廣東省龍門(mén)縣藍(lán)田民族中學(xué)(516800) 鄧?yán)^承

著名的心理學(xué)家吉爾福特指出:“人的創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維,它是創(chuàng)造思維的主要部分.”發(fā)散思維對(duì)問(wèn)題從不同角度進(jìn)行探索,從不同層面進(jìn)行分析,從正反兩極進(jìn)行比較,因而視野開(kāi)闊,思維活躍,可以產(chǎn)生出大量的獨(dú)特的新思想.發(fā)散性思維的特點(diǎn)是思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等,在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地抓住這些特性進(jìn)行訓(xùn)練與培養(yǎng),既可提高學(xué)生的邏輯思維能力,又是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的重要一環(huán).因此,在初中數(shù)學(xué)平面幾何教學(xué)中,應(yīng)加強(qiáng)對(duì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散思維的培養(yǎng).

一、運(yùn)用命題的推廣與延伸,提高學(xué)生的發(fā)散思維.

在教學(xué)過(guò)程中,要結(jié)合實(shí)際問(wèn)題,運(yùn)用命題的推廣與延伸,也就是命題推廣、答案延伸;或者命題條件不變,結(jié)論開(kāi)放,利用同題異構(gòu)的差異性,培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想的綜合能力.要求學(xué)生能從觀察、已知條件中,產(chǎn)生一系列聯(lián)想,并從聯(lián)想的結(jié)構(gòu)中得出由條件產(chǎn)出的結(jié)論,再?gòu)亩鄠€(gè)結(jié)論中,選擇有用的部分.運(yùn)用命題的推廣與延伸,只是要求學(xué)生選擇發(fā)散性思維中有用的部分, 并且通過(guò)綜合整理使問(wèn)題得到解決.這樣循環(huán)往復(fù)就能夠培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

下面結(jié)合一道小題談一談教學(xué)法的運(yùn)用.

八年級(jí)上冊(cè)《南方新課堂》(配人教版)第17 頁(yè)習(xí)題2.如圖1, AC = DB, AB = DC, 求證:△CAB△BDC.

圖1

證明由已知,AC =DB,AB =DC,BC =CB,所以△CAB△BDC (SSS).

在教學(xué)過(guò)程中,我們可以讓命題條件不變,結(jié)論開(kāi)放: 變出新題,以求達(dá)到觸類(lèi)旁通的效果,從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,提高學(xué)生的認(rèn)知能力.

變式1如圖1,AC =DB,AB =DC,求證:∠A=∠D.

證明由已知,AC =DB,AB =DC,BC =CB,所以△CAB△BDC (SSS),所以∠A=∠D.

變式2如圖1,AC =DB,AB =DC,求證: △ABO△DCO.

證明由已知, AC = DB, AB = DC, BC = CB,所以△CAB△BDC ( SSS ), 所以∠A = ∠D, 又∠AOB = ∠DOC,AB = DC, 所以△ABO△DCO(AAS).

變式3如圖1, AC = DB, AB = DC, 求證: BO =CO.

證明由已知, AC = DB, AB = DC, BC = CB,所以△CAB△BDC ( SSS ), 所以∠A = ∠D, 又∠AOB = ∠DOC,AB = DC, 所以△ABO△DCO(AAS),所以BO =CO.

變式4如圖1,AC = DB,AB = DC,求證: △OBC是等腰三角形.

證明由已知, AC = DB, AB = DC, BC = CB,所以△CAB△BDC ( SSS ), 所以∠A = ∠D, 又∠AOB = ∠DOC,AB = DC, 所以△ABO△DCO(AAS),所以BO =CO,所以△OBC 是等腰三角形.

點(diǎn)評(píng)上述變式題,其實(shí)是由圖1 引導(dǎo)出來(lái),條件一樣,所要求的結(jié)論各不相同.但其實(shí)都要通過(guò)上面的證明來(lái)搭橋通過(guò).這樣的學(xué)習(xí),要求學(xué)生能從觀察、已知條件中,產(chǎn)生一系列發(fā)散性聯(lián)想,并從聯(lián)想的結(jié)構(gòu)中得出由條件產(chǎn)出的結(jié)論,再?gòu)亩鄠€(gè)結(jié)論中,選擇有用的部分.

