豐 茂 芳

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210046)

0 引 言

自20世紀(jì)90年代以來(lái)，我國(guó)的房地產(chǎn)市場(chǎng)總體來(lái)看雖有一定的波折，但持續(xù)性的投資，使其得到了快速的發(fā)展和壯大。我國(guó)取消住房實(shí)物分配制度后，居民的住房主要通過(guò)房地產(chǎn)市場(chǎng)解決，新建住宅成為房地產(chǎn)市場(chǎng)的主體，加之房?jī)r(jià)的過(guò)快上漲、供求矛盾、住房結(jié)構(gòu)不合理等問(wèn)題不利于居民住房需求的滿足，政府也在房地產(chǎn)發(fā)展過(guò)程中通過(guò)宏觀調(diào)控抑制房?jī)r(jià)過(guò)快上漲和打擊投機(jī)性需求的行為[1-3]。高漲的房?jī)r(jià)已經(jīng)超出了很多消費(fèi)者的承受能力，使得很大一部分消費(fèi)者只能“望房興嘆”，消費(fèi)者對(duì)二手房的觀念也在逐漸發(fā)生改變，剛開(kāi)始二手房交易量比重偏低，但隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展和城鎮(zhèn)化進(jìn)程的加快，二手房交易的比例逐年提升。

由于我國(guó)房地產(chǎn)企業(yè)十幾年來(lái)發(fā)展速度迅猛，所以發(fā)展過(guò)程中顯現(xiàn)出來(lái)很多問(wèn)題，例如：房?jī)r(jià)泡沫不斷被擠壓的問(wèn)題，從市場(chǎng)角度對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，或從房?jī)r(jià)指數(shù)的同比數(shù)據(jù)來(lái)看，繼續(xù)保持正增長(zhǎng)，但增幅都有所收窄。需注意，部分城市的房屋銷(xiāo)售其實(shí)是有所上升的，所以能夠有效把控房?jī)r(jià)增幅。而從同比增幅數(shù)據(jù)看，繼續(xù)合乎預(yù)期，進(jìn)一步收窄，充分體現(xiàn)了持續(xù)的房?jī)r(jià)管控使得房?jī)r(jià)的同比增幅不斷變小，尤其是部分大城市同比增幅已經(jīng)快速收窄。從城市當(dāng)前房?jī)r(jià)指數(shù)的增幅來(lái)看，出現(xiàn)的房?jī)r(jià)環(huán)比下跌，具有極為重要的信號(hào)意義，充分說(shuō)明了當(dāng)前此類(lèi)城市房?jī)r(jià)的泡沫不斷被擠壓。針對(duì)一手房和二手房市場(chǎng)關(guān)系的研究文章比較少，不論是政府還是社會(huì)對(duì)二手房市場(chǎng)的關(guān)注度都比較低，而二手房市場(chǎng)作為房地產(chǎn)市場(chǎng)的重要一部分，其在房地市場(chǎng)發(fā)展中具有不能輕易忽視的作用，根據(jù)相關(guān)理論，房地產(chǎn)市場(chǎng)越成熟，則二手房的交易比例就越高[4]。

1 非參數(shù)估計(jì)方法——核密度估計(jì)

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，往往需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)去推斷總體的分布，即密度函數(shù)。如果采用參數(shù)估計(jì)的方法，則要先假定總體分布的具體形式，如總體服從正態(tài)分布N(μ，δ2)，然后利用樣本數(shù)據(jù)去估計(jì)參數(shù)μ和δ2，從而得到總體的密度函數(shù)。但若真實(shí)總體與假定分布相差甚遠(yuǎn)，則根據(jù)參數(shù)估計(jì)法得出的統(tǒng)計(jì)推斷可能具有較大偏差。而非參數(shù)估計(jì)[5]的方法可以在不假設(shè)總體分布的情況下進(jìn)行密度函數(shù)的估計(jì)，從而降低誤差。

選取非參數(shù)估計(jì)中的核密度估計(jì)對(duì)新建住宅和二手住宅的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)進(jìn)行密度函數(shù)估計(jì)，其步驟一般為：選取核函數(shù)；計(jì)算最優(yōu)帶寬；進(jìn)行核密度估計(jì)。

1.1 核函數(shù)

核密度估計(jì)[6]是由Rosenblatt(1956)和Parzen(1962)對(duì)直方圖作密度估計(jì)的思想推廣而來(lái)，直方圖作密度估計(jì)時(shí)，即使隨機(jī)變量是連續(xù)的，直方圖也始終是不連續(xù)的階梯函數(shù)，而核密度估計(jì)可以解決這一缺點(diǎn)，從而得到密度函數(shù)的光滑估計(jì)。其核心是采用一個(gè)光滑可微的核函數(shù)。核密度估計(jì)量為

