廣東省中山市東升初級中學(xué)(528414) 胡俊

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出:“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育,不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”.當(dāng)今和未來社會的許多行業(yè),直接用到數(shù)學(xué)知識的機會并不多,更多的是受到數(shù)學(xué)思想的熏陶和啟迪.這種熏陶和啟迪便是學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到的一種發(fā)展.銘刻在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想,能長久活躍于日常業(yè)務(wù)中,對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著極大的促進作用,而化歸思想正是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想.在教學(xué)過程中,化歸思想也是分析問題和解決問題的一個重要方法之一,它貫穿于整個數(shù)學(xué)教學(xué)之中.這種思想的滲透需要我們在日常教學(xué)中不斷的對學(xué)生進行引導(dǎo).只要我們做個“有心人”,你會發(fā)現(xiàn)化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的各個方面都有著很好的體現(xiàn),它能成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的助推器.以下我就以一些實例來談?wù)勛约宏P(guān)于化歸思想的一些認識和做法.

1、依托教材,挖掘教材中蘊含的化歸思想

有理數(shù)的加法法則學(xué)習(xí),就蘊含著化歸思想.法則中就有引導(dǎo)學(xué)生先判斷符號,再轉(zhuǎn)化為小學(xué)正數(shù)加法或減法的思路.教材利用這種化歸思想能夠幫助學(xué)生更好的掌握和理解這個法則.例如(1)(-3)+(-9)= -(3+9)= -12, 這個同號相加的題目, 只需確定好符號, 本質(zhì)就是小學(xué)3+9的計算, 把有理數(shù)的加法化歸為小學(xué)正數(shù)的相加, 同理(2)(-4.7)+3.9 = -(4.7-3.9)= -0.8 本質(zhì)也是確定好符號,剩下的就是4.7-3.9 的計算,同樣是把有理數(shù)的加法化歸成為小學(xué)的減法.其實,在不少新知識學(xué)習(xí)時,我們也發(fā)現(xiàn)蘊含了很多這種新舊知識的轉(zhuǎn)化,教師注意挖掘教材中蘊含的這種化未學(xué)為已學(xué)的化歸思想,能夠幫助學(xué)生更好的理解和掌握新的知識.

2、精選例題,在知識的應(yīng)用過程中滲透化歸思想

在方程的應(yīng)用學(xué)習(xí)過程中,有著大量的化歸思想的體現(xiàn),需要教師去引導(dǎo)和發(fā)現(xiàn).

2.1 化抽象為直觀,避免理解錯誤

例1用長8 米的繩子圍成一個面積為4 平方米的長方形,如何圍這個長方形?

圖1

原題沒有配圖, 學(xué)生很容易把長設(shè)為x 米, 誤認為寬就是(8-x)米.上課時,我要求學(xué)生先畫個草圖(如圖1),這樣就能直觀觀察到有兩個長(2 個x)和兩個寬,一長一寬應(yīng)該是周長的一半,所以寬自然就應(yīng)該是(4-x)米.利用圖像我們就化抽象為直觀,最大可能性的避免一些理解上的誤區(qū).

2.2 化零散為整體,巧解面積類的問題

例2如圖2,有一塊長為8 米,寬6 米的矩形試驗地,準(zhǔn)備橫豎修兩條等寬的小路,要使空白面積為35 平方米,求小路的寬.

圖2

課堂上,我引導(dǎo)學(xué)生這樣思考: 空白區(qū)域由四塊零散矩形構(gòu)成,整個圖形的構(gòu)成情況如下: 原長方形面積=路的面積+空白區(qū)域的面積.利用平移圖形面積不變這一特點,引導(dǎo)學(xué)生把道路“靠邊站”(如右上圖),這樣四塊零散的區(qū)域就合并成了一塊矩形.問題的關(guān)鍵就得到很好的突破,以此思考方法可以擴散到多條道路的問題.這道題很巧妙的利用了化零為整思路,把問題變得更為簡潔明了.

