陳 凌 張賢明 劉 飛 歐陽(yáng)平 賈艷艷

1.重慶工商大學(xué)廢油資源化技術(shù)與裝備工程研究中心，重慶，400067 2.重慶大學(xué)機(jī)械工程博士后科研流動(dòng)工作站，重慶，400044 3.重慶工商大學(xué)制造裝備機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)與控制重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶，400067

0 引言

近年來(lái)，隨著鎂合金在汽車、航空航天等領(lǐng)域的大量應(yīng)用，鎂合金的疲勞研究得到了廣泛的關(guān)注。目前，主要的研究集中在材料的低、高周疲勞行為[1-3]及稀土元素、熱處理等工藝對(duì)材料的性能強(qiáng)化[4-6]等方面，對(duì)鎂合金非對(duì)稱載荷加載的疲勞研究較少。實(shí)際工況中，鎂合金部件多承受非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力載荷的作用，除疲勞載荷外，部件還承受平均應(yīng)力導(dǎo)致的棘輪效應(yīng)的影響。針對(duì)鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的疲勞，LIN等[7-10]的研究主要集中在材料非對(duì)稱循環(huán)應(yīng)力載荷下的棘輪效應(yīng)及其影響因素，缺乏相應(yīng)工況下的疲勞損傷演化和壽命預(yù)測(cè)的研究。

材料的低周疲勞損傷演化和壽命預(yù)測(cè)是相應(yīng)零部件強(qiáng)度設(shè)計(jì)、優(yōu)化和安全評(píng)估的基礎(chǔ)，目前關(guān)于鎂合金的低周疲勞損傷演化和壽命預(yù)測(cè)的研究較少，主要以經(jīng)典的Miner線性累積損傷理論、Manson-Coffin公式、Basquin公式及其在此基礎(chǔ)上的修正[11-14]為主，缺乏對(duì)鎂合金非對(duì)稱載荷加載的低周疲勞損傷演化和壽命預(yù)測(cè)的研究。

筆者在室溫環(huán)境下，通過鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B非對(duì)稱應(yīng)力載荷的低周疲勞試驗(yàn)，基于連續(xù)損傷力學(xué)，分別選取彈性模量、等效模量、總應(yīng)變能密度以及平均應(yīng)變的變化作為損傷變量，對(duì)鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞損傷演化進(jìn)行分析，建立了相應(yīng)的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型。為驗(yàn)證各損傷變量對(duì)應(yīng)的壽命模型預(yù)測(cè)效果，選取各壽命段采樣數(shù)據(jù)，用上述模型進(jìn)行了鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)。

1 低周疲勞損傷演化和壽命預(yù)測(cè)

1.1 損傷變量與低周疲勞損傷演化

損傷變量是一種用于描述材料內(nèi)部損傷狀態(tài)變化及其對(duì)材料力學(xué)作用影響的內(nèi)部狀態(tài)變量。合適的損傷變量可以反映材料的低周疲勞損傷演化過程。對(duì)于應(yīng)力控制的低周疲勞來(lái)說(shuō)，通常將彈性模量E的變化作為損傷變量：

DE=1-EN/E0

(1)

式中，DE為以彈性模量的變化為損傷變量定義的材料損傷；EN為材料循環(huán)過程中的彈性模量；E0為材料初始無(wú)損傷時(shí)的彈性模量。

在式(1)的基礎(chǔ)上，用等效模量Eeq代替彈性模量，可得損傷變量：

DE,eq=1-Eeq,N/Eeq,0

(2)

Eeq=(σmax-σmin)/(εmax-εmin)

(3)

式中，DE,eq為以等效模量的變化為損傷變量定義的材料損傷；Eeq,N為材料循環(huán)過程中的等效模量；Eeq,0為材料初始無(wú)損傷時(shí)的等效模量；σmax、σmin分別為每一循環(huán)過程中的最大應(yīng)力和最小應(yīng)力；εmax、εmin分別為每一循環(huán)過程中的最大應(yīng)變和最小應(yīng)變。

選擇彈性模量或等效模量的變化作為損傷變量，對(duì)循環(huán)軟化的材料較為適用。對(duì)于循環(huán)硬化的材料，在循環(huán)初始快速硬化階段，選擇彈性模量或等效模量的變化反映疲勞損傷的效果較差。對(duì)于非對(duì)稱應(yīng)力加載下的疲勞損傷，彈性模量或等效模量不能很好地反映平均應(yīng)力導(dǎo)致的棘輪效應(yīng)的影響。

