李 鑫

(浙江桐鄉(xiāng)第一中學(xué) 浙江 嘉興 314500)

浙江物理第6次選考引起廣泛爭(zhēng)議，考試一結(jié)束，就有學(xué)生指出第13題要用橢圓知識(shí)去解決，計(jì)算起來(lái)頗為棘手，文中稱為“橢圓方案”.很多中學(xué)教師認(rèn)為此題和掛衣服問(wèn)題是一致的，可以利用結(jié)論得到答案，文中稱為“平衡方案”.本文先對(duì)師生提出的方案做了詳盡探討，并提出了一種可以快速求解的“估算方法”.然后就“橢圓方案”和“平衡方案”的內(nèi)在本質(zhì)做了比較，指出二者是等價(jià)的.探討完各種解題策略，再提出高考試題中“自相似”現(xiàn)象，辨析了浙江“猴子”問(wèn)題和天津“掛衣架”問(wèn)題之間的區(qū)別和關(guān)聯(lián).針對(duì)浙江考生把此題當(dāng)成數(shù)學(xué)題去做的成因做了分析，就此給出高考復(fù)習(xí)中如何把握“定式模型”建議.

1 解題方案探討

【題目】如圖1所示，一根繩的兩端分別固定在兩座猴山的A,B處，A,B兩點(diǎn)水平距離為16 m，豎直距離為2 m，A,B間繩長(zhǎng)為20 m.質(zhì)量為10 kg的猴子抓住套在繩子上的滑環(huán)從A處滑到B處.以A點(diǎn)所在水平面為參考平面，猴子在滑行過(guò)程中重力勢(shì)能最小值約為(繩處于拉直狀態(tài))( )

圖1 題目題圖

A.-1.2×103J

B.-7.5×102J

C.-6.0×102J

D.-2.0×102J

1.1 橢圓方案

由于猴子到A,B兩點(diǎn)距離之和是20，故猴子運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，焦點(diǎn)是A,B兩點(diǎn)，問(wèn)題就劃歸成一個(gè)傾斜橢圓求橢圓上最低點(diǎn)問(wèn)題.仍沿著長(zhǎng)軸和短軸建立坐標(biāo)系，如圖2所示.

圖2 橢圓方案解題示意圖

(1)

顯然最低點(diǎn)的切線應(yīng)該沿著水平方向.A，B高度差是2 m水平距離為16 m,所以在此坐標(biāo)系中該切線斜率

(2)

即過(guò)原點(diǎn)平行于水平面的直線方程為

(3)

對(duì)橢圓方程進(jìn)行隱函數(shù)求導(dǎo),兩邊取微分

即

(4)

此處(x0,y0)即為橢圓最低點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立可得

(x0,y0)=(-2.067,-5.788)

根據(jù)點(diǎn)到直線距離關(guān)系有

(5)

知

d=6 m

所以橢圓最低點(diǎn)距離A點(diǎn)的豎直距離是7 m.考慮猴子并非質(zhì)點(diǎn)，繼而得知答案選B.

1.2 平衡方案

從物理角度剖析：這個(gè)問(wèn)題涉及到的思想是最小勢(shì)能原理，也就是說(shuō)猴子重力勢(shì)能最小的時(shí)候，它在水平方向是平衡狀態(tài).

搞清楚猴子水平方向受力平衡，那么問(wèn)題就劃歸成一個(gè)常見(jiàn)的定式，如圖3所示.

圖3 平衡方案解題示意圖

猴子在最低點(diǎn)P水平受力平衡，又因?yàn)橥K認(rèn)為滑環(huán)兩邊繩上力相等，即

Tsinα=Tsinβ

(6)

作BP延長(zhǎng)線與A處鉛垂線交于C，過(guò)B做BD垂直于AC，可得

(7)

顯然

CD=BCcosα=12

所以P距離A點(diǎn)豎直距離為

和純數(shù)學(xué)求解殊途同歸.

1.3 估算方案

對(duì)于一道選擇題，這兩種方案處理起來(lái)都不簡(jiǎn)單.此題亦可以用估算，倘若B和A等高，可知猴子軌跡為半長(zhǎng)軸和半短軸分別是10和6的一族橢圓，范圍在d=2之間，如圖4實(shí)線到虛線之間.當(dāng)把橢圓“擺正”，則最低點(diǎn)到焦點(diǎn)高度差為6，即猴子最低點(diǎn)到懸掛點(diǎn)A豎直距離應(yīng)該介于6和8之間，答案自然是B.

圖4 估算方案解題示意圖

2 橢圓方案和平衡方案內(nèi)在關(guān)聯(lián)

從物理角度來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)最小勢(shì)能原理結(jié)合水平方向受力平衡“一繩兩點(diǎn)”定式問(wèn)題，數(shù)學(xué)上是基于橢圓軌跡求解最低點(diǎn)問(wèn)題，那么兩者之間有沒(méi)有聯(lián)系？如圖5所示,過(guò)最低點(diǎn)做橢圓切線再做切線的法線，連接最低點(diǎn)和橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，顯然連線與豎直方向夾角相等,這也是橢圓面反射定律體現(xiàn)，即光源從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出光線經(jīng)過(guò)橢圓表面反射后必將匯聚在另一個(gè)焦點(diǎn)上[1].