其中，函數(shù)K(·)稱之為核函數(shù)，h稱為帶寬。滿足以下性質(zhì)：

(Ⅰ)K(·)連續(xù)且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；

(Ⅲ)① 存在z0>0，當(dāng)|z|≥z0時(shí)，K(z)=0，或② 當(dāng)|z|→∞ 時(shí)，|z|K(z)→0；

條件(Ⅱ)要求核函數(shù)的曲線下面積為1(將核函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化)，并滿足一些有界條件.條件(Ⅲ)下①比②更強(qiáng)，在實(shí)踐中嘗嘗采用條件①，即如果超出某個(gè)鄰域范圍[-z0，z0]，權(quán)重變?yōu)?。常將[-z0，z0]標(biāo)準(zhǔn)化為[-1，1]。條件(Ⅳ)也是一個(gè)有界條件。

現(xiàn)給出常見(jiàn)核函數(shù)，見(jiàn)表1：

表1 常見(jiàn)的核函數(shù)

如表1所示，常用的核函數(shù)主要有上述幾類(lèi)，其中，均勻核也用于直方圖，只是在用均勻核進(jìn)行核密度估計(jì)時(shí)并不固定分組，而在每個(gè)點(diǎn)上進(jìn)行估計(jì)。最流行的核函數(shù)為二次核與高斯核。條件(Ⅲ)下除高斯核滿足②外，表1中的其他核函數(shù)均滿足①。這些核函數(shù)的共同特點(diǎn)是，離原點(diǎn)越近，核函數(shù)的取值越大，并在原點(diǎn)處取得最大值，這意味著，越近的點(diǎn)給予的權(quán)重越大。

1.2 最優(yōu)帶寬

其中：

則可以改寫(xiě)成

然而均方誤差依賴于每一個(gè)觀測(cè)值，若希望對(duì)x所有取值的均方誤差進(jìn)行整體度量，則可以最小化積分均方誤差(IMSE)，

為求解minIMSE(h)，Silverman(1986)證明最優(yōu)帶寬為

從表達(dá)式可以看出，最優(yōu)帶寬h*依賴于δ從而依賴于核函數(shù)，還依賴于待估密度函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)f″(x)。

若樣本來(lái)自于正態(tài)總體，則可以計(jì)算出h*=1.364 3δN-0.2s，其中s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。為了防止樣本標(biāo)準(zhǔn)差受極端值的影響，常使用Silverman嵌入估計(jì)，可得

h*=1.364 3δN-0.2min(s，iqr/1.349)其中，iqr為樣本的四分位距。

在實(shí)際操作中，即使整體不服從正態(tài)分布，也可以使用嵌入估計(jì)來(lái)進(jìn)行帶寬的選擇，但為了保險(xiǎn)起見(jiàn)，可以比較兩倍嵌入估計(jì)與一半嵌入估計(jì)的效果。

2 新建住宅與二手住宅銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)的比較

2.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明

為保證數(shù)據(jù)的可得性、科學(xué)性和研究的可能性，選取數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家統(tǒng)計(jì)局，選取了全國(guó)70個(gè)大中城市，從2017-01—2017-09關(guān)于新建住宅和二手住宅這9個(gè)月的價(jià)格指數(shù)(同比)作為對(duì)比數(shù)據(jù)，價(jià)格指數(shù)是反應(yīng)不同時(shí)期一組商品(服務(wù)項(xiàng)目)價(jià)格水平的變化方向、趨勢(shì)和程度的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，是經(jīng)濟(jì)指數(shù)的一種，通常以報(bào)告期和基期相對(duì)比的相對(duì)數(shù)來(lái)表示。按其計(jì)算時(shí)采用基準(zhǔn)期的差別，可以分為環(huán)比價(jià)格指數(shù)、年距環(huán)比(同比)價(jià)格指數(shù)和定基價(jià)格指數(shù)，選取的是同比價(jià)格指數(shù)。將新建住宅和二手住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)分別表示為樣本fhouse、shouse，單樣本容量為630，總樣本容量為1 260。數(shù)據(jù)分析軟件選用R。

