廣東省廣州白云廣雅實驗學校(510430) 袁宏

在初中數學中,幾何最值問題是初中幾何中比較常見的一類問題,主要體現在求線段和最小或是線段的差最大等問題中.這一問題也是各地中考比較熱衷的考點之一.廣州市的中考也不例外,比較廣州市2017年和2018年這兩年中考試題,不難發(fā)現,在這兩年的中考試題中也是連續(xù)考到這一知識點.如2017年廣州市中考數學中的24 題和2018年廣州市中考數學中的23 題這兩道題目中的最后一問都可以歸為幾何中的最值問題,這兩個最值問題,乍一看上去不一樣,但是在解法中卻能找到相同之處.

(2017年24 題)如圖1,矩形ABCD 的對角線AC,BD相交于點O,△COD 關于CD 的對稱圖形是△CED.

圖1

(1)求證: 四邊形OCED 是菱形.

①求sin ∠EAD 的值;

②若點P 為線段AE 上一動點(不與點A 重合),連接OP,一動點Q 從點O 出發(fā),以1cm/s 的速度沿線段OP勻速運動到點P,再以1.5cm/s 的速度沿線段PA 勻速運動到點A,到達點A 后停止運動.當點Q 沿上述路線運動到點A 所需要的時間最短時,求AP 的長和點Q 走完全程所需的時間.

本題是廣州市2017年中考題24 題,是屬于壓軸題的范疇,是綜合性比較強的一道題,主要是對矩形的性質、菱形的性質與判定、三角形的中位線的性質與判定,勾股定理的應用,三角函數的應用,圖形的軸對稱以及圖形的運動和求最值問題等知識點進行了綜合性的考查.題目還考查學生的運算能力、推理能力、方程思想、轉化思想等數學思想.在當年9 萬多考生中, 本題14 分的滿分中, 僅有3.28 分的平均分.本題第一問證明四邊形OCED 是菱形應該是比較容易的一問,只需要利用菱形的判定方法證明四邊相等即可,而由已知條件也是易證四邊相等.第二問的第一小問要求∠EAD的三角函數,可以用我們經常用到的兩種方法來解決,一是需要做輔助線直接把角放在直角三角形中;二是可以采用轉化的方法,把要求的角度轉化為與之相等的角,并且這個角度是在直角三角形中, 接下來利用三角函數的定義來解決,最終求三角函數問題就轉化為求線段長度的比值問題.這一問,對于中等程度的學生來講,若是時間充足,是可以做出來的.本題的第二問的的第二小問設置的是一道有區(qū)分度的一問,本題在這一問上就會拉開差距,卡住不少學生.本題乍看上去是一個動點問題,但是深入的分析,就會發(fā)現其實是隱藏了最值問題,明面上是運動中時間的最小,但是把所需時間表示出來,t=然后結合第二問中的三角函數,把轉化為點P 到AD 邊的距離PG,就會發(fā)現時間最短問題最終轉化為在線段AE 上找一點P 使得線段OP +PG 的和最小,這就是我們開始講到的幾何中的最值問題.分析透本題,本題的解法也并不唯一,接下來給出本題第二問的一種解法.

解(2)如圖2, 由題意可得, 點Q 運動到點A 的時間為過點E作EF⊥AD, 交AD 的延長線于點F, 則EF = 3cm,所以從而過點P 作PG⊥AD 于點G, 則有過點O 作OH⊥AD 于點H, 則有而所以tmin= 3s.顯然所以綜上所述,當點Q 沿上述路線運動到點A 所需要的時間最短時,AP 的長為點Q 走完全程所需的時間為3s.

圖2

接下來我們來看2018年的23 題.

23.如圖3, 在四邊形ABCD 中, ∠B = ∠C = 90°,AB ＞CD,AD =AB+CD.

圖3

(1)利用尺規(guī)作∠ADC 的平分線DE,交BC 于點E,連接AE (保留作圖痕跡,不寫作法);

(2)在(1)的條件下,

①證明: AE⊥DE;

②若CD = 2,AB = 4,點M,N 分別是AE,AB 上的動點,求BM +MN 的最小值.

本題是廣州市2018年中考題23 題,本題屬于中等偏上難度的題目,主要考查做已知角的角平分線的尺規(guī)作圖、圖形的軸對稱、圖形的運動及其求最值問題.題目還考查了學生的運算能力、推理能力和轉化的數學思想.本題滿分12 分,在本年的8 萬多的考生中本題的平均分4.07 分.第一問的尺規(guī)作圖是比較基礎的,幾乎每年都會考查的知識點,對于一般的學生而言,只需注意細節(jié)問題,幾段弧線都能清楚的畫出來, 也就能做到這一問不失分.第二問的第一小問, 我們知道證明線段的垂直關系最常用的方法有兩種: 一是,證明角度為90°; 二是利用圖形的性質直接證明垂直關系.所以這一小問的證明方法是比較多的,我們可以根據題意利用角平分線的性質作出輔助線, 結合題目中的已知條件利用全等三角形做為輔助工具導出角度直接的關系, 最終證明∠AED = 90°, 從而證明AE⊥DE.我們也可以利用條件,延長DE 交AB 的延長線與一點F,然后證明△ADF 為等腰三角形,同時證明E 為DF 的中點,利用等腰三角形的三線合一的性質,證出AE⊥DE.學生之所以反映今年的中考數學和往年比較有些難度,除了前面的幾道題目加大抽象思維的考查和對分類討論考查外,23 題的最后一小問也是卡住學生的一道題.本小問和2017年的24 題的最后一小問一樣也是動點求線段和的最小值.這兩道題目的這兩道小題,看上去很象我們在人教版八年級上冊13.4《課題學習最短路徑問題》一節(jié)學過的知識點”將軍飲馬問題”,如圖4,即“在直線l 的同側有A,B 兩點,要求在直線l 上找一個點P,使得點P 到A,B 兩點的距離之和最短”.但是這兩道題目和“將軍飲馬問題”又不完全一樣.

