王霖萱

(貴州大學(xué)，貴州 貴陽 550025)

1 引 言

隨著控制理論的發(fā)展，傳統(tǒng)的魯棒控制理論廣泛應(yīng)用于實際工程系統(tǒng)中，但是這樣的系統(tǒng)在一定程度上忽略了系統(tǒng)的性能魯棒性，尤其在對輸出響應(yīng)有嚴格時域指標(biāo)要求的情況下，可能達不到要求。

為了克服這個缺點，Mcfarlane和Glover[1]結(jié)合魯棒控制理論與回路成形思想，提出了H∞回路成形的算法。該方法通過權(quán)函數(shù)的選擇改善開環(huán)傳遞函數(shù)的奇異值頻率特性，從而實現(xiàn)系統(tǒng)的閉環(huán)性能要求，并利用對規(guī)范化互質(zhì)因式攝動系統(tǒng)的魯棒鎮(zhèn)定分析，得到具有魯棒穩(wěn)定性的控制器。相對于其他魯棒控制方法，特別是傳統(tǒng)的H∞混合靈敏度方法，H∞回路成形方法因其能同時滿足控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性要求和性能要求，且迭代次數(shù)少，吸引了大量學(xué)者的關(guān)注。之后，Glover分析了回路成形方法中的穩(wěn)定邊界指標(biāo)εmax與SISO系統(tǒng)的相角裕度、幅值裕度之間的關(guān)系[2]，使穩(wěn)定邊界指標(biāo)的意義更加工程化。Bernstein和Haddad[3]提出H2/H∞混合控制，結(jié)合系統(tǒng)的最優(yōu)性能和魯棒性，通過求解最優(yōu)控制器使系統(tǒng)獲得較好的動態(tài)特性。

本文為了進一步提高控制系統(tǒng)的整體性能，引入二自由度控制思想，并將其與魯棒回路成形H∞LSDP控制算法相結(jié)合[4]，通過改進控制器設(shè)計結(jié)構(gòu)，優(yōu)化控制算法，降低魯棒控制的保守性，以滿足航空發(fā)動機控制系統(tǒng)高性能要求。

2 H∞LSDP的系統(tǒng)設(shè)計方法

H∞LSDP是在閉環(huán)系統(tǒng)中引入前置和后置補償對象的方法，對開環(huán)奇異值進行整形，以使最終的閉環(huán)系統(tǒng)滿足期望的性能指標(biāo)。在低頻段，使系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的奇異值盡可能大，以保證系統(tǒng)良好的輸入跟蹤能力和抗干擾能力；在高頻段，使系統(tǒng)開環(huán)奇異值盡可能小，以增強抑制噪聲的能力。而后，對“被整形”對象實施魯棒鎮(zhèn)定。本文的設(shè)計方法是在回路成形方法基礎(chǔ)上進行分析的。

H∞LSDP控制結(jié)構(gòu)[4]如圖1所示?？刂破鞯慕Y(jié)構(gòu)采用前饋加反饋的方法。其中，控制器的反饋部分用來滿足魯棒穩(wěn)定性和抑制擾動的需求，除了只引入一個前置補償權(quán)函數(shù)W外，所采用的方式與傳統(tǒng)的回路整形設(shè)計方法類似。Tref稱為系統(tǒng)的參考模型，在控制中額外引入前置濾波器，以強制閉環(huán)系統(tǒng)的輸出響應(yīng)跟蹤參考模型Tref的響應(yīng)。ρ是一標(biāo)量參數(shù)，在優(yōu)化過程中，可以通過增大其取值以獲得更好的模型匹配性能，但是這樣做的同時會降低系統(tǒng)的魯棒性。

圖1 H∞LSDP控制結(jié)構(gòu)

根據(jù)結(jié)構(gòu)圖，可得系統(tǒng)的分塊矩陣傳遞函數(shù)為：

為把該設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的控制問題，可以定義如下的廣義被控對象：

綜上所述，H∞LSDP控制器設(shè)計步驟為：

(1)對控制結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化，即對輸入輸出進行排序，盡可能將對象對角化。這樣做的目的是為了簡化前置和后置補償器的設(shè)計。

(2)根據(jù)傳統(tǒng)的回路成形方法，選擇合適的前置補償器W1和后置補償器W2，得到期望的開環(huán)奇異值曲線。之后計算魯棒穩(wěn)定邊界，保證系統(tǒng)具有合適的不確定攝動。

(3)選擇期望的從控制指令到被控輸出的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tref。Tref為對角矩陣，以使系統(tǒng)盡可能解耦。