圖5 橢圓方案和平衡方案關(guān)聯(lián)示意圖

從數(shù)學(xué)上的橢圓性質(zhì)再到物理實(shí)際問(wèn)題就完美結(jié)合在一起.橢圓最低點(diǎn)，從物理上，是過(guò)這點(diǎn)鉛垂線平分繩子的夾角，從數(shù)學(xué)上，是橢圓的一個(gè)性質(zhì)，而橢圓的性質(zhì)又能反應(yīng)出橢圓表面光學(xué)反射的物理本性.在此素材上深入挖掘，可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)物理的美麗和內(nèi)在的自洽統(tǒng)一，繼而可以指出一些高中物理應(yīng)用于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的案例，比如最小勢(shì)能原理的應(yīng)用[2].

3 比較“猴子”問(wèn)題和“掛衣架”問(wèn)題

從“定式”教學(xué)來(lái)說(shuō)，很多教師簡(jiǎn)單地把此題歸類(lèi)到“掛衣架”問(wèn)題，請(qǐng)看天津這道高考題.

【例題】如圖6所示，輕質(zhì)不可伸長(zhǎng)的晾衣繩兩端分別固定在豎直桿M,N上的a，b兩點(diǎn)，懸掛衣服的衣架鉤是光滑的，掛于繩上處于靜止?fàn)顟B(tài).如果只人為改變一個(gè)條件，當(dāng)衣架靜止時(shí)，下列說(shuō)法正確的是( )

A．繩的右端上移到b′，繩子拉力不變

B．將桿N向右移一些，繩子拉力變大

C．繩的兩端高度差越小，繩子拉力越小

D．若換掛質(zhì)量更大的衣服，則衣架懸掛點(diǎn)右移

圖6 例題題圖

衣服受力平衡時(shí)，可以得出繩子與豎直方向夾角達(dá)到一個(gè)定值，這個(gè)定值和掛鉤在豎直方向位置無(wú)關(guān)即

(8)

只由掛鉤水平方向位移和繩長(zhǎng)所決定.在豎直方向上有

2Tcosα=mg

(9)

從而可知A,B正確；C,D錯(cuò)誤.

筆者認(rèn)為這兩個(gè)問(wèn)題只是模型上形似，衣服是靜止的，而猴子并不是靜止的，沿豎直方向是存在加速度的，只是水平方向受力平衡.得到的結(jié)論和“掛衣服”相似可以做為定式教學(xué)訓(xùn)練用，但是務(wù)必要交代清楚物理本質(zhì).

再?gòu)母鼜V義的角度對(duì)比天津“掛衣架”問(wèn)題和浙江“猴子”問(wèn)題，兩道題出現(xiàn)時(shí)間分別是2017年和2018年，時(shí)間很靠近，而高考?xì)v年試題中不乏這種“自相似”試題，就是一段時(shí)間內(nèi)不同省市對(duì)同一個(gè)“知識(shí)點(diǎn)”或者“物理模型”不約而同考查，比如2010年浙江卷和同年的福建卷都考查同一個(gè)問(wèn)題，即驗(yàn)證胡克定律實(shí)驗(yàn)中在彈簧下增掛鉤碼和減掛鉤碼效果有什么不同？2007年上海卷和2008年天津卷壓軸題都是考查磁懸浮列車(chē)模型，而且都源自2006年全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽的第5題，關(guān)于這樣的例子有很多，有興趣的讀者可以自行查閱.

另一個(gè)值得關(guān)注現(xiàn)象是為什么學(xué)生做“猴子”問(wèn)題時(shí)普遍想到是橢圓而不是“掛衣架”呢？高中生經(jīng)過(guò)大量圓錐曲線訓(xùn)練，想到橢圓是很自然的事.想不到“掛衣架”不是因?yàn)閷W(xué)生意識(shí)到“掛衣架”模型和“猴子”模型上本質(zhì)的不同，而是因?yàn)檎憬瓕?shí)行新高考以來(lái)，大大壓縮物理學(xué)習(xí)的周期，所以像這種“有些復(fù)雜”的定式，被省內(nèi)大多數(shù)物理教師所捐棄，最直接的導(dǎo)向是過(guò)去5次新高考從來(lái)沒(méi)有考查過(guò)這類(lèi)定式.事實(shí)上“掛衣架”模型是一個(gè)成熟的模型，相似問(wèn)題出現(xiàn)在各類(lèi)輔導(dǎo)書(shū)中.即便訓(xùn)練過(guò)“掛衣架”模型的中學(xué)生，在實(shí)際考試中也很難將“猴子”模型進(jìn)行遷移.因?yàn)檎憬昂镒印眴?wèn)題是對(duì)天津“掛衣架”問(wèn)題的超越，不是簡(jiǎn)單的重復(fù)，主要體現(xiàn)在以下兩點(diǎn)：

第一，具體問(wèn)題設(shè)置中應(yīng)用的定式結(jié)論不同，天津“掛衣架”問(wèn)題核心關(guān)系式是式(8)，即繩子的夾角由懸掛點(diǎn)水平距離和繩長(zhǎng)決定，而浙江“猴子”問(wèn)題核心關(guān)系式是式(7)，是利用相似關(guān)系解決一個(gè)幾何關(guān)系.訓(xùn)練過(guò)“掛衣架”的學(xué)生沒(méi)有經(jīng)過(guò)延拓，教師只是就題論題，學(xué)生可能就拘囿于式(8)而不能稍進(jìn)一步得到式(7).