為反映非對(duì)稱應(yīng)力加載過程中棘輪效應(yīng)以及累積塑性變形對(duì)疲勞損傷的影響，選擇總應(yīng)變能密度ΔWt或平均應(yīng)變?chǔ)舖的變化作為損傷變量：

DΔWt=1-ΔWt,0/ΔWt,N

(4)

Dεm=εm,N/εm,f

(5)

式中，DΔWt為以總應(yīng)變能密度的變化為損傷變量定義的材料損傷；Dεm為以平均應(yīng)變的變化為損傷變量定義的材料損傷；ΔWt，0為材料初始無(wú)損傷時(shí)的總應(yīng)變能密度；ΔWt,N為材料循環(huán)過程中的總應(yīng)變能密度；εm,N為材料循環(huán)過程中的平均應(yīng)變；εm,f為材料斷裂時(shí)的平均應(yīng)變。

對(duì)于式(4)所定義的損傷變量，總應(yīng)變能密度為彈性應(yīng)變能密度和塑性應(yīng)變能密度之和[15]：

ΔWt=ΔWe+ΔWp

(6)

(7)

其中，ΔWe為彈性應(yīng)變能密度，用來(lái)反映非對(duì)稱載荷下平均應(yīng)力的影響；|Δσ|為名義應(yīng)力最大值與最小值的差值；σm為平均應(yīng)力；ΔWp為塑性應(yīng)變能密度，用來(lái)反映累積塑性變形的影響，由循環(huán)過程中遲滯徊線所圍面積得到。

材料初始無(wú)損傷時(shí)的塑性累積為零，因此，對(duì)于式(4)所定義的損傷變量，材料初始無(wú)損傷時(shí)的總應(yīng)變能密度取彈性應(yīng)變能密度。

式(5)定義的損傷變量以平均應(yīng)變的變化來(lái)綜合反映棘輪效應(yīng)和塑性變形的累積，物理意義明確，同時(shí)測(cè)量較為容易。

通過上述各式定義的損傷變量，可計(jì)算得到各循環(huán)周次鎂合金材料的材料損傷，通過材料損傷隨循環(huán)周次的變化即可分析鎂合金材料的低周疲勞損傷演化規(guī)律。

1.2 低周疲勞損傷及壽命預(yù)測(cè)模型

(8)

式中，D為材料損傷變量。

對(duì)損傷動(dòng)力學(xué)方程(式(8))進(jìn)行積分，積分上下限D(zhuǎn)N=0=D0，DN=Nf=1 ，可得材料的低周疲勞損傷模型：

D=1-(1-D0)(1-N/Nf)k

(9)

式中，D0為材料常數(shù)，代表材料初始循環(huán)時(shí)的損傷值。

在實(shí)際的疲勞試驗(yàn)中，疲勞試驗(yàn)機(jī)采用漸進(jìn)保護(hù)式加載，即加載幅度以Δσ/4、Δσ/2、3Δσ/4、Δσ的應(yīng)力歷程進(jìn)行，因此，實(shí)際疲勞工況中材料初始循環(huán)的損傷除材料本身的初始損傷外，還包括前期加載幅度小于|Δσ|時(shí)造成的材料損傷。

在式(9)基礎(chǔ)上，聯(lián)立式(1)、式(2)、式(4)、式(5)，可得不同損傷變量下的低周疲勞預(yù)測(cè)壽命模型：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中，(Nf)E、(Nf)E,eq、(Nf)ΔWt、(Nf)εm分別代表以彈性模量、等效模量、總應(yīng)變能密度和平均應(yīng)變的變化作損傷變量所得壽命預(yù)測(cè)模型的疲勞壽命。

基于式(10)～式(13)，根據(jù)循環(huán)周次和對(duì)應(yīng)的彈性模量、等效模量、總應(yīng)變能密度以及平均應(yīng)變等疲勞參數(shù)，即可得到相應(yīng)的疲勞壽命，進(jìn)而考察不同損傷變量下基于材料低周疲勞損傷模型的壽命模型預(yù)測(cè)效果，為相應(yīng)工況下鎂合金材料的損傷評(píng)估和壽命預(yù)測(cè)提供理論依據(jù)。

