王霖萱

(貴州大學(xué)，貴州 貴陽(yáng) 550025)

1 引 言

隨著控制理論的發(fā)展，傳統(tǒng)的魯棒控制理論廣泛應(yīng)用于實(shí)際工程系統(tǒng)中，但是這樣的系統(tǒng)在一定程度上忽略了系統(tǒng)的性能魯棒性，尤其在對(duì)輸出響應(yīng)有嚴(yán)格時(shí)域指標(biāo)要求的情況下，可能達(dá)不到要求。

為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，Mcfarlane和Glover[1]結(jié)合魯棒控制理論與回路成形思想，提出了H∞回路成形的算法。該方法通過(guò)權(quán)函數(shù)的選擇改善開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奇異值頻率特性，從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)性能要求，并利用對(duì)規(guī)范化互質(zhì)因式攝動(dòng)系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定分析，得到具有魯棒穩(wěn)定性的控制器。相對(duì)于其他魯棒控制方法，特別是傳統(tǒng)的H∞混合靈敏度方法，H∞回路成形方法因其能同時(shí)滿(mǎn)足控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性要求和性能要求，且迭代次數(shù)少，吸引了大量學(xué)者的關(guān)注。之后，Glover分析了回路成形方法中的穩(wěn)定邊界指標(biāo)εmax與SISO系統(tǒng)的相角裕度、幅值裕度之間的關(guān)系[2]，使穩(wěn)定邊界指標(biāo)的意義更加工程化。Bernstein和Haddad[3]提出H2/H∞混合控制，結(jié)合系統(tǒng)的最優(yōu)性能和魯棒性，通過(guò)求解最優(yōu)控制器使系統(tǒng)獲得較好的動(dòng)態(tài)特性。

本文為了進(jìn)一步提高控制系統(tǒng)的整體性能，引入二自由度控制思想，并將其與魯棒回路成形H∞LSDP控制算法相結(jié)合[4]，通過(guò)改進(jìn)控制器設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)，優(yōu)化控制算法，降低魯棒控制的保守性，以滿(mǎn)足航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)高性能要求。

2 H∞LSDP的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法

H∞LSDP是在閉環(huán)系統(tǒng)中引入前置和后置補(bǔ)償對(duì)象的方法，對(duì)開(kāi)環(huán)奇異值進(jìn)行整形，以使最終的閉環(huán)系統(tǒng)滿(mǎn)足期望的性能指標(biāo)。在低頻段，使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奇異值盡可能大，以保證系統(tǒng)良好的輸入跟蹤能力和抗干擾能力；在高頻段，使系統(tǒng)開(kāi)環(huán)奇異值盡可能小，以增強(qiáng)抑制噪聲的能力。而后，對(duì)“被整形”對(duì)象實(shí)施魯棒鎮(zhèn)定。本文的設(shè)計(jì)方法是在回路成形方法基礎(chǔ)上進(jìn)行分析的。

H∞LSDP控制結(jié)構(gòu)[4]如圖1所示。控制器的結(jié)構(gòu)采用前饋加反饋的方法。其中，控制器的反饋部分用來(lái)滿(mǎn)足魯棒穩(wěn)定性和抑制擾動(dòng)的需求，除了只引入一個(gè)前置補(bǔ)償權(quán)函數(shù)W外，所采用的方式與傳統(tǒng)的回路整形設(shè)計(jì)方法類(lèi)似。Tref稱(chēng)為系統(tǒng)的參考模型，在控制中額外引入前置濾波器，以強(qiáng)制閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)跟蹤參考模型Tref的響應(yīng)。ρ是一標(biāo)量參數(shù)，在優(yōu)化過(guò)程中，可以通過(guò)增大其取值以獲得更好的模型匹配性能，但是這樣做的同時(shí)會(huì)降低系統(tǒng)的魯棒性。

圖1 H∞LSDP控制結(jié)構(gòu)

根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，可得系統(tǒng)的分塊矩陣傳遞函數(shù)為：

為把該設(shè)計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的控制問(wèn)題，可以定義如下的廣義被控對(duì)象：

綜上所述，H∞LSDP控制器設(shè)計(jì)步驟為：

(1)對(duì)控制結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，即對(duì)輸入輸出進(jìn)行排序，盡可能將對(duì)象對(duì)角化。這樣做的目的是為了簡(jiǎn)化前置和后置補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)。

(2)根據(jù)傳統(tǒng)的回路成形方法，選擇合適的前置補(bǔ)償器W1和后置補(bǔ)償器W2，得到期望的開(kāi)環(huán)奇異值曲線(xiàn)。之后計(jì)算魯棒穩(wěn)定邊界，保證系統(tǒng)具有合適的不確定攝動(dòng)。

(3)選擇期望的從控制指令到被控輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tref。Tref為對(duì)角矩陣，以使系統(tǒng)盡可能解耦。