結(jié)合八年級(jí)學(xué)生特點(diǎn),在同樣的條件下,引導(dǎo)學(xué)生從發(fā)散性思維中收攏,擇選,歸納出有用的結(jié)論.這樣的學(xué)習(xí),循環(huán)往復(fù)就會(huì)使得學(xué)生的發(fā)散性思維得到提高.當(dāng)然,中學(xué)數(shù)學(xué)的平面幾何中,由于初中學(xué)生的年齡特點(diǎn),學(xué)生思維發(fā)散的對(duì)象和方式是多種多樣的,我們還可以讓同樣的一個(gè)命題推廣、答案延伸, 在教學(xué)過(guò)程中, 不斷激發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維,提高學(xué)生的認(rèn)知能力.

命題推廣1如圖2, O 為△ABC 內(nèi)一點(diǎn),BO 交于AC 于E,CO 交于AB 于D, BD = CE, 且BE =CD,求證: AB =AC.

圖2

證明由已知,BD =CE,且BE= CD, BC = BC, 所以△CDB△BEC ( SSS ), 所以∠BDC = ∠CEB, 那么, ∠ADC = ∠AEB.又∠A = ∠A,BE =CD,所以△ADO△AEB(AAS),所以AB =AC.

當(dāng)然,上題解法很多.參考變式題,可以有多種解法.像這樣的題目,基礎(chǔ)知識(shí)容量大,由淺入深地溝通了各章節(jié)之間的知識(shí)與方法的內(nèi)在聯(lián)系.在平時(shí)的訓(xùn)練中,多做這些題目,有利于全面系統(tǒng)地鞏固基礎(chǔ)知識(shí),提高解題能力,培養(yǎng)發(fā)散思維的靈活性.

二、運(yùn)用問(wèn)題條件的減弱和加強(qiáng),提高學(xué)生的發(fā)散思維.

人的邏輯思維能力,不是一朝一夕形成的,需要在長(zhǎng)期反復(fù)練習(xí)的過(guò)程中逐步提高.而初中學(xué)生十幾歲時(shí)正是培養(yǎng)這種能力的最佳時(shí)期,人一生中的許多能力和習(xí)慣都是在那個(gè)時(shí)候形成并且終生難改.回到同時(shí)期數(shù)學(xué)教學(xué)上,我們可以對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生積極思考,深入探索,對(duì)問(wèn)題的條件多思多疑,敢于質(zhì)疑,改變條件,結(jié)論不變,變出新題,會(huì)達(dá)到觸類(lèi)旁通的效果,從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,提高學(xué)生的認(rèn)知能力.

例子求證: 等腰三角形兩底角的平分線交點(diǎn)到底邊的兩端點(diǎn)距離相等.(如圖7)

已 知: 如 圖3, 在△ABC 中,AB = AC,BD、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線,且BD、CE 相交于點(diǎn)O,求證: OB =OC.

圖3

證明因?yàn)锳B = AC, 所以∠ABC = ∠ACB.又因?yàn)樗浴螼BC =∠OCB,所以O(shè)B =OC.

例5如圖4, 在等腰三角形ABC 中,AB =AC,BD、CE 分別是中線,且交于點(diǎn)O,求證: OB =OC.

圖4

證明因?yàn)樗訠E =CD.又因?yàn)椤螦BC=∠ACB,BC 為公共邊, 所以△DCB△EBC, 所以∠DBC = ∠ECB, 所以O(shè)B =OC.

例6如圖5,在等腰△ABC 中,AB = AC,BD、CE 分別是高且交于點(diǎn)O,求證OB =OC.

圖5

證明在Rt△BCD,Rt△CBE 中,因 為 ∠EBC = ∠DCB, BC 為 公 共 邊, 所 以Rt△BCDRt△CBE,所以∠DBC =∠ECB,所以O(shè)B =OC.

上述例題題,其實(shí)是由圖3 引導(dǎo)出來(lái),結(jié)論一樣,所要求的條件各不相同.對(duì)同一問(wèn)題從不同的角度去分析,結(jié)合不同年級(jí)的知識(shí)水平,鼓勵(lì)學(xué)生以問(wèn)題條件為出發(fā)點(diǎn),鼓勵(lì)學(xué)生關(guān)注基礎(chǔ),但不落俗套,追求盡可能與眾不同的解題思路和解題方法,有利于全面系統(tǒng)地鞏固基礎(chǔ)知識(shí),提高解題能力,培養(yǎng)發(fā)散思維的靈活性

命題推廣2如圖6, 在△ABC 中, AB = AC, BD、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線, 且BD、CE 相交于點(diǎn)求證: ∠A=60°.