2.2 住宅價(jià)格指數(shù)的基本數(shù)字特征

首先，對(duì)兩類(lèi)樣本fhouse，shouse的一些數(shù)字特征進(jìn)行描述，見(jiàn)表2：

表2 兩樣本的數(shù)字特征描述

由表2所示，兩者之間均值相差不大，相對(duì)來(lái)說(shuō)，二手住房的標(biāo)準(zhǔn)差比新建住房標(biāo)準(zhǔn)差大，說(shuō)明二手住房之間的價(jià)格指數(shù)波動(dòng)范圍相對(duì)于新建住房的價(jià)格指數(shù)波動(dòng)范圍比較大，由此進(jìn)一步的表明隨著新建住房?jī)r(jià)格的居高不下，二手住房?jī)r(jià)格波動(dòng)比較大，不穩(wěn)定，越來(lái)越多被消費(fèi)者所接受。

2.3 住宅價(jià)格指數(shù)密度曲線的核密度估計(jì)與分析

在對(duì)兩類(lèi)住宅的價(jià)格指數(shù)做核密度估計(jì)之前，先對(duì)兩種房屋做頻率直方圖：

如圖1所示，新建住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)在區(qū)間[105，110]之間頻數(shù)最大，二手住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)在區(qū)間[100，105]之間頻數(shù)最大，而兩類(lèi)住宅在區(qū)間[100，110]呈現(xiàn)頻數(shù)表現(xiàn)最大，說(shuō)明兩類(lèi)住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)大多集中在該區(qū)間內(nèi)，但是二手住宅落在區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)超過(guò)250，而新建住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)大于200，說(shuō)明二手住宅銷(xiāo)售價(jià)格有更大的概率指數(shù)穩(wěn)定在區(qū)間內(nèi)，價(jià)格指數(shù)(同比)頻數(shù)主要分布范圍在[100，115]之間，說(shuō)明與上一年的同月的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)都在區(qū)間內(nèi)，還可以看出，新建住宅的價(jià)格指數(shù)變大，相應(yīng)區(qū)間的二手住宅的價(jià)格指數(shù)變小，兩者之間存在著相互關(guān)聯(lián)性。

圖1 兩類(lèi)住宅的頻率直方圖

由于核函數(shù)K(·)在進(jìn)行核密度估計(jì)時(shí)對(duì)結(jié)果影響不大，選取epanechnikov核。用文中提到的Silverman嵌入估計(jì)得到新建住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)對(duì)應(yīng)最優(yōu)窗寬，二手住宅的價(jià)格指數(shù)(同比)得到最優(yōu)窗寬。

下面將兩組數(shù)據(jù)得到的最優(yōu)窗寬及兩倍與一半的窗寬帶入進(jìn)行核密度估計(jì)，估計(jì)結(jié)果見(jiàn)圖2：

如圖2所示，兩累價(jià)格指數(shù)通過(guò)使用嵌入估計(jì)求得最優(yōu)帶寬，此時(shí)進(jìn)行核密度估計(jì)可以得到更光滑的核密度估計(jì)圖像。且可以看出新建住宅和二手住宅的價(jià)格指數(shù)均呈現(xiàn)右偏尖峰分布，說(shuō)明二者價(jià)格指數(shù)集中在一個(gè)值106(較高的價(jià)格指數(shù))的附近。從而說(shuō)明新建住宅和二手住宅的價(jià)格指數(shù)相對(duì)具有一定的穩(wěn)定性，通過(guò)觀察二者的價(jià)格指數(shù)的原始數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間節(jié)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，價(jià)格指數(shù)呈現(xiàn)相對(duì)的波動(dòng)性，一個(gè)變化大小影響另一個(gè)變化的多少。

下面是對(duì)全國(guó)70個(gè)大中小城市兩類(lèi)住宅在2017年9個(gè)月中的價(jià)格指數(shù)(同比)核密度的估計(jì)比較情況，見(jiàn)圖3：

圖2 窗寬的選擇與比較

圖3 兩類(lèi)住宅銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)的核密度估計(jì)比較

如圖3所示，對(duì)2017年9個(gè)月住房?jī)r(jià)格指數(shù)的核密度估計(jì)中發(fā)現(xiàn)：(1)兩者的價(jià)格指數(shù)密度曲線的核密度估計(jì)均表現(xiàn)為右偏尖峰分布，即二手住房的價(jià)格指數(shù)的核密度函數(shù)值較大，新建住房的價(jià)格指數(shù)的核密度函數(shù)值較小，說(shuō)明二手住房對(duì)應(yīng)的價(jià)格指數(shù)概率密度曲線更高，集中分布在價(jià)格指數(shù)105值的附近；(2)新建住宅和二手住宅價(jià)格指數(shù)密度曲線的核密度估計(jì)整體不斷右移，說(shuō)明我國(guó)現(xiàn)今住房整體在不斷提高，隨著房?jī)r(jià)的不斷飆升，銷(xiāo)售價(jià)格漲幅一直處于核密度曲線的峰值106左右，經(jīng)濟(jì)快速增長(zhǎng)，帶動(dòng)房產(chǎn)業(yè)市場(chǎng)快速發(fā)展，房?jī)r(jià)的高漲使得人民的收入無(wú)法支付[6]，故消費(fèi)者轉(zhuǎn)變目光開(kāi)始關(guān)注二手住宅市場(chǎng)，購(gòu)買(mǎi)二手住宅；(3)在價(jià)格指數(shù)為110之后，新建住宅的核密度函數(shù)值總體上大于二手住宅的核密度函數(shù)值，說(shuō)明當(dāng)價(jià)格指數(shù)偏大時(shí)，消費(fèi)者更傾向于購(gòu)買(mǎi)新建住宅[7]。