(4)把標(biāo)量參數(shù)ρ設(shè)置為大于1的較小值，通常在1～3之間就能滿(mǎn)足要求。

(5)對(duì)于被整形對(duì)象Gs=WpGW1、期望的響應(yīng)Tref以及標(biāo)量參數(shù)ρ，求解標(biāo)準(zhǔn)H∞優(yōu)化問(wèn)題，得到控制器K。

(6)對(duì)所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行仿真，如果仿真效果欠佳，重新調(diào)整ρ、Tref的值以獲得滿(mǎn)意的控制效果。

3 控制器設(shè)計(jì)

以某型渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)[5]為例，設(shè)計(jì)H∞LSDP控制器。首先選取設(shè)計(jì)工況點(diǎn)，以H=11km，Ma=1.5，相對(duì)轉(zhuǎn)速為96%的飛行條件為例，建立發(fā)動(dòng)機(jī)的三變量歸一化小偏離狀態(tài)空間模型：

其中，x=[NLNH]T，y=[Tt4PRSMF]T，u=[WFBA8VGV]T。

首先需要對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行奇異值分析，分析結(jié)果如圖2所示。

圖2 原對(duì)象的奇異值

從圖2可以看出，原對(duì)象低頻段的奇異值基本接近1，系統(tǒng)對(duì)輸入的跟蹤能力很差，因此要對(duì)控制對(duì)象進(jìn)行整形，需要一個(gè)額外的低頻增益，以得到良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤能力和擾動(dòng)抑制能力。基于此，前置補(bǔ)償器的權(quán)函數(shù)選為積分器，即WP=I3/s；原系統(tǒng)的高頻部分的響應(yīng)衰減速率達(dá)到了20dB/十倍頻程，基本可以達(dá)到抑制高頻干擾的能力。因此，后置補(bǔ)償器的權(quán)函數(shù)可以簡(jiǎn)單地選為W2=I3。

被整形對(duì)象Gs=W2GW1，其中W1=WpWa。利用與Wp串聯(lián)在一起的常值權(quán)函數(shù)Wa，將奇異值排列在期望的帶寬范圍內(nèi)。Wa是一個(gè)有效的常值解耦器。整形后的奇異值如圖3所示。

圖3 整形后的奇異值

按照步驟(2)，計(jì)算系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定邊界，具體如下：

1.4142<γ<2.8814

選擇參考模型Tref，使其能反映發(fā)動(dòng)機(jī)的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)特性。

選擇參數(shù)ρ=1，利用常規(guī)的H∞方法求解控制器K。之后對(duì)設(shè)計(jì)出的控制器的性能進(jìn)行仿真驗(yàn)證，不斷調(diào)整上述變量的值，以獲得最佳控制效果。最終選定ρ=1.5，采用γ迭代，得到γ=2的次優(yōu)控制器。

4 仿真算例

對(duì)上述H∞LSDP解耦控制器進(jìn)行數(shù)字仿真。

(1)系統(tǒng)的解耦能力以及跟蹤參考指令能力，具體如圖4所示。圖中給出了線(xiàn)性被控對(duì)象模型參考輸入的階躍響應(yīng)。由圖可知，系統(tǒng)解耦很好，只有不到10%的相互作用，且系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間<1s，能很好地跟蹤給定的參考輸入。

(2)對(duì)結(jié)構(gòu)不確定性的魯棒性：利用該控制器對(duì)附近工作點(diǎn)的模型進(jìn)行控制，選取其中的一個(gè)工作點(diǎn)H=11km，Ma=1.2，將此控制器應(yīng)用于該模型，得到的控制結(jié)果如圖5所示。

(a)r1的階躍響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的控制輸入

(b)r2的階躍響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的控制輸入

(c)r3的階躍響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的控制輸入圖4 參考輸入的階躍響應(yīng)

(a)r1的階躍響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的控制輸入

(b)r2的階躍響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的控制輸入

(c)r3的階躍響應(yīng)以及對(duì)應(yīng)的控制輸入圖5 模型攝動(dòng)不確定性仿真

對(duì)比圖4和圖5可知，當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)的狀態(tài)攝動(dòng)范圍在允許的范圍內(nèi)時(shí)，控制系統(tǒng)仍能保證快速地響應(yīng)參考指令，并且系統(tǒng)的解耦能力依然很好，這說(shuō)明系統(tǒng)能魯棒鎮(zhèn)定結(jié)構(gòu)化攝動(dòng)。

5 結(jié) 論

本文深入研究了將二自由度控制與H∞LSDP控制理論相結(jié)合的魯棒控制算法，詳細(xì)描述了設(shè)計(jì)步驟和過(guò)程。為了使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤能力和擾動(dòng)抑制能力，設(shè)計(jì)了合適的前饋和后饋補(bǔ)償器。將該方法引入到航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制中，并設(shè)計(jì)相對(duì)應(yīng)的魯棒回路成形二自由度控制器。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)解耦性良好，且系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能均滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求，同時(shí)系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)不確定性也具有良好的魯棒性。