周愛麗

（天津職業(yè)大學(xué)，天津 300410）

一、引言

自從Gau 和BuehIer 于1993年提出了Vague 集的概念后，學(xué)者們?cè)诶碚摵蛻?yīng)用方面對(duì)它的研究一直同步進(jìn)行。迄今為止，學(xué)者們對(duì)Vague集的研究主要集中在以下三個(gè)方面：①Vague 集(值)之間的相似度量（包括距離）；②基于Vague 集的決策方法；③Vague集理論的應(yīng)用。

在很多時(shí)候，距離能方便地表達(dá)兩個(gè)對(duì)象之間的區(qū)別。Vague 集(值)之間的相似度量可以根據(jù)Vague 集(值)之間的距離來定義。目前定義兩個(gè)Vague 集(值)之間的距離有多種方法，如海明距離、歐氏距離、基于Hausdorff 測(cè)度的距離等。但幾乎沒有哪個(gè)距離公式能處理好所有Vague集之間的距離，同時(shí)其距離公式是建立在經(jīng)典距離公里基礎(chǔ)上的。本文基于這樣的理念：Vague集是模糊的，Vague集之間的距離也可理解為模糊概念，即Vague 集之間的距離用模糊值表征更加符合實(shí)際。為此本文嘗試提出Vague集之間的模糊距離定義。

二、預(yù)備知識(shí)

定義2.1 設(shè)U是論域，它的元素用x表示.U上的一個(gè)Vague 集A是指U上的一對(duì)隸屬函數(shù)tA和fA， 即滿 足0 ≤tA(x)+fA(x)≤1，其中tA(x)稱為Vague 集A的真隸屬函數(shù)，表示支持x ∈A 的證據(jù)的隸屬度下界；fA(x) 稱為Vague 集A的假隸屬函數(shù)，表示反對(duì)x ∈A 的證據(jù)的隸屬度下界；稱πA(x)=1-tA(x)-fA(x)為x相對(duì)于A的猶豫度，πA(x)值越大，說明x相對(duì)于A的未知信息越多．將Vague 集A簡(jiǎn)記為

定義2.2 設(shè)x ∈U，稱閉區(qū)間[tA(x),1-fA(x)]為Vague集A在點(diǎn)x的Vague值.

Vague值同時(shí)表示了支持、反對(duì)x ∈A 證據(jù)的隸屬程度及未知程度.例如，A在點(diǎn)x的Vague 值為[tA(x),1-fA(x)]=[0.5,0.8]，則有tA(x)=0.5，

可以解釋為：元素x屬于A的程度是0.5，不屬于A的程度是0.2，對(duì)A的未知程度是0.3.

設(shè)A為一個(gè)Vague集，當(dāng)U離散時(shí)，將其表示當(dāng)U連續(xù)時(shí)，將其表示為

下面給出U為有限離散集時(shí)的幾個(gè)定義。

定義2.3 設(shè)論域U={x1,x2,…,xn} （即為離散有限集），A,B是U上的兩個(gè)Vague 集，其中

定義Vague集的被包含、包含、相等運(yùn)算如下：

A ?B 當(dāng)且僅當(dāng)?xi∈U,tA(xi)≤tB(xi)

且1-fA(xi)≤1-fB(xi)，即fA(xi)≥fB(xi)

A=B當(dāng)且僅當(dāng)?xi∈U,tA(xi)=tB(xi)

且fA(xi)=fB(xi).

定義2.4 設(shè)U={x1,x2,…,xn}為論域，A是U上的Vague集，如果集合

其中λ∈[0,1]

則稱Nλ(A) 為A的真隸屬度的λ水平集.稱（其中，tA(xi)≥λ，l為tA(xi)≥λ的xi元素的個(gè)數(shù)）為真隸屬度λ水平的均值，記為

定義2.5 設(shè)論域U={x1,x2,…,xn}，A,B是U上的兩個(gè)Vague集，其中

B=對(duì)于λ∈[0,1]，如果則稱Vague 集A,B為基于真隸屬度λ水平的均值的相等，記為定理2.1 若（證明略）

三、Vague集間模糊距離的定義

定義3.1 設(shè)U={x1,x2,…,xn}為論域，V(U)表示U上的全體Vague 集，是V(U)×V(U)→[0,+∞)的映射，如果對(duì)任意A,B,C ∈V(U)，下列（1）～（3）成立

則稱是V(U) 上的模糊距離，表示A,B之間的模糊距離.