第二，最本質(zhì)的不同是兩題建模方式不同，天津“掛衣架”模型指向很清晰，是一個(gè)靜態(tài)受力平衡問(wèn)題，難點(diǎn)在于數(shù)量關(guān)系的處理，經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后應(yīng)對(duì)換湯不換藥的問(wèn)題，本質(zhì)沒(méi)有變，學(xué)生容易把握.但是浙江“猴子”問(wèn)題變成了一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程，問(wèn)最低點(diǎn)位置是一個(gè)幾何最值，學(xué)生建模時(shí)很容易受到數(shù)學(xué)訓(xùn)練中大量極值問(wèn)題干擾，喜歡利用函數(shù)去解決，沒(méi)有意識(shí)到此題可以通過(guò)物理分析得出結(jié)論.而且一般處理最低點(diǎn)問(wèn)題，都是在豎直方向運(yùn)動(dòng)，此題猴子做曲線運(yùn)動(dòng)，而且不是學(xué)生熟知的曲線運(yùn)動(dòng)，在不知曉最小勢(shì)能原理情況下，不易分析得出水平受力平衡切向沒(méi)有加速度即為猴子軌跡最低點(diǎn).筆者經(jīng)過(guò)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)通過(guò)物理方案解決此題的很多考生并不是很清楚猴子運(yùn)動(dòng)特性，而是思維迅速跳到“掛衣架”模型，經(jīng)過(guò)類(lèi)比解決的，一旦深入分析，他們會(huì)感到兩者有區(qū)別，如果在考場(chǎng)上意識(shí)到這個(gè)問(wèn)題，甚至還會(huì)懷疑自己.

針對(duì)“定式模型”復(fù)習(xí)，筆者有兩點(diǎn)建議：

(1)“定式模型”應(yīng)該采用發(fā)散教學(xué)的模式，教師善于引導(dǎo)學(xué)生多提問(wèn)盡可能從更多角度把“定式”理解更透徹，切忌點(diǎn)到為止，就題論題的方式是很低效的，教師講了很多漂亮的“定式”和結(jié)論，但是學(xué)生未必能吸收.然后是教師收集改編或自編關(guān)于這個(gè)“定式”相關(guān)習(xí)題，集中訓(xùn)練，學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中會(huì)自覺(jué)養(yǎng)成辨識(shí)“定式”和應(yīng)用的能力，能起到良好效果.

(2)筆者認(rèn)為在進(jìn)行“定式模型”復(fù)習(xí)時(shí)，最難一點(diǎn)是如何把握講哪些“定式”，比如過(guò)去山東高考題，電磁場(chǎng)問(wèn)題可以重點(diǎn)講“軌跡拼接”問(wèn)題，但是對(duì)于北京考生就不必了，北京近些年試題偏愛(ài)一些物理本源的理解和推導(dǎo)，所以到底講解什么“定式”本質(zhì)上就是把握高考試題動(dòng)向，教師只有深入本地區(qū)試題特點(diǎn)和《考試大綱》才能得出結(jié)論，尤其是新高考改革省份，物理教學(xué)課時(shí)被壓縮情況下教師把握動(dòng)向準(zhǔn)不準(zhǔn)就顯得更加重要了.

4 結(jié)論

學(xué)生需要較為熟練的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力才能利用文中解析幾何的求解方法，估算方案利用的仍然是橢圓知識(shí)，對(duì)于解題而言，是個(gè)很好的策略.通過(guò)對(duì)比“平衡方案”和“橢圓方案”，可知從物理和數(shù)學(xué)角度得出的結(jié)論內(nèi)在是完美統(tǒng)一.然后本文詳細(xì)探討學(xué)生在考場(chǎng)中實(shí)際表現(xiàn)，再分析內(nèi)在成因.最后比較“猴子”模型和“掛衣架”模型，指出二者在具體應(yīng)用指向和建模方式上的不同，并給出一些關(guān)于高考復(fù)習(xí)把握“定式模型”的建議.

第13題在浙江省內(nèi)引起較強(qiáng)烈討論，筆者以為從課后習(xí)題教學(xué)來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)不可多得的好問(wèn)題.通過(guò)數(shù)學(xué)和物理以及估算多個(gè)角度解決問(wèn)題，再結(jié)合不同素材，可以形成一個(gè)嚴(yán)密的數(shù)學(xué)物理知識(shí)鏈，有助于學(xué)生科學(xué)探究能力的培育.