2 試驗(yàn)結(jié)果及討論

試驗(yàn)在電液伺服疲勞試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行，試驗(yàn)溫度為25 ℃，試驗(yàn)材料為鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B，試驗(yàn)材料室溫下的力學(xué)性能和化學(xué)成分見文獻(xiàn)[15]。試驗(yàn)用疲勞試樣為光滑圓棒試樣，參照GB/T 15248-2008[18]進(jìn)行制作。試驗(yàn)控制模式為應(yīng)力控制，控制波形為三角波，采用脈動(dòng)循環(huán)(應(yīng)力比為0)，加載頻率為3～5 Hz。具體的試驗(yàn)數(shù)據(jù)和試驗(yàn)結(jié)果見表1、表2，試驗(yàn)裝置和試樣尺寸見圖1，其中，σa為名義應(yīng)力幅，Δσ為各義應(yīng)力范圍。

圖1 疲勞試驗(yàn)裝置及試樣Fig.1 Equipment and specimen in fatigue experiments

表1 鑄造鎂合金AZ91D低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果(25 ℃)

表2 變形鎂合金AZ31B低周疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果(25 ℃)

圖2、圖3分別為鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B的彈性模量、等效模量隨壽命分?jǐn)?shù)N/Nf的變化曲線，其中，彈性模量通過材料每循環(huán)應(yīng)力-應(yīng)變曲線(遲滯徊線)的彈性段獲得，等效模量的計(jì)算公式為式(3)。由圖2、圖3可知：①鑄造鎂合金AZ91D的彈性模量、等效模量隨循環(huán)周次的增加而增大，材料的彈性模量、等效模量在循環(huán)后期才出現(xiàn)下降趨勢(shì)，表明鑄造鎂合金AZ91D在循環(huán)過程中出現(xiàn)循環(huán)硬化；當(dāng)循環(huán)周次接近疲勞壽命時(shí)，材料才出現(xiàn)軟化趨勢(shì)。②變形鎂合金AZ31B的彈性模量、等效模量在初始循環(huán)階段隨循環(huán)周次的增加而降低，之后隨循環(huán)周次的增加而增大；材料的彈性模量、等效模量在循環(huán)后期才出現(xiàn)下降趨勢(shì)，表明變形鎂合金AZ31B經(jīng)初始階段的循環(huán)軟化后，在循環(huán)過程中呈現(xiàn)循環(huán)硬化，當(dāng)循環(huán)周次接近疲勞壽命時(shí)，材料才出現(xiàn)軟化趨勢(shì)。

圖2 鎂合金彈性模量隨壽命分?jǐn)?shù)變化Fig.2 Change of elastic modulus of magnesium alloys with life fraction

圖3 鎂合金等效模量隨壽命分?jǐn)?shù)變化Fig.3 Change of equivalent modulus of magnesium alloys with life fraction

由式(1)、式(2)可知，將彈性模量或等效模量的變化作為損傷變量，對(duì)循環(huán)硬化階段的材料損傷進(jìn)行描述時(shí)會(huì)出現(xiàn)損傷為負(fù)的情況，不能反映材料的損傷情況。AZ91D、AZ31B在大部分循環(huán)階段內(nèi)均呈現(xiàn)循環(huán)硬化，因此，利用彈性模量或等效模量的變化作為損傷變量不適用于材料AZ91D、AZ31B非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞損傷描述，相對(duì)應(yīng)的壽命預(yù)測(cè)模型也不適用于材料非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)。

圖4、圖5分別為鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B的總應(yīng)變能密度、平均應(yīng)變隨壽命分?jǐn)?shù)N/Nf的變化曲線，其中，總應(yīng)變能密度的計(jì)算公式為式(6)。由圖4、圖5可知：鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B的總應(yīng)變能密度、平均應(yīng)變隨循環(huán)周次的增加而增大，當(dāng)循環(huán)周次接近疲勞壽命時(shí)，總應(yīng)變能密度和平均應(yīng)變的增大趨勢(shì)明顯提高?？倯?yīng)變能密度和平均應(yīng)變的變化趨勢(shì)與材料的損傷演化過程較為一致，即材料損傷隨著循環(huán)周次的增加逐漸累積，當(dāng)損傷的累積到達(dá)一定程度后導(dǎo)致材料快速失效。

