◆侯佳儀

(內(nèi)蒙古第一機(jī)械制造〈集團(tuán)〉有限公司第一中學(xué))

1引言

當(dāng)需要量化求解一個(gè)實(shí)際問題時(shí)，首要的便是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而使問題得以合理的描述和有效解決，這便是數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)理論與實(shí)際應(yīng)用之間的一座重要橋梁。數(shù)學(xué)建模問題中，有超過半數(shù)屬于優(yōu)化問題，而其中絕大部分又可以近似看成線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃是一項(xiàng)應(yīng)用極其廣泛的數(shù)學(xué)模型，在經(jīng)濟(jì)、軍事、科研等方面均有重要作用。

本文正是基于對(duì)數(shù)學(xué)建模的興趣，在充分調(diào)研的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)學(xué)建模中的一些常用方法進(jìn)行總結(jié)與歸納，并重點(diǎn)深入分析線性規(guī)劃在數(shù)學(xué)建模中的作用，最后對(duì)這些年實(shí)際的數(shù)學(xué)建模進(jìn)行了總體分析，以此拓展對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

2基本概念

2.1數(shù)學(xué)建模

2.1.1數(shù)學(xué)建模概況

數(shù)學(xué)建模就是對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中所遇到的實(shí)際問題加以分析、抽象和簡(jiǎn)化，使之成為一個(gè)可以刻畫實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行求解、分析以及檢驗(yàn)的過程。所建立的模型可以大致分為以下四種類型：

(1)與數(shù)量有關(guān)：如典型的有函數(shù)模型、方程模型、不等式模型、數(shù)列模型與概率模型。

(2)與形狀相關(guān)：如平面幾何模型與立體幾何模型。

(3)與位置相關(guān)：如解析幾何模型與極坐標(biāo)模型。

(4)與最值相關(guān)：線性規(guī)劃模型。

針對(duì)這四種常見的數(shù)學(xué)建模類型題，通?？梢杂形宸N解決的方法，分別是：

(1)關(guān)系分析法，將實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)關(guān)系抽象出來，并對(duì)其加以分析和簡(jiǎn)化，再進(jìn)行判斷屬于以上四種類型中的哪一種，進(jìn)而進(jìn)行求解。

(2)圖像分析法，是通過借助函數(shù)圖像的方式尋找實(shí)際問題中的關(guān)系，并通過圖像的變化趨勢(shì)確定實(shí)際問題的最優(yōu)解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)求解。

(3)數(shù)量關(guān)系式，根據(jù)問題中所描述信息列出數(shù)量關(guān)系式，并依據(jù)此數(shù)量關(guān)系式進(jìn)行進(jìn)一步討論、求解問題。

(4)數(shù)學(xué)歸納法，先根據(jù)所給信息大致抽象出一般規(guī)律，再證明其正確性并推廣，從而進(jìn)行求解。

(5)示意圖分析法(常用于分析幾何模型)：抽取出題中所給信息主要內(nèi)容，將問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，結(jié)合基本幾何模型進(jìn)行分析。

2.1.2數(shù)學(xué)建模一般步驟

數(shù)學(xué)建模不僅是一種競(jìng)賽，更是在解決實(shí)際問題中需要經(jīng)常采用的一種解決策略，因此在實(shí)際應(yīng)用過程中通常都是按照一定步驟按步執(zhí)行，其一般可以描述為圖1所示的步驟。

2.2線性規(guī)劃理論

2.2.1線性規(guī)劃概況

線性規(guī)劃是一種可以輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理、科學(xué)決策的一種十分有效的數(shù)學(xué)方法，主要研究對(duì)象是實(shí)際問題中存在線性約束關(guān)系下，求解一些特定目標(biāo)值的最優(yōu)解，換言之，是目標(biāo)函數(shù)極值問題求解的數(shù)學(xué)理論與數(shù)學(xué)方法，在日常的工程技術(shù)(如能耗最小、路程最短)、經(jīng)濟(jì)分析(如利潤(rùn)最高)、經(jīng)營(yíng)管理(如效率最佳)以及軍事作戰(zhàn)等方面均得到了廣泛有效的應(yīng)用，最終借助有限的資源實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的目的，為實(shí)際問題提供科學(xué)的依據(jù)。其中典型的線性規(guī)劃問題可以如下描述。