圖4

將軍飲馬問題的本質是兩個定點,一個動點.但是2017年24 題的最后一問和2018年的23 題的最后一問都是一個定點兩個動點.并且通過深入分析我們可以將2018年的這題,轉化為和2017年24 題相同的解法.主要是先利用一下將軍飲馬的原理,做點B 關于直線AE 的對稱點K,這樣問題就變成,在AE,AB 上找兩個動點M、N,使得點M 到點K 和點N 的距離之和最短.這樣問題就和2017年的24 題完全一樣了, 直接利用垂線段最短, 過點K 做AB 的垂線,與AE 交于點M,與AB 交于點N,最短線段和我們已經找到,接下來就是如何計算,在考場上有一部分學生已經找到了最短線段和,但是在如何求這條線段的長度時又遇到了問題.接下來給出本題的一種解答.

解(1)尺規(guī)作圖如下圖5 所示.

圖5

圖6

(2)① 如圖6, 作EK⊥AD 交AD 于K, 連接AE.因 為DE 是∠ADC 角 分 線, ∠C = ∠DKE = 90°,所以由角分線性質可得∠EDK = ∠EDC, 所以所以△DEK△DEC (AAS).因為DC = DK,∠DEK = ∠DEC,又因為AD = AB +CD,所以AK =AD-DK =AB+CD-DK =AB,所以Rt△AEKRt△AEB(HL),所以∠AEK =∠AEB,又因為∠DEC +∠DEK +∠AEK +∠AEB = 180°, ∠DEK =∠DEC,所以∠DEK+∠AEK =∠DEC+∠AEB =90°,即∠DEA=90°,所以AE⊥DE.

這兩道中考題我們都可以歸為是下列的問題的一個應用.

如圖7, 在直線l1上求點A, 在直線l2上求點B, 使PA+PB 值最小.

圖7

圖8

此類題目的具體做法如下: (如圖8)

作點P 關于l1的對稱點P′, 作P′B⊥l2于點B, 交l1于點A.

此類作圖題的基本原理是: 用到“直線外一點和直線的所有點的連線中,垂線段最短,”即我們簡稱的“垂線段最短”.

搞清楚這類題目的原理和模型,以后遇到這類問題就很容易解決.接下來我們來看此類題目的一應用.

(2017·徐州)如圖9,將邊長為6 的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊, 展平后, 得折痕AD, BE (如圖10- ①),點O 為其交點.

(1)探求AO 到OD 的數量關系,并說明理由;

(2)如圖10- ②,若P,N 分別為BE,BC 上的動點.

①當PN+PD 的長度取得最小值時,求BP 的長度;

② 如圖10- ③, 若點Q 在線段BO 上, BQ = 1, 則QN +NP +PD 的最小值=____.

圖9

圖10

本題的第一小問比較基礎,利用等邊三角形和直角三角形的性質很容易得到結論;第二問的兩道題就是我們前面總結的模型的題目的應用,搞清楚了模型的原理,這兩問也就非常容易完成了.下面給出題目的一種詳細答案.

解(1)AO =2OD.

理由: 因為△ABC 是等邊三角形, 所以∠BAO =∠ABO = ∠OBD = 30°, 所以AO = OB. 因為BD = CD, 所以AD⊥BC, 所以∠BDO = 90°, 所以OB =2OD,OA=2OD.

(2)①如圖11, 作點D 關于BE 的對稱點D′, 過D′作D′N⊥BC 于N 交BE 于P, 則此時PN +PD 的長度取得最小值.因為BE 垂直平分DD′, 所以BD = BD′.因為∠ABC = 60°, 所以△BDD′是等邊三角形, 所以因為∠PBN = 30°,所以所以PB =

圖11

圖12

② 如圖12, 作Q 關于BC 的對稱點Q′, 作D 關于BE 的對稱點D′, 連接Q′D′,即為QN +NP +PD 的最小值.根據軸對稱的定義可知: ∠Q′BN = ∠QBN = 30°,∠QBQ′= 60°, 所以△BQQ′為等邊三角形, △BDD′為等邊三角形, 所以∠D′BQ′= 90°, 所以在Rt△D′BQ′中所以QN+NP +PD 的最小值故答案為: