廣東省廣州市番禺區(qū)石樓中學(511447) 梁振強

數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象,用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構(gòu)建模型、用數(shù)學知識解決問題的素養(yǎng),是學生高中階段必備的數(shù)學核心素養(yǎng)之一.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》明確指出：“數(shù)學核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),是在數(shù)學學習的過程中逐步形成的.高中階段數(shù)學核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學分析.”其中,更是強化了數(shù)學建模思想的核心地位,并以主題的形式要求學生參與數(shù)學建模活動與數(shù)學探究活動的全過程,使學生認識數(shù)學模型在科學、社會、工程技術諸多領域的作用,提升實踐能力、增強創(chuàng)新意識和科學精神.

筆者認為,要想提高學生核心素養(yǎng),首先要提高學生數(shù)學建模能力.如何在高中數(shù)學課堂教學中滲透數(shù)學模型核心素養(yǎng)能力的培養(yǎng),值得一線數(shù)學教師實踐與思考.下面以“建立數(shù)列模型解決實際問題”的教學為依托,淺談一下學生核心素養(yǎng)的根植與培養(yǎng).

一、教學內(nèi)容與目標

1.教材和學情分析

本節(jié)課是對普通高中新課程標準實驗教科書《數(shù)學5》(人教A版)第二章《數(shù)列》中2.2節(jié)—2.5節(jié)內(nèi)容進行整合而形成的一節(jié)實際應用課,主要內(nèi)容是通過對日常生活中的兩個實例分析,得到等差、等比兩種數(shù)列模型以及建立數(shù)列模型的具體步驟.數(shù)列作為一種特殊的函數(shù),是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學模型,等差、等比數(shù)列又是數(shù)列中最特殊的兩種數(shù)列,在日常生活中有著廣泛的應用.本節(jié)課是關于等差、等比數(shù)列及其求和公式實際應用的一節(jié)整合課,是本章內(nèi)容的升華,目的是讓學生感受這兩種數(shù)列模型應用的廣泛性,并能夠利用它們解決生活中的實際問題.

學習本節(jié)課之前,學生已經(jīng)對等差、等比數(shù)列的概念及其前n項和公式有了較深的認識,這對建立這兩種數(shù)列模型做好了知識儲備.從認知結(jié)構(gòu)方面,大量的數(shù)學思維方法如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等已為學生所習知.但在分析問題的實際背景、明確問題的復雜條件等方面還有一定的困難,尤其是用函數(shù)的背景和研究方法來認識、研究數(shù)列,還沒有形成思維習慣,所以“建?！焙汀敖饽！眱刹綄W生來說還是個難點.

2.教學目標

要解決日常生活中有關數(shù)列的問題,必須從實際情境中抽象出相應的數(shù)列模型,進而轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題求解.基于以上學情分析,本節(jié)課的教學目標如下：

(1)學會解決有關等差數(shù)列模型的實際問題.

(2)學會解決有關等比數(shù)列模型的實際問題.

(3)明確建立數(shù)列模型的步驟.

教學重點：建立數(shù)列模型的步驟,解決有關等差、等比數(shù)列模型的實際問題.

教學難點：從生活背景中提煉出相關的數(shù)量關系,將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,構(gòu)造等差、等比數(shù)列模型,并加以解決.

二、主體教學過程設計

(一)回顧舊知

問題1 等差、等比數(shù)列相關知識的復習.

問題2解決應用問題的思路.

教師活動：提問與引導；

設計意圖讓學生更加熟悉數(shù)列建模的必備知識并懂得數(shù)學知識的系統(tǒng)性與關聯(lián)性.

(二)實例情境1

假設某市2013年新建住房400萬平方米,其中有250萬平方米是中低價房,預計在今后的若干年內(nèi),該市每年新建住房面積平均比上一年增長8%.另外,每年新建住房中,中低價房的面積比上一年增加50萬平方米.那么,到哪一年底,

(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2013為累計第一年)將首次不少于4750萬平方米?

(2)當年建造的中低價房的面積占建造住房面積的比例首次大于85%?

設計意圖以實際生活實例讓學生感受建立兩種特殊數(shù)列模型的方法和步驟.

問題1 描述中低價房的關鍵信息是什么?它的數(shù)學實質(zhì)是什么?如何把第(1)問轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題?

教師活動：多重設問引導學生提煉關鍵信息,板書建模解模步驟；

設計意圖使學生很自然地從實際情境中抽象出等差數(shù)列模型并明確“建模”步驟：設→建→解→答.

問題2 描述新建住房的關鍵信息是什么?它的數(shù)學實質(zhì)是什么?如何把第(2)問轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題?

教師活動：提問并組織學生交流解題過程；

設計意圖培養(yǎng)學生從實際情境中抽象出等比數(shù)列模型的能力.

問題3 解模中的不等式“n+4＞6.8×1.08n-1”能否用數(shù)形結(jié)合的方法?

教師活動：用幾何畫板演示.

設計意圖通過數(shù)形結(jié)合的方法使學生進一步理解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

問題4“每年新建住房面積平均比上一年增長8%”和“中低價房的面積比上一年增加50萬平方米”的數(shù)學實質(zhì)是什么?

設計意圖強化學生“識?！奔础白リP鍵信息”的能力,總結(jié)建模的步驟：識模→建?！饽！鹉?從而突出重點.

(三)實例情境2

某家庭打算在2013年的年底花40萬購一套商品房,為此,計劃從2007年初開始,每年初存入一筆購房專用款,使這筆款到2013年底連本帶息共有40萬元.如果每年的存款數(shù)額相同,依年利息2%并按復利計算,問每年應該存入多少錢?(1.027≈1.1487)

設計意圖實踐建模方法過程.

問題5 題目中的關鍵信息是什么?它的數(shù)學實質(zhì)又是什么?

設計意圖訓練學生抓關鍵信息、分析關鍵信息的能力.

問題6 從2007年到2013年共存了幾次錢?每次存的x萬元到2013年底的本利和分別是多少?如何把這一問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題?

設計意圖明確數(shù)列中的計數(shù)問題,親歷建立等比數(shù)列模型的方法,重視解模答模的過程,從而突破難點.

(四)目標檢測

目標檢測題1某市一家商場的新年最高促銷獎設立了兩種領獎方式,獲獎者可以選擇2000元的獎金,或者從12月20日到第二年的1月1日,每天到該商場領取獎品,第1天領取的獎品的價值為100元,第2天為110元,以后逐天增加10元,哪種領獎方式獲獎者受益更多?你會選擇哪種方式?

目標檢測題2一名體育愛好者為了觀看2016年里約熱內(nèi)盧奧運會,從2010年起,每年的5月1日到銀行存入a元一年期定期儲蓄,假定年利率為p(利息稅已扣除)且保持不變,并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期,到2016年5月1日將所有存款和利息全部取出,則可取出的錢的總數(shù)是( )

設計意圖了解建立等差數(shù)列、等比數(shù)列模型的達成情況.

三、教學思考

數(shù)學建模素養(yǎng)作為主要的核心素養(yǎng),加強其在平常教學中的滲透尤為重要.教師要善于發(fā)揮教學的主導和引領作用,促進數(shù)學建模素養(yǎng)的落實.新頒布的高中數(shù)學課程標準修訂稿將數(shù)學建模素養(yǎng)劃分為三個水平,并且有十分詳細的描述,如了解熟悉的數(shù)學模型的實際背景及其數(shù)學描述,了解數(shù)學模型中的參數(shù)、結(jié)論的實際含義；能夠在熟悉的情境中發(fā)現(xiàn)問題并轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,知道數(shù)學問題的價值與作用；能夠在綜合的情境中,運用數(shù)學思維進行分析,發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學關系,提出數(shù)學問題等.教師的教學活動應基于數(shù)學核心素養(yǎng)而進行,特別是針對三個水平展開對學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

(一)豐富課堂閱讀材料,為學生的數(shù)學建模思想應用奠基.教師應為學生提供豐富的閱讀材料,讓學生多接觸實際生活中的數(shù)學問題,了解所熟悉的數(shù)學模型的實際背景及其數(shù)學描述,從而為學生用數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題積累經(jīng)驗.

(二)組織學生開展數(shù)學建?；顒?培養(yǎng)學生的數(shù)學能力.通過開展數(shù)學建?；顒?可以讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程,進而體會數(shù)學建模的思想和方法.在數(shù)學建模活動中,通過討論式的教學方法,讓學生參與到教學環(huán)節(jié)中,充分發(fā)揮學生的主體作用.

(三)從日常教學抓起,促進學生的綜合發(fā)展.在教學中不斷引導學生會學習、會思考、會應用,能夠用數(shù)學的思維方式去觀察、分析和表示實際問題中的各種度量關系和位置關系,從紛繁復雜的具體問題中抽象出數(shù)學信息并建立數(shù)學模型,進而達到用數(shù)學模型來解決實際問題,使數(shù)學建模意識成為學生思考問題和解決問題的習慣,在數(shù)學教學中進行主題式教學設計和實施,讓數(shù)學建模素養(yǎng)真正落地.

四、結(jié)語

重視培養(yǎng)學生數(shù)學建模的能力已成為數(shù)學教育界的共識,在新課程改革的穩(wěn)步推進中,數(shù)學建模將逐步成為數(shù)學教育者關注的重點議題.通過數(shù)學模型教學案例探析教學活動,學生的數(shù)學運算、邏輯思維能力、數(shù)學分析等幾個核心素養(yǎng)在模型建構(gòu)中也會有充分的體現(xiàn),應用數(shù)學的意識肯定能得到逐步增強.可以說六大核心素養(yǎng)是蘊含在模型建構(gòu)教學的整個過程中的,因此應當重視學生的數(shù)學建模能力,發(fā)展學生的應用意識,從而將學生的數(shù)學核心素養(yǎng)落實到位.