給出的Vague集間的模糊距離的幾種具體公式為：

定理3.1 設(shè)U={x1,x2,…,xn}為論域，

對(duì)于λ∈[0,1]，Nλ(A)≠Φ，Nλ(B)≠Φ，

則(A,B)是Vague 集A,B之間的模糊距離，并稱為Vague 集A,B之間λ水平模糊Hamming 距離.稱為Vague集A,B之間的模糊Hamming距離集．

證明 顯然(A,B)≥0．

顯然(A,B)(B,A)．

?(A,C)≥(A,B)．同理可證

(A,C)≥(B,C)．

定理3.2 設(shè)U={x1,x2,…,xn}為論域，

B=對(duì)于λ∈[0,1]，

Nλ(A)≠Φ，Nλ(B)≠Φ，令

則(A,B)是Vague 集A,B之間的模糊距離，稱為Vague 集A,B之間λ水平模糊Euclidean 距離。稱為Vague 集A,B之間的模糊Euclidean距離集。

定理3.3 設(shè)U={x1,x2,…,xn}為論域，

定理3.2、3.3易證，這里從略。并且顯然有如下結(jié)論。

四、示例與討論

1.示例

設(shè)U={x1,x2,x3,x4}為論域，A,B為上的Vague集，其Vague 值[t(x),1-f(x)]如表1 所示。由公式（1）、（2）、（3）計(jì)算距離，結(jié)果見表2。

表1 Vague集A,B Vague值[t(x),1-f(x)]表

表2 Vague 集A,B 間的各種距離計(jì)算結(jié)果表

2.選取λ值的討論

直觀的看，Vague 集是一個(gè)依隸屬度(真隸屬度、假隸屬度與猶豫度)不同的“朦朧集”，真隸屬度越高、假隸屬度與猶豫度越低，其對(duì)應(yīng)元素越屬于該集合，反之越不屬于該集合。因此，用一個(gè)確定數(shù)表示集合的距離不如用模糊數(shù)表示更為合理。本文提出的Vague 集間的距離是一個(gè)依據(jù)λ值的距離，當(dāng)選定λ值，就是忽略了真隸屬度小于λ的元素，突出考慮真隸屬度大于λ的元素的距離，這樣突出了“主要矛盾”。

定義4.1 設(shè)U={x1,x2,…,xn}為論域，

λμ=min{λμA,λμB}，則稱λμ為Vague 集水平集濃度不低于μ的截集水平.（注：表示集合·的勢(shì)）.

顯然，上述定義可以推廣到有限個(gè)Vague集的情形。

如果給出了Vague集A,B真隸屬度tA(xi),tB(xi)的分布函數(shù)，還可以根據(jù)分布函數(shù)確定截集水平λμ。

由上節(jié)距離的定義發(fā)現(xiàn),λ的取值比較重要,λ取不同的值直接影響距離的值。

（1）當(dāng)λ=0，則考慮的是全體元素的在內(nèi)Vague集間的距離；

（2）當(dāng)λ≠0，則考慮的是真隸屬度t(xi)≥λ元素的Vague集間的距離；

（3）在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)問題的需要確定截集水平λμ，但一般不選太低的μ值，如可選μ≥0.5 等等，甚至取μ=1。

五、結(jié)語

本文對(duì)Vague集間以真隸屬度的λ水平集為基礎(chǔ)定義了其三種新模糊距離，體現(xiàn)了以真隸屬度為標(biāo)準(zhǔn)的突出“主要元素”的思想，豐富了Vague集間距離公式。還需指出，同時(shí)考慮真隸屬度與假隸屬度水平集基礎(chǔ)上的模糊距離的定義是值得研究的課題。