(4)把標(biāo)量參數(shù)ρ設(shè)置為大于1的較小值，通常在1～3之間就能滿足要求。

(5)對于被整形對象Gs=WpGW1、期望的響應(yīng)Tref以及標(biāo)量參數(shù)ρ，求解標(biāo)準(zhǔn)H∞優(yōu)化問題，得到控制器K。

(6)對所設(shè)計的控制器進行仿真，如果仿真效果欠佳，重新調(diào)整ρ、Tref的值以獲得滿意的控制效果。

3 控制器設(shè)計

以某型渦扇發(fā)動機[5]為例，設(shè)計H∞LSDP控制器。首先選取設(shè)計工況點，以H=11km，Ma=1.5，相對轉(zhuǎn)速為96%的飛行條件為例，建立發(fā)動機的三變量歸一化小偏離狀態(tài)空間模型：

其中，x=[NLNH]T，y=[Tt4PRSMF]T，u=[WFBA8VGV]T。

首先需要對航空發(fā)動機進行奇異值分析，分析結(jié)果如圖2所示。

圖2 原對象的奇異值

從圖2可以看出，原對象低頻段的奇異值基本接近1，系統(tǒng)對輸入的跟蹤能力很差，因此要對控制對象進行整形，需要一個額外的低頻增益，以得到良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤能力和擾動抑制能力?；诖?，前置補償器的權(quán)函數(shù)選為積分器，即WP=I3/s；原系統(tǒng)的高頻部分的響應(yīng)衰減速率達到了20dB/十倍頻程，基本可以達到抑制高頻干擾的能力。因此，后置補償器的權(quán)函數(shù)可以簡單地選為W2=I3。

被整形對象Gs=W2GW1，其中W1=WpWa。利用與Wp串聯(lián)在一起的常值權(quán)函數(shù)Wa，將奇異值排列在期望的帶寬范圍內(nèi)。Wa是一個有效的常值解耦器。整形后的奇異值如圖3所示。

圖3 整形后的奇異值

按照步驟(2)，計算系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定邊界，具體如下：

1.4142<γ<2.8814

選擇參考模型Tref，使其能反映發(fā)動機的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)特性。

選擇參數(shù)ρ=1，利用常規(guī)的H∞方法求解控制器K。之后對設(shè)計出的控制器的性能進行仿真驗證，不斷調(diào)整上述變量的值，以獲得最佳控制效果。最終選定ρ=1.5，采用γ迭代，得到γ=2的次優(yōu)控制器。

4 仿真算例

對上述H∞LSDP解耦控制器進行數(shù)字仿真。

(1)系統(tǒng)的解耦能力以及跟蹤參考指令能力，具體如圖4所示。圖中給出了線性被控對象模型參考輸入的階躍響應(yīng)。由圖可知，系統(tǒng)解耦很好，只有不到10%的相互作用，且系統(tǒng)的響應(yīng)時間<1s，能很好地跟蹤給定的參考輸入。

(2)對結(jié)構(gòu)不確定性的魯棒性：利用該控制器對附近工作點的模型進行控制，選取其中的一個工作點H=11km，Ma=1.2，將此控制器應(yīng)用于該模型，得到的控制結(jié)果如圖5所示。

(a)r1的階躍響應(yīng)以及對應(yīng)的控制輸入

(b)r2的階躍響應(yīng)以及對應(yīng)的控制輸入

(c)r3的階躍響應(yīng)以及對應(yīng)的控制輸入圖4 參考輸入的階躍響應(yīng)

(a)r1的階躍響應(yīng)以及對應(yīng)的控制輸入

(b)r2的階躍響應(yīng)以及對應(yīng)的控制輸入

(c)r3的階躍響應(yīng)以及對應(yīng)的控制輸入圖5 模型攝動不確定性仿真

對比圖4和圖5可知，當(dāng)發(fā)動機的狀態(tài)攝動范圍在允許的范圍內(nèi)時，控制系統(tǒng)仍能保證快速地響應(yīng)參考指令，并且系統(tǒng)的解耦能力依然很好，這說明系統(tǒng)能魯棒鎮(zhèn)定結(jié)構(gòu)化攝動。

5 結(jié) 論

本文深入研究了將二自由度控制與H∞LSDP控制理論相結(jié)合的魯棒控制算法，詳細描述了設(shè)計步驟和過程。為了使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)態(tài)跟蹤能力和擾動抑制能力，設(shè)計了合適的前饋和后饋補償器。將該方法引入到航空發(fā)動機控制中，并設(shè)計相對應(yīng)的魯棒回路成形二自由度控制器。仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)解耦性良好，且系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性和魯棒性能均滿足設(shè)計要求，同時系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)不確定性也具有良好的魯棒性。