2.3 化繁瑣為簡潔,巧解單雙循環(huán)的問題

單雙循環(huán)問題也是一元二次方程應(yīng)用題中常見的題型,從思考的復(fù)雜性來看, 單循環(huán)的確更難掌握.因此上課時,我總是先從雙循環(huán)開始.比如5 個同學(xué)互贈照片,5 人一共要贈出多少張照片? 我引導(dǎo)學(xué)生去分析,5 個同學(xué)的情況都是一樣的,我們只要考慮清楚一位同學(xué)的情況: 他需要準(zhǔn)備(5-1)張照片(不用準(zhǔn)備自己的,因為自己的照片是送給別人的).那么其余同學(xué)的照片都是和這位同學(xué)一樣,故5 人一共要準(zhǔn)備5×(5-1)張.進一步我們可以得到x 人互贈照片,總共要贈出x(x-1)張.在學(xué)生學(xué)會雙循環(huán)的基礎(chǔ)上,我引導(dǎo)學(xué)生思考單循環(huán)問題,分析單循環(huán)與雙循環(huán)的最大不同——單向和雙向,任何兩人之間發(fā)生的情況數(shù)都是1 和2 的關(guān)系, 從而得到單向問題中的情況數(shù)是雙向情況數(shù)的一半,從而得到如果x 人握手,應(yīng)該是x 人贈照片總數(shù)的一半,即共要握次手.這道例題很巧妙的利用了化繁為簡的思想,避免了單循環(huán)相對繁瑣的思考,而是利用二者的聯(lián)系,達到解決問題的目的.

2.4 化生疏為熟悉,巧妙體會化歸思想

例3如圖3,有一面積為100 平方米的長方形雞場, 雞場的一邊靠墻, 另三邊用竹籬笆圍成, 如果竹籬笆的長為30 米, 求雞場的長和寬各為多少米?

圖3

在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生可以比較容易得到這個對應(yīng)方程.接下來,我修改一下條件,得到下面例子.

有一面積為100 平方米的長方形雞場,雞場的一邊靠墻,另三邊用竹籬笆圍成,但其中一邊開了一個小門,門寬1 米,如果竹籬笆的長為29 米,求雞場的長和寬各為多少米?

圖4

這道題設(shè)計在學(xué)生已經(jīng)掌握了例3 的情況.上課時,我注重引導(dǎo)學(xué)生觀察二者圖像的差異,發(fā)現(xiàn)二者關(guān)聯(lián),指導(dǎo)孩子自己用紅筆加上門,此時的圖形就和原來那道題的圖形一樣了(如上圖),只是現(xiàn)在的圖形總共用了29 米的竹籬笆和1米的門,一共用去了30 米的材料.那么學(xué)生就可以按照上題的思路去解決問題,并列出方程.

2.5 化一般為特殊,突破學(xué)生思維瓶頸

例4廣州每日鮮水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種號稱“天然VC之王”和“生命之果”的水果——櫻桃.如果每千克盈利10元,每天可售出500kg.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn),在進貨價不變的情況下,若每千克漲價1 元,日銷售量將減少20kg.現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000 元,同時又使顧客得到實惠,那么每千克應(yīng)漲價多少元?

題目的難點在于學(xué)生很難在題中準(zhǔn)確把握漲價與每1斤的利潤及銷售量變化之間的關(guān)聯(lián),所以分析時我用了下列表格

漲一元銷量減少20斤每1 斤利潤(元)銷售量(斤)總利潤(元)原來10 500 10×500漲1 元(10+1)(500-20×1)(10+1)×(500-20×1)漲2 元(10+2)(500-20×2)(10+2)×(500-20×2)漲3 元漲x 元