證明(略.由等腰三角形的性質(zhì),結(jié)合條件和△BEC△CDB 可得.)

圖6

三、開(kāi)放條件和結(jié)論,啟發(fā)求異,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

求異思維是創(chuàng)新思維的核心,是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的關(guān)鍵.教師教學(xué)時(shí),要啟發(fā)學(xué)生從不同的角度,不同的方向去思考問(wèn)題.有目的的鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)放題目的條件和結(jié)論,標(biāo)新立異,不落俗套,追求盡可能與眾不同的解題思路和解題方法.教師還要注意引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)散思維與聚合思維綜合運(yùn)用,運(yùn)用發(fā)散尋求更多的解決問(wèn)題的方案,然后再用聚合思維在多種方案或方法中選擇出一種合理、最簡(jiǎn)便的解決方案.

例子如圖7,已知AD 是△ABC的中線, DE⊥AB 于E, DF⊥AC 于F,且BE =CF.

圖7

求證: (1)AD 是∠BAC 的平分線;

(2)AB =AC.

證明(1)由已知,AD 是△ABC的中線, 所以BD = CD.因?yàn)镈E⊥AB 于E, DF⊥AC于F, 所以∠BED = ∠CFD = 90°, 且BE = CF, 所以△DEB△DFC (SAS), 所以DE = DF, ∠BED =∠CFD, AD = AD, 所以△AED△AFD (HL), 所以∠1=∠2,所以AD 是∠BAC 的平分線.

在教學(xué)過(guò)程中,我們可以開(kāi)放題目的條件,結(jié)論,啟發(fā)學(xué)生從不同的角度,不同的方向去思考問(wèn)題.

變式題如圖8, DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分別為E、F, 請(qǐng)你從下面三個(gè)條件中任選出兩個(gè)作為已知條件,另一個(gè)為結(jié)論,推出一個(gè)正確的命題.①AB = AC; ②BD =CD; ③BE =CF.

圖8

明顯地,變式題是由例題變化得來(lái).這樣有目的的鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)放題目的條件和結(jié)論,標(biāo)新立異,不落俗套,追求盡可能與眾不同的解題思路和解題方法.例如,由 ①AB = AC,②BD = CD 作為條件得到結(jié)論 ③BE = CF; 由 ③BE =CF, ②BD =CD 作為條件得到結(jié)論 ①AB =AC;由 ①AB = AC, ③BE = CF 作為條件得到結(jié)論 ②BD =CD.

這樣,開(kāi)放性的鼓勵(lì)學(xué)生自由組合,自行解決問(wèn)題.有效的培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新能力,鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力.

總的說(shuō)來(lái),一個(gè)表意完整的平面幾何題目通常由語(yǔ)言符號(hào)和圖形符號(hào)共同組成,在我們的感官中,視覺(jué)產(chǎn)生的效果是最直觀也是最容易留下深刻印象的.在初中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中,一道寓意豐富,深刻、精美的畫(huà)形可能比一篇長(zhǎng)文更受歡迎.圖像訴諸情感,而文字具有確定性和邏輯性,兩者相輔相成,作用于學(xué)生的思維邏輯生成,能夠幫助學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用和意義.

在平面幾何的教學(xué)中,有意識(shí)地同圖異構(gòu),在同一個(gè)圖形中條件不變要求推導(dǎo)出多種結(jié)論;或者,在同一個(gè)圖形中條件多變要求推導(dǎo)出共同的結(jié)論,這樣就溝通了各種知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系,使已學(xué)知識(shí)成系統(tǒng);同樣地,在同一個(gè)圖形中,創(chuàng)造出種種情景,即可培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想習(xí)慣,又利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還可幫助學(xué)生克服某種思維的定勢(shì),豐富學(xué)生分析時(shí)的指向,提高發(fā)散思維的流暢性,從而鍛煉,培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維能力.