目標(biāo)函數(shù)：Max(Min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn

約束條件：a11x1+ a12x2+…+a1nxn≤(=，≥)b1

a21x1+ a22x2+… + a2nxn≤(=，≥)b2

……

am1x1+am2x2+…+amnxn≤(=，≥)bm

x1，x2，…，xn≥0。

其中x1，x2，…，xn為決策變量，即實(shí)際問題中的因變量，目標(biāo)函數(shù)是用決策變量表述的函數(shù)關(guān)系，并求解其最大值或最小值，約束條件便是約束決策變量的等式或不等式，當(dāng)然實(shí)際問題中決策變量并不是可以任意取值的。本模型描述中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性關(guān)系，實(shí)際上目標(biāo)函數(shù)在高中線性規(guī)劃問題中可以是非線性問題，如距離關(guān)系的求解、斜率的變化求解等，實(shí)際線性規(guī)劃問題中并不會(huì)做十分嚴(yán)格的限制。

2.2.2線性規(guī)劃問題的求解

通過2.2.1對(duì)一般線性規(guī)劃問題的描述與建立，根據(jù)實(shí)際線性規(guī)劃問題的求解也會(huì)按照一定特定的步驟進(jìn)行求解，如圖2所示，根據(jù)步驟可以得到如圖3所示的平面關(guān)系，當(dāng)然為了作圖方便，圖像中只有兩個(gè)因變量，三個(gè)及以上的因變量需要借助計(jì)算機(jī)技術(shù)才能得到快速有效解。

3數(shù)學(xué)建模中線性規(guī)劃問題分析

從資料調(diào)研來看，高中生、大學(xué)生和研究生均有數(shù)學(xué)建模大賽，尤其是大學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽最為激烈，可見該競(jìng)賽已經(jīng)成為在校學(xué)生課外科技活動(dòng)的重要項(xiàng)目之一。通過對(duì)近些年數(shù)學(xué)建模大賽的題目分析，其中可以建立線性規(guī)劃模型的占有較大比例，典型的可以歸納為以下幾類。

(1)生產(chǎn)計(jì)劃問題。如某年題目就以一個(gè)企業(yè)的生產(chǎn)狀況為依托，要求確定各種產(chǎn)品的產(chǎn)量為多少時(shí)可以實(shí)現(xiàn)企業(yè)收入達(dá)到最大。類似問題有很多，如交通調(diào)度等，需要考慮實(shí)際社會(huì)需要以及企業(yè)自身的生產(chǎn)能力進(jìn)行模型建立，最終歸咎為線性規(guī)劃問題，進(jìn)而給出科學(xué)合理的決策依據(jù)。

(2)任務(wù)分派問題。如一次數(shù)學(xué)建模大賽中就提到有若干項(xiàng)任務(wù)分配給若干個(gè)人去完成，但是每個(gè)人有自己的專業(yè)優(yōu)勢(shì)，完成每項(xiàng)任務(wù)的成本也不一致，遇到這類抽象問題的時(shí)候，往往需要進(jìn)行一定的假設(shè)，并按照一定的等級(jí)設(shè)定相應(yīng)的數(shù)量，進(jìn)行線性規(guī)劃建模與求解。

(3)經(jīng)濟(jì)最優(yōu)問題。這類問題是最為常見的線性規(guī)劃問題，如有食譜問題、企業(yè)原材料的采購與運(yùn)輸問題、多種投資組合的決策問題、商店的入貨問題等，需要綜合考慮各種因素，通過對(duì)實(shí)際問題的分析，建立線性規(guī)劃模型進(jìn)行求解分析，給出合理的解決方案，實(shí)現(xiàn)價(jià)值最優(yōu)化。

當(dāng)然除此之外，還有很多其它問題，如環(huán)境治理等熱點(diǎn)問題均是近些年數(shù)學(xué)建模中出現(xiàn)的可以采用線性規(guī)劃方法進(jìn)行解決的問題。

4結(jié)論

隨著高考的不斷改革，除了傳統(tǒng)的學(xué)科競(jìng)賽項(xiàng)目之外，近些年中學(xué)生數(shù)學(xué)建模大賽也得到了各方的重視，也許若干年后將會(huì)與學(xué)科競(jìng)賽具有一樣的價(jià)值。事實(shí)上高中生已經(jīng)具備一般的數(shù)學(xué)建模知識(shí)與技能，無非是潛在要求將知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用進(jìn)行有效的結(jié)合，這在一定程度上可以考察發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。而數(shù)學(xué)模型的建立與高中所學(xué)的函數(shù)理論、線性規(guī)劃、幾何關(guān)系等具有十分密切的關(guān)系。本文所論述的線性規(guī)劃問題在數(shù)學(xué)建模大賽中應(yīng)用十分廣泛，通過對(duì)數(shù)學(xué)建模和線性規(guī)劃理論的闡述，并重點(diǎn)闡述了實(shí)際的應(yīng)用問題，需要參賽者賽前得到足夠的重視。在實(shí)際參加數(shù)學(xué)建模大賽前，需要借助大量的實(shí)際應(yīng)用例子來拓展視野，掌握思路與方法才能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)合理的建模、求解和分析。