廣東省梅州市五華縣田家炳中學(514400) 葉東輝

關鍵字 解題反思;解題能力;數(shù)學思維能力

著名數(shù)學教育家波利亞在“怎樣解題”表中給出解題過程的四個步驟: 弄清問題——擬訂計劃——實施計劃——回顧,其中的“回顧”即是數(shù)學問題解決過程中的反思.《普通高中數(shù)學課程標準》中也明確提出了“自主探索”、“反思構建”等與反思密切相關的目標和要求.解題反思是從一個新的角度,多層次對問題進行分析和思考,從而深化對問題的理解, 優(yōu)化解題思路, 探索一般規(guī)律和通性通法, 歸納升華,促進知識的遷移,尋求新的發(fā)現(xiàn).筆者認為通過以下“解題反思四部曲”不僅能提高學生的解題能力,同時達到提升學生數(shù)學思維能力和創(chuàng)新發(fā)展能力的目標.

一、解題反思第一部曲: 反思解題的思維過程、論證過程,提高數(shù)學思維的嚴謹性.

反思解題的數(shù)學思維過程包括分析、綜合、比較、概括判斷和推理等基本過程.反思解題過程,就是對整個解題過程進行全面的檢查: 條件是否充分,轉化是否等價,是否合乎邏輯,計算是否有誤.如解應用題得到“需要0.8 個人”,求出面積、長度為負數(shù)等這樣的結果,就不難判斷出解題有誤,需要檢查列式或者計算是否有錯或者某一步轉化的條件不滿足.

例1求函數(shù)的值域.

解題反思

提問1: 甲同學做對了嗎? 同學們議論紛紛,有的認為對,有的認為不對.

提問2: 基本不等式在取等號的時候應注意什么?

同學們: 兩個數(shù)相等時才能取等號.

師引導: 在學習基本不等式前,我們求函數(shù)的值域、最值用什么方法呢?

同學們: 利用函數(shù)的單調性.

例2設P 是雙曲線上一點,F1、F2分別是雙曲線左右兩個焦點,若|PF1|=9,求|PF2|的長.

引導學生反思回顧, 就會發(fā)現(xiàn)錯誤的原因是忽略了題目中的隱蔽條件: |PF2|的長度最小值應為c-a = 2,所以|PF2|≥2,即|PF2|只能等于17.

通過對解題過程和結果的反思,發(fā)現(xiàn)解題過程中存在的問題,使學生加深了對基礎知識、基本概念的理解,完善了解題的思維過程,更重要的是促進學生養(yǎng)成嚴格推理、論證的思維習慣,不隨意套取公式、定理、結論武斷地得出結果,克服思維的片面性,養(yǎng)成嚴謹縝密的思維品質.

二、解題反思第二部曲: 反思一題多解,激活思維,拓展解題途徑和思維廣度.

例3 已知定點C 的坐標是(2,2), 過點C 的直線CA與x 軸交于點A,過點C 且與直線CA 垂直的直線CB 與y軸交于B 點.設點M 是線段AB 的中點,求點M 的軌跡方程.

思路分析尋求動點M 滿足的條件,并把條件轉化為關于x,y 的等量關系,是解題的關鍵,注意到CB⊥CA,容易聯(lián)想到兩直線垂直時斜率的關系,對斜率不存在的情況補充說明.

解設M(x,y), 則A(2x,0), B(0,2y), 當x /= 1 時,因為CA⊥CB, 所以kCA· kCB= -1, 所 以化簡得:x+y-2=0(*).又當x=1 時,CA⊥Ox 軸,得M(1,1),它滿足(*)式.所以所求的軌跡方程是x+y-2=0.

解題反思上述解法應用平面解析幾何中兩直線垂直時斜率的關系解題.

引導思考1: 因為CA⊥CB,所以△ABC 是Rt△,斜邊是AB,且M 是AB 的中點,同學們能聯(lián)想到在Rt△中,斜邊上的中線可建立的等量關系?

同學甲: Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半.

于是我們得到解法2:

解連結CM, 在Rt△ABC 中, M 是 斜邊AB 的中點, 所以即化簡得: x + y - 2 = 0, 所以所求的軌跡方程是x+y-2=0.

引導思考2: 垂直關系除了斜率之積等于-1,還可以建立什么等式?

同學乙: 在平面向量中,兩向量垂直時它們的數(shù)量積為0,且可以省去對斜率的討論!

解法3因為所以所以(2x-2,-2)·(-2,2y-2)= 0, 化簡得: x + y - 2 = 0, 所以所求的軌跡方程是x+y-2=0.

通過對本題的一題多解,可以總結出幾何中垂直關系可以考慮建立的多個等式,根據(jù)條件擇優(yōu)使用,達到快速剖析題意,建立方程的效果.本題還可以引導學生從垂直關系類比平行關系,總結平行關系所涉及的各種等量關系.

