劉 燕,于 傳,黃永明,熊晶晶,劉 靜

(1.南京工程學院工業(yè)中心,南京 211167;2.國網(wǎng)安徽省電力有限公司培訓中心,合肥 230022;3.東南大學自動化學院,南京 210096)

由于時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型在實際應(yīng)用中的重要性,時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù)備受關(guān)注[1-2]．當考慮時滯信息,尤其是時滯較小時,時滯相關(guān)穩(wěn)定性結(jié)果的保守性比時滯不相關(guān)穩(wěn)定性結(jié)果低[3-5],故選擇合適的Lyapunov-Krasovskii泛函 (LKF)對于得出具有更低保守性的穩(wěn)定性判據(jù)至關(guān)重要[6-7]．為了獲得具有更低保守性的結(jié)果,LKF導數(shù)估計是基于線性矩陣不等式推導穩(wěn)定性判據(jù)的重要途徑[3]．近幾年,已經(jīng)出現(xiàn)了多種估計LKF導數(shù)的方法,常用的有: 自由權(quán)矩陣[3,8]、積分不等式[6,9-10]、萊布尼茨-牛頓公式[11-12]以及這些方法的不同組合[3,10]．盡管可以使用這些方法來估計LKF的導數(shù)并減少保守性,但運算負擔均較大．本文擬通過構(gòu)造增廣LKF,并利用多種積分不等式估計LKF的導數(shù)以獲得更低的保守性和更小的運算負擔,同時探討時變時滯連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性的條件．

在本文中,Rn表示n維歐幾里德空間,P>0或P≥0表示P是一個真正的對稱和正定(半)矩陣,對稱矩陣中的對稱項用*表示．

1 問題描述

時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

(1)

其中神經(jīng)元狀態(tài)向量xt=[x1t…xnt]T∈Rn,f(·)為神經(jīng)元激活函數(shù),C=diag{c1,…,cn}(ci>0),A和B是權(quán)重矩陣,J=[J1…Jn]T是外部常量輸入向量,τ(t)是時變時滯且滿足

(2)

假設(shè)式(1)存在平衡點x*,則可通過改變變量值將此平衡點轉(zhuǎn)移到原點,即yt=xt-x*,g(yt)=f(yt+x*)-f(x*),有

(3)

易得[6]

(4)

2 穩(wěn)定性判據(jù)

注1不同于文獻[3-4,6]中的LKF結(jié)構(gòu),定理1中雙積分項被擴充為V2(t)的形式,建立了狀態(tài)變量與導數(shù)之間的關(guān)系．此外,通過構(gòu)造函數(shù)V4(t),進一步構(gòu)造了一個包含更多神經(jīng)元活化函數(shù)斜率信息的全新LKF．

證明 考慮增廣LKFVb(t)=V1a(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t),其中

本文導出的穩(wěn)定性判據(jù)給出了要確定的矩陣變量和用于保證時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性基于LMI的約束條件,可以利用MATLAB/LMI 工具箱中的 feasp 函數(shù)從相應(yīng)判據(jù)中求解這些變量．

3 數(shù)值算例

帶參數(shù)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(3)[3]中

本文使用提出的定理1和定理2兩個穩(wěn)定性判據(jù),獲得了保證時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近穩(wěn)定性的可接受最大上界(AMUBs);文獻[4,6,13]通過將時變時滯區(qū)間劃分為2個子區(qū)間,給出了相應(yīng)的AMUBs;文獻[3]使用萊布尼茨-牛頓公式和自由加權(quán)矩陣技術(shù)保證有2個時滯分量的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)漸進穩(wěn)定性,獲得了改進的AMUBs．表1給出不同μ下所得AMUBs的結(jié)果．

表1 不同μ下AMUBsTab.1 AMUBs for various μ

從表1可以看到,本文方法的計算結(jié)果比文獻[3-4,6,13]中的保守性更低,尤其當μ≥0.5時;條件2中當μ=0.9時,本文方法計算結(jié)果明顯好于文獻[3]中的結(jié)果,這是因為本文采用了幾種合適的不等式代替了萊布尼茨牛頓公式和自由加權(quán)矩陣技術(shù),并給出了神經(jīng)元活化函數(shù)斜率的更多信息,說明新的增廣LKF項改進了計算結(jié)果．為進一步說明本文所提方法的有效性,進行了仿真試驗．

圖1 神經(jīng)元狀態(tài)變量yit的狀態(tài)軌跡Fig.1 State trajectories of neuron state variables

4 結(jié)論

本文研究了時變時滯連續(xù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局漸近穩(wěn)定性,利用新的增廣LKF和合適的積分不等式,導出了改進的時滯相關(guān)穩(wěn)定性判據(jù);考慮了更多神經(jīng)元活化函數(shù)斜率信息的增廣LKF已被用來降低穩(wěn)定性判據(jù)的保守性．此外,由于本文并未涉及任何時滯分解和時滯分區(qū)的思想以及萊布尼茨牛頓公式和自由加權(quán)矩陣,得到的穩(wěn)定性判據(jù)的計算負擔已大幅減少,數(shù)值算例驗證了本文方法的有效性．