位置到系統(tǒng)質心連線與水平面夾角β1,β2相等分別為0°,45°,60°的時候彈簧扭轉剛度與系統(tǒng)同步行為之間的關系。

從圖3(a)和(b)可以得到當激振電機安裝角β1等于β2為0時候，改變彈簧剛度兩偏心轉子的相位差α保持不變。當kψ1kψ2時兩偏心轉子相位差α隨kψ2增大而增大。所以合理調節(jié)彈簧剛度(kψ1,kψ2)可以使兩偏心轉子的相位差滿足實際需要。

(a) β1=β2分別為0°,30°,45°

(b) β1為45°且β2分別為0°,30°,45°圖2 偏心塊安裝角ε與轉子相位差之間的關系

Fig.2 The relationship between installation angleεand system self-synchronization

3.2 自同步運動狀態(tài)

選取表1中的參數(shù)，其中彈簧剛度kx=ky=kz=kψ1=kψ2=105(N/m)，偏心塊安裝角ε=45°，l1=l2=0.3 m，激振電機安裝角β1等于β2為45°時候。選取激振電機1和激振電機2為鼠籠式三相異步激振電機，其轉速為1 440 r/min，頻率為50 Hz，功率為3.8 kW。其仿真參數(shù)如圖4，從圖4(e)可知當系統(tǒng)達到穩(wěn)定后兩激振電機的角速度在155 rad/s左右波動，這與其額定轉速基本相近。從圖4(a),(b),(c)中可以看出系統(tǒng)在2 s左右達到穩(wěn)定狀態(tài)，其在x,y,z方向的振幅分別為2.1、1.3、1.3 mm。由前面的結論可知當彈簧扭轉剛度kψ1=kψ2的時候兩偏心轉子的相位差α=0，此時系

(a) 偏心塊安裝角ε=45°

(b) 偏心塊安裝角ε=90°圖3 彈簧剛度k與轉子相位差之間的關系Fig.3 The relationship between the spring stiffness k and the system self-synchronization

(a) x方向的位移

(b) y方向的位移

(c) z方向的位移

(d) 電磁扭矩

(e) 轉子轉速圖4 旋轉振動篩數(shù)值仿真結果Fig.4 Numerical simulation results of rotating vibrating screen

統(tǒng)沿著與水平面夾角為ε的平面方向做軌跡為圓的空間運動。從圖1可以得到系統(tǒng)在x,y,z方向做周期運動，其在空間中的合成運動剛好與結論符合。

選取表1中的參數(shù)，其中彈簧剛度kx=ky=kz=kψ1=kψ2=105N/m，偏心塊安裝角ε=15°，l1=l2=0.3 m，激振電機安裝角β1=β2=45°時候。選取激振電機1和激振電機2為鼠籠式異步電動機，其轉速為1 440 r/min，電動機頻率為50 Hz，功率為3.8 kW。其仿真參數(shù)如圖5，從圖5(a),(g),(h)可以得到當偏心塊安裝角ε=15°的時候，系統(tǒng)在1.9 s左右達到穩(wěn)定狀態(tài)，其在x,y,z方向的振幅分別為2.2、2.1、0.5 mm，這時旋轉振動篩系統(tǒng)主要在水平面內運動。隨著偏心塊安裝角的增大其在z方向的位移增大，因此調節(jié)偏心塊安裝角就可以調節(jié)旋轉振動篩系統(tǒng)在空間中的運動軌跡，從而滿足實際生產需求。

(a) x方向的位移

(b) y方向的位移

(c) z方向的位移圖5 旋轉振動篩數(shù)值仿真結果Fig.5 Numerical simulation results of rotating vibrating screen

4 結 論

本文研究了一種旋轉振動篩系統(tǒng)的穩(wěn)定性和同步性，首先利用拉格朗日方程建立了旋轉振動篩系統(tǒng)的空間運動的動力學方程，然后將動力學方程轉化為無量綱方程，利用拉普拉斯變換對該方程求解，得到了系統(tǒng)的自同步條件和穩(wěn)定準則。最后通過MATLAB進行數(shù)值仿真驗證了其理論的正確性。得到了以下結論：

(1) 系統(tǒng)的平衡方程為μ1sinα+μ2sinα+μ3cosα=0，系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則為μ1cosα+μ2cosα-μ3sinα<0

(2) 通過拉格朗日方程得到了旋轉振動篩系統(tǒng)在x,y,z方向的運動規(guī)律。旋轉振動篩系統(tǒng)其獨特的空間運動形式可以完善傳統(tǒng)平面振動的缺點，使平面振動過渡到空間振動。

(3) 當偏心塊安裝角ε為0 rad或者激振電機安裝角β1,β2分別為0 rad時兩偏心轉子的相位差為0，此時系統(tǒng)在x,y,z方向的分運動均達到穩(wěn)定狀態(tài)。

(4) 本文通過理論分析得到了系統(tǒng)的同步和穩(wěn)定條件，當β1=β2時系統(tǒng)更容易達到穩(wěn)定狀態(tài)。當增大偏心塊安裝角ε時，兩轉子相位差也隨之增大。最后采用數(shù)值模擬的方式驗證了其理論的正確性。