引導學生反思一題多解,點燃思維的火花,從多角度探尋解法,開拓思路,勾通知識,掌握規(guī)律,優(yōu)化解法,在更多維度更高層次更富有創(chuàng)造性地去學習、摸索、總結,拓寬了解題的途徑和思維的廣度.

三、解題反思第三部曲: 反思多題一解,探求通性通法,提高歸納概括的數(shù)學思維能力.

在解題實踐中,我們會經(jīng)常遇到一些類似的、相近的題目,如果能夠把它們放在一起進行分析、比較,就能發(fā)現(xiàn)題目和解題的方法存在某些的共同特點,從而可以探求出通性通法,在此基礎上進行歸納、概括、提煉,然后再指導我們去解決的類似問題.發(fā)揮多題一解的優(yōu)勢, 使重要數(shù)學方法、公式、定理的應用規(guī)律化、條理化,那么學習能達到事半功倍的效果,思維也得到了提升和發(fā)展.

例4如圖1, 點P 是△ABC 的外心, 且則=______.

思路分析本題的解法有很多種,比如可以利用特殊位置法,假設外心點P 在BC 上,然后利用兩個向量數(shù)量積的定義就可求解.如果能把非垂直關系轉化為垂直關系,利用數(shù)量積的幾何意義,則能輕松解決.

圖1

圖2

解取弦AC 的中點E,弦AB 的中點F.則

例5如圖3, O,A,B 是平面上的三點, 向量設P 為線段AB 的垂直平分線CP 上任意一點,向量若|a|=3,|b|=1,則p·(b-a)=( )

A.2 B.4 C.-2 D.-4

圖3

思路分析利用“垂直平分”的特點,轉化為數(shù)量積.因為所以=-4.

例6如圖4,在△ABC 中,已知AB = 4,AC = 2,點H,O 分別是△ABC 的垂心和外心,則=____.

圖4

思路分析連結AO、AH,則根據(jù)前例即可解得.

解題反思對以上三例進行反思,透過“現(xiàn)象”尋求“本質”,可以發(fā)現(xiàn)這類問題的共同解題思路是: 非垂直關系轉化為垂直關系,垂直關系轉化為數(shù)量積.多題一解,歸納概括出通性通法,不僅使解題能力實現(xiàn)從量到質的飛躍,而且使數(shù)學思維能力、創(chuàng)新能力得到提升和發(fā)展.

四、解題反思第四部曲:反思解題的數(shù)學思想方法,提高數(shù)學素養(yǎng)和思維品質.

數(shù)學思想方法是數(shù)學知識的高度抽象和概括,它蘊含在數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應用的過程中.恰當?shù)剡\用數(shù)學思想方法能化抽象為直觀、變繁雜為簡易、轉曲折為捷徑,體現(xiàn)數(shù)學思想方法在解題中的強大威力.當學生能自覺運用數(shù)學思想方法去解決問題時,那么他的數(shù)學素養(yǎng)和思維品質就得到了很大提高.

例7求橢圓上的點到直線的最大距離.

解法一設直線x+2y+c=0與橢圓相切于點P,聯(lián)立得:8y2+4cy+c2?16=0,由?=16c2?4×8×(c2?16)=0,得:結合圖形可知,當直線與該橢圓相切于點P時,點P到直線的距離最大,此距離等于兩條平行直線與之間的距離,故

解法二設橢圓上任一點P的坐標為(4cosθ,2sinθ),則點P到直線的距離d=因為所以dmax=所以點P到直線的距離的最大值為

解題反思解法一對點P設而不求,把點P到直線的距離轉化為兩條平行直線之間的距離,體現(xiàn)了化歸與轉化和數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.解法二利用了參數(shù)的數(shù)學思想方法,對于諸如動點P(x,y)的坐標關系不易找出時,可引入?yún)?shù),三角換元,利用三角等價變形求最值.

反思研究問題所運用的思想方法,加深對數(shù)學思想方法的認識和理解,總結使用數(shù)學思想方法的規(guī)律和技巧,促進學生在解題時自覺應用數(shù)學思想方法,提高數(shù)學素養(yǎng)和思維品質,這也是數(shù)學教育的目的之一.

結語高中數(shù)學的學習中最關鍵的環(huán)節(jié)就是悟,是善于反思.如果學生在平時學習過程中獲得正確答案就終止,不進行回顧和反思,那么學習就停留在經(jīng)驗水平,事倍功半;如果經(jīng)常運用解題反思“四部曲”,總結成功的經(jīng)驗或失敗的教訓,不僅能有效加強對知識、技能的深化理解,而且有利于訓練思維,促進知識向能力的轉化,提高學習效率,促進學生的思維在更高的層次上概括、綜合、融會貫通,進入理性認識階段.