周俊屹，鄭 霜

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

0 引 言

眾所周知，在經(jīng)濟(jì)管理、工程設(shè)計(jì)、生態(tài)保護(hù)與道路交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域中，存在著大量的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。自20世紀(jì)70年代以來(lái)，關(guān)于多目標(biāo)優(yōu)化理論與方法的研究已有大量重要而基礎(chǔ)的研究成果[1-3]。又由于真實(shí)世界中多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)據(jù)通常是不確定的，因此研究不確定型魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題就有了十分重要的理論意義與應(yīng)用價(jià)值，其中魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件和對(duì)偶性也受到了研究者們的廣泛關(guān)注。

2013年，Chuong等人[4]考慮了非光滑半無(wú)限多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，提出了一類根據(jù)局部 Lipschitz 函數(shù)極限次微分的廣義凸和嚴(yán)格廣義凸函數(shù)，研究了在廣義凸和嚴(yán)格廣義凸下有效解和弱有效解的充分條件，并且探索了在廣義凸和嚴(yán)格廣義凸下的弱對(duì)偶性和強(qiáng)對(duì)偶性；2016年，Chuong[5]考慮不確定魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，基于Ehrgott等人提出的魯棒有效解。在廣義凸性下，建立了局部魯棒Pareto有效解和局部魯Pareto弱有效解的一些最優(yōu)性條件，表述了魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題，探索廣義凸性下的弱對(duì)偶性和強(qiáng)對(duì)偶性。

受文獻(xiàn)[4-5]研究工作的啟示，利用極限法錐和極限次微分，進(jìn)一步在廣義偽凸和嚴(yán)格廣義偽凸的條件之下研究了一類魯棒有效解的一些最優(yōu)性條件和強(qiáng)弱對(duì)偶性。

1 預(yù)備知識(shí)

為了得到結(jié)論，首先給出一些基本記號(hào)和基本定義。序關(guān)系在多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題研究中扮演了十分基礎(chǔ)且重要的作用[6]，一般采用下面空間中序關(guān)系：

Rp空間的一些常用子集定義：

的正象限。

設(shè)Rni是歐氏空間且Ωi是Rni的非空緊子集，其中?i∈(1，...，l)，ni∈N：={1，2，...，q}。

考慮以下形式的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

(UP)minf(x)

s.t.gi(x，wi)≤0，i=1，...，l，

其中x∈Rn是決策變量，wi∈Ωi是不確定參數(shù)，gi：Rn×Ωi→R，i=1，...，l是給定的函數(shù)。

對(duì)于研究的問(wèn)題(UP)，通常有與之相關(guān)的魯棒對(duì)應(yīng)

(RP)minf(x)

s.t.x∈C，

其中可行集C定義為

C：={x∈Rn|gi(x，wi)≤0，?wi∈Ωi，i=1，...，l}

(1)

(2)

將問(wèn)題(UP)的局部魯棒Pareto(弱)有效解解集定義為locS(RP)(locSw(RP))。

定義中，若U=Rn，則問(wèn)題(UP)的魯棒Pareto(弱)有效解解集定義為S(RP)(Sw(RP))。

使得

(3)

2 主要結(jié)果

2.1 魯棒多目標(biāo)問(wèn)題的最優(yōu)性條件

為了刻畫問(wèn)題(UP)的魯棒Pareto(弱)有效解的充分條件，需要首先給出(f，g)在某一給定點(diǎn)處廣義偽凸和嚴(yán)格廣義偽凸的定義如下。

使得

(4)

(5)

因此

(6)

這必然能夠推出存在k0∈{1，...，m}，使得

(7)

(8)

因此

2.2 魯棒對(duì)偶問(wèn)題的最優(yōu)性條件

這一部分，首先給出定義并建立魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題，再在廣義偽凸和嚴(yán)格廣義偽凸的條件之下探索強(qiáng)弱對(duì)偶性。

與魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題(RP)相關(guān)，下面是對(duì)偶魯棒多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題

s.t.(z，λ.μ)∈CD

對(duì)偶問(wèn)題(RD)的(局部)魯棒(弱)有效解的定義類似于定義2，將對(duì)偶問(wèn)題(RD)的魯棒Pareto(弱)有效解解集記作(Sw(RD))S(RD)。

定理2 (弱魯棒對(duì)偶性)令x∈C和(z，λ，μ)∈CD。

(Ⅰ)若(f，g)在z處是廣義偽凸的，則

(Ⅱ)若(f，g)在z處是嚴(yán)格廣義偽凸的，則

(9)

(10)

因x∈C，由式(10)可以得到

與式(9)矛盾故(Ⅰ)得證。

再證明(Ⅱ)。反證：假設(shè)

(11)

(12)

式(11)意味著x≠z,若x=z，則

由式(11)推出

這是不可能的。因?yàn)閤∈C可以推出

因?yàn)閤∈C因而可以得到

與式(12)矛盾。故(Ⅱ)得證。

定理3 (強(qiáng)魯棒對(duì)偶性)

(13)

(14)

故

(Ⅱ)中(f，g)在任意點(diǎn)z∈Rn處是嚴(yán)格廣義偽凸的，由定理2的(Ⅱ)則有