虞帥晶 汪鵬飛 王思思 李健富 何俊煒

摘? ?要：就2018年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題“汽車總裝線的配置問題”為背景，針對該問題提出了一種汽車自動化流水裝配模型，并結(jié)合啟發(fā)式算法，獲得了符合條件且較好的可行解。

關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃? LINGO? 啟發(fā)式算法

中圖分類號：TH138? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）12（a）-0106-02

目前，汽車裝配的工藝流程均由機(jī)器自動實(shí)現(xiàn)，汽車生產(chǎn)公司會依據(jù)市場需求以及銷量情況確定生產(chǎn)的汽車類型。由于工藝流程的制約和質(zhì)量控制以及成本考慮，汽車在裝配時需要對車輛進(jìn)行多種要求，例如品牌的順序和數(shù)量、配置、驅(qū)動、動力、顏色切換等。

2018年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽D題“汽車總裝線的配置問題”就是以工廠中汽車裝配為背景提煉出來的，其宗旨是能夠使用數(shù)學(xué)算法和模型設(shè)計出符合條件又合理的裝配順序。為了便于算法設(shè)計，題中對實(shí)際的生產(chǎn)過程進(jìn)行了簡化，例如裝配的誤差、裝配效率等因素均默認(rèn)完美。

1? 問題梳理

題中設(shè)定某汽車公司生產(chǎn)由品牌A1和A2、配置（B1、B2、B3、B4、B5和B6）、動力分汽油和柴油、驅(qū)動含兩驅(qū)和四驅(qū)、顏色（黑、白、藍(lán)、黃、紅、銀、棕、灰、金）五種屬性確定的汽車，且每天固定裝配汽車460輛，其中白班、晚班各12h內(nèi)分別裝配230輛汽車。該公司的汽車裝配流程主要分為兩部分，即總裝線和噴涂線。根據(jù)題中對總裝和噴涂作業(yè)的多種要求，問題梳理如下：

影響生產(chǎn)成本的因素有：

（1）兩批四驅(qū)汽車之間間隔的兩驅(qū)的裝配數(shù)量在5～9輛;

（2）兩批柴油汽車之間間隔的汽油的裝配數(shù)量在5～9輛;

（3）同一噴涂線上，黑色與其他顏色汽車之間的切換;

（4）同一品牌下，不同配置車輛之間的切換。

為了滿足裝配條件且降低生產(chǎn)成本，在裝配時先將兩批四驅(qū)之間的兩驅(qū)汽車數(shù)量設(shè)定至少10輛;為控制黑色與其它顏色的切換次數(shù)，黑色汽車連續(xù)排列數(shù)量盡量接近70 輛;盡量保證每天晚班最后一批裝配車輛可以與第二天白班第一批裝配車輛一致，以此減少銜接;藍(lán)色、黃色、紅色安排在總裝線的奇數(shù)位置，金色安排在偶數(shù)位置。

為了描述在位置i上汽車的五種屬性，設(shè)影響因素為品牌a（i），驅(qū)動b（i），動力c（i），顏色d（i），配置e（i）。

其中，

為了保證黑色汽車能夠連續(xù)排列，現(xiàn)作如下設(shè)定：

可以發(fā)現(xiàn)，在其它約束條件均滿足時，通過控制以上四種情況出現(xiàn)的次數(shù)可以有效降低裝配的生產(chǎn)成本。因此，本文將（1）、（2）、（3）和（4）造成的這四種代價總和作為此模型的目標(biāo)函數(shù)，建立基礎(chǔ)模型。

不同驅(qū)動的汽車異常間隔數(shù)量（5～9輛）的代價設(shè)第n1次發(fā)生兩批四驅(qū)汽車之間間隔的兩驅(qū)數(shù)量為5～9輛時相應(yīng)代價為An1，則因素（1）造成的總代價為;設(shè)第n2次發(fā)生兩批柴油汽車之間間隔的汽油數(shù)量為5～9輛時相應(yīng)代價為Bn2，則因素（2）造成的總代價為;

（黑色與其它顏色切換時的代價設(shè)每次黑色汽車與其它顏色的汽車切換時相應(yīng)代價為C，總切換次數(shù)為N1，則因素（3）造成的總代價為CN1，其中

（iv）不同配置車輛之間的切換代價

不同配置間切換對于生產(chǎn)成本的總代價為N2。假設(shè)不同配置切換一次所需的代價為E，第i位置上汽車配置為ej（i），則不同配置切換的總代價為

為了保證每天白班和晚班都是按照先A1后A2的品牌裝配順序，且裝配當(dāng)天兩種品牌各一半數(shù)量的汽車，同時除黑色外對其它顏色的汽車噴涂要求需滿足的前提下，現(xiàn)給出如下約束條件：

①四驅(qū)汽車連續(xù)裝配數(shù)量不超過2輛，即：

設(shè)S1n為第n次發(fā)生兩批四驅(qū)汽車之間間隔的兩驅(qū)數(shù)量為5～9輛時這批兩驅(qū)汽車的數(shù)量，則令

②柴油汽車連續(xù)裝配數(shù)量不超過2輛，即：

設(shè)S2n為第n次發(fā)生兩批柴油汽車之間間隔的汽油汽車的數(shù)量為5～9輛時這批汽油汽車的數(shù)量，則令

③因?yàn)樗{(lán)、黃、紅三種顏色的噴涂只能在C1線上進(jìn)行，金色的噴涂只能在C2線上，其他顏色的噴涂可以在任意一條噴涂線上進(jìn)行.

另外，第i位置的汽車對噴涂線的選擇為D（i），即：若d5（i）=1，d6（i）=1或d7（i）=1時，則D（i）=1，。若d8（i）=1，則D（i）=0，即

④假設(shè)連續(xù)排列的黑色汽車中的第一輛汽車為，由于黑色汽車要連續(xù)排列50～70輛，當(dāng)i滿足時，則有

且

此外，為了保證黑色與其他顏色間的總切換次數(shù)N1盡可能少，在安排黑色汽車裝配順序時采用品牌銜接、白晚班銜接、兩天間銜接的模式。

⑤對不同類型的汽車，其數(shù)目需滿足總量要求，即：

2? 模型的求解與分析

運(yùn)用LINGO軟件，結(jié)合啟發(fā)式算法，通過對題中附件數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算分析，得到每天裝配過程中的黑色與其它顏色切換次數(shù)的最小值為4次，不同配置之間切換次數(shù)最小值為15次。其中，7d里兩批四驅(qū)之間兩驅(qū)數(shù)量為5～9輛出現(xiàn)次數(shù)的較優(yōu)值為4次，分別在9月19日和9月20日各出現(xiàn)了兩次異常情況，兩批柴油汽車之間出現(xiàn)汽油汽車數(shù)量為5～9輛出現(xiàn)次數(shù)的較優(yōu)值為0次。

3? 結(jié)語

本文中考慮顏色切換對于生產(chǎn)成本的影響時，該模型只考慮了黑色與其它顏色之間的切換代價，如果把模型推廣到考慮黑色和其它顏色之間的切換與其它顏色之間的切換這兩部分代價，模型的可靠性將進(jìn)一步提高。此改進(jìn)方案會在后續(xù)研究中進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)

[1] 姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].4版.北京：高等教育出版社，2011.

[2] 《運(yùn)籌學(xué)》教材編寫組.運(yùn)籌學(xué)[M].3版.北京：清華大學(xué)出版社，2005.