學(xué)生通過填表觀察前4 組數(shù)據(jù)后,基本就能夠填出最后一組含x 的式子了,在這里為了得到含x 的式子,我們通過幾組特殊的情形,讓學(xué)生在特殊的情形中歸納出一般的情況.這種化一般為特殊的策略可以幫助學(xué)生很好找到題中這兩個相關(guān)量的具體聯(lián)系,從而相對容易的解決這類問題.隨后,我把題目進行了一次變式: 把上題中的“若每千克漲價1 元”修改成“若每千克漲價2 元”,其他部分保持不變.這個變式設(shè)計的意圖是為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)把每千克漲價2 元的問題,想辦法轉(zhuǎn)化成漲價1 元的問題,即“每千克漲價2 元,日銷售量將減少20kg”轉(zhuǎn)化為“每千克漲價1 元,日銷售量將減少10kg”的情形來處理,從而回到我們上一題思路中去.

2.6 化動態(tài)為靜態(tài),突破學(xué)生思維瓶頸

在一元二次方程的應(yīng)用中,我選用了這樣一道動點問題.

例5如圖5,已知AB = 6cm,BC =8cm, ∠B = 90°, 點P 從點A 開始沿AB邊向點B 以1cm/s 的速度移動,同時,點Q從點B 開始沿BC 邊向C 以2cm/s 的速度移動,如果點P、Q 分別從A、B 兩點同時出發(fā),經(jīng)過幾秒,△PBQ 的面積等于8cm2?

圖5

動點問題是學(xué)生最難以掌握的題型,在這種運動狀態(tài)下,學(xué)生往往會陷入思維瓶頸, 不知從何下手.教學(xué)時, 我指導(dǎo)學(xué)生化動點為靜點, 把時間靜止到x 秒時, 此時P、Q 兩點就是如圖的位置,讓學(xué)生能夠在“靜止”的狀態(tài)下,去分別得到AP = xcm, BQ = 2xcm, 再結(jié)合AB = 6cm, 進而求得BP =(6-x)cm,由直角三角形面積公式可以得到對應(yīng)的方程,最后解決問題.

教師在一些知識應(yīng)用的過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生合理使用化歸思想去分析問題,從而讓問題得到更好地解決.

3、復(fù)習(xí)小結(jié),在知識的重現(xiàn)過程中深化化歸思想

在每個章節(jié)進行復(fù)習(xí)小結(jié)的時候,都是一個很好深化數(shù)學(xué)思想方法的機會.比如: 一元二次方程解法小結(jié)時,我們可以讓學(xué)生體會一元二次方程解法中的高次轉(zhuǎn)化成低次的化歸思想;在小結(jié)函數(shù)的性質(zhì)時,我們可以讓學(xué)生體會到函數(shù)性質(zhì)由圖像而生,化抽象為直觀的化歸思想;小結(jié)二元一次方程組解法時, 我們可以讓學(xué)生體會二元轉(zhuǎn)化成一元思想;在小結(jié)圓錐側(cè)面積和圓柱側(cè)面積算法時,我們可以讓學(xué)生體會到化空間為平面的化歸思想等等.每一次復(fù)習(xí)小結(jié)就是學(xué)生進一步深化對化歸思想理解的機會.

師者,所以傳道授業(yè)解惑者也.傳道,我的理解不僅僅只是做人的道理,還應(yīng)有如何學(xué)習(xí)知識的道理,如何培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的道理.學(xué)生在不斷運用化歸思想解決問題的過程中,就能從更深的層次去理解知識點間的聯(lián)系,提高分析問題和解決問題的能力,這將有利于創(chuàng)新精神的培養(yǎng),也能有效促進學(xué)生思維能力的發(fā)展.盡管化歸思想并不是萬能的,但不可否認,它對培養(yǎng)學(xué)生思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著非常積極的作用.在教學(xué)過程中,希望教師針對不同的問題,進行縝密思考,及時燃起化歸思想這把熱情之火,使學(xué)生的解題能力和靈活性逐步得到提高,進而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進一步的升華.