下面對(duì)前3個(gè)季度的兩類(lèi)住宅銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)(同比)的比較分析，見(jiàn)圖4：

圖4 前3個(gè)季度兩類(lèi)住宅的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)比較

如圖4所示，對(duì)3個(gè)季度的新建住宅和二手住宅的價(jià)格指數(shù)做的核密度估計(jì)，其中f1，f2，f3分別表示新建住宅的第一、二、三季度，s1，s2，s3分別表示新建住宅的第一、二、三季度，首先看第一個(gè)季度，新建住宅的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)與二手住宅的價(jià)格指數(shù)呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)，數(shù)據(jù)主要集中數(shù)值在108的位置，此時(shí)兩類(lèi)住宅的銷(xiāo)售狀況相互影響不大；第二個(gè)季度二手住宅的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)明顯比新建住宅的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)變大，且價(jià)格指數(shù)值處于105附近，而新建住宅的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)值處于108附近，由此可知新建住宅變動(dòng)極大地影響了二手住宅；在第三季度中，兩類(lèi)住宅銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)出現(xiàn)了巨大差異，新建住房的價(jià)格指數(shù)的核密度函數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于二手住房的價(jià)格指數(shù)的核密度函數(shù)值，說(shuō)明在此期間，新建住房的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)比重較高，二手住房的銷(xiāo)售價(jià)格指數(shù)比重較低。

3 結(jié)論及建議

從核密度估計(jì)圖中可以看出，二手住宅需求與新建住宅的需求大體上一致，兩者存在關(guān)聯(lián)性[8]，二手住宅價(jià)格以新建住宅的銷(xiāo)售價(jià)格為風(fēng)向標(biāo)，二手住宅的銷(xiāo)售價(jià)格漲跌通常與新建住宅價(jià)格保持一致。區(qū)別在于在當(dāng)下二手住宅的投資投機(jī)性需求較少，大部分二手住宅購(gòu)買(mǎi)者主要為了解決住房問(wèn)題。目前我國(guó)二手房?jī)r(jià)格總體來(lái)說(shuō)低于新建住宅，這對(duì)經(jīng)濟(jì)條件相對(duì)有限的消費(fèi)者來(lái)說(shuō)具有較大的吸引力[9]。此外，對(duì)于急需入住的消費(fèi)者，二手房是他們的首要選擇。以前價(jià)格因素、政策變化和消費(fèi)觀念對(duì)二手房市場(chǎng)影響很大，盡管二手房?jī)r(jià)格要比新建住宅低得多，但是由于對(duì)二手房不放心的因素，導(dǎo)致我國(guó)二手市場(chǎng)的發(fā)展落后于發(fā)達(dá)國(guó)家[10]?，F(xiàn)今隨著社會(huì)的迅速發(fā)展，人民觀念開(kāi)始改變，對(duì)二手房也越來(lái)越青睞，特別是學(xué)區(qū)房，可以看出未來(lái)的二手市場(chǎng)發(fā)展的空間較大，在未來(lái)的購(gòu)房需求中，二手房的需求會(huì)逐漸加大比重。

采用非參數(shù)方法中的核密度估計(jì)方法對(duì)新建住宅和二手住宅的價(jià)格指數(shù)進(jìn)行核密度估計(jì)，讓消費(fèi)者了解到新建住宅和二手住宅在房地產(chǎn)市場(chǎng)中是息息相關(guān)的，也能為政府在調(diào)控新建住宅的同時(shí)考慮政策對(duì)二手住宅的影響，加強(qiáng)引導(dǎo)消費(fèi)者的購(gòu)房行為回歸理性，并通過(guò)對(duì)一手房市場(chǎng)的調(diào)控間接地引導(dǎo)二手市場(chǎng)的進(jìn)一步發(fā)展。