圖4 鎂合金總應(yīng)變能密度隨壽命分?jǐn)?shù)變化圖Fig.4 Change of total strain energy density of magnesium alloys with life fraction

圖5 鎂合金平均應(yīng)變隨壽命分?jǐn)?shù)變化圖Fig.5 Change of mean strain of magnesium alloys with life fraction

根據(jù)式(4)、式(5)定義的損傷變量公式，分別計(jì)算不同壽命分?jǐn)?shù)下以總應(yīng)變能密度及平均應(yīng)變的變化作為損傷變量時(shí)的材料損傷，可得鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞損傷變化曲線，如圖6、圖7所示。由圖6、圖7可知，以總應(yīng)變能密度及平均應(yīng)變的變化作為損傷變量時(shí)，材料AZ91D、AZ31B的疲勞損傷隨壽命分?jǐn)?shù)的變化具有典型的連續(xù)材料疲勞損傷演化特征，即材料的疲勞損傷隨循環(huán)周次的增加而增加，在循環(huán)的穩(wěn)定階段，疲勞損傷的增加速率較小且變化不大，當(dāng)循環(huán)周次接近疲勞壽命時(shí)，材料的損傷累積接近材料失效的臨界值，材料的疲勞損傷迅速增加，并快速導(dǎo)致材料失效。因此，用總應(yīng)變能密度或平均應(yīng)變的變化作為損傷變量來(lái)描述鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞損傷演化是可行的。

以式(4)、式(5)定義的總應(yīng)變能密度及平均應(yīng)變的變化作為損傷變量，對(duì)式(9)所示的損傷模型進(jìn)行擬合，可得鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B各工況下的低周疲勞損傷模型，圖8為代表性擬合圖，擬合結(jié)果見表1、表2。

圖6 以DΔWt=1-ΔWt，0/ΔWt，N為損傷變量的鎂合金低周疲勞損傷變化曲線Fig.6 Low cycle fatigue damage change curves of magnesium alloys by defining damage variable as DΔWt=1-ΔWt，0/ΔWt，N

圖7 以Dεm=εm，N/εm，f為損傷變量的鎂合金低周疲勞損傷變化曲線Fig.7 Low cycle fatigue damage change curves of magnesium alloys by defining damage variable as Dεm=εm，N/εm，f

圖8 鎂合金低周疲勞損傷模型擬合圖Fig.8 Fitting curves of low cycle fatigue damage models for magnesium alloys

由圖8可以看出：選取總應(yīng)變能密度或平均應(yīng)變的變化作為損傷變量，基于式(9)所示損傷模型所得的損傷曲線與損傷點(diǎn)較符合。由于變形鎂合金的組織結(jié)構(gòu)相對(duì)于鑄造鎂合金更為致密、均勻，對(duì)連續(xù)損傷力學(xué)理論的符合程度更好，因此，變形鎂合金AZ31B的損傷模型擬合曲線與損傷點(diǎn)的符合程度較鑄造鎂合金AZ91D好。另外，相較于總應(yīng)變能密度，選取平均應(yīng)變的變化作為損傷變量擬合所得損傷曲線與實(shí)測(cè)損傷點(diǎn)的符合程度更好。

將表1、表2所得損傷模型的材料常數(shù)k和初始損傷D0代入式(12)、式(13)，即可得到以總應(yīng)變能密度及平均應(yīng)變的變化為損傷變量的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型。分別選取表1、表2中試驗(yàn)試樣中1/4壽命分?jǐn)?shù) (Nf/4)、1/2壽命分?jǐn)?shù)(Nf/2)和3/4壽命分?jǐn)?shù)(3Nf/4)附近的采樣點(diǎn)的循環(huán)周次及相應(yīng)的總應(yīng)變能密度和平均應(yīng)變，利用式(12)、式(13)所示模型進(jìn)行材料疲勞壽命的預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)效果如圖9所示。由圖9可知：①以總應(yīng)變能密度或平均應(yīng)變的變化作為損傷變量時(shí)，低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型均具有較好的預(yù)測(cè)效果，所有的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果在2倍誤差帶以內(nèi)，絕大部分的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果在1.5倍誤差帶以內(nèi)；②相較于總應(yīng)變能密度，以平均應(yīng)變的變化作為損傷變量的預(yù)測(cè)效果更好，更多的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果處于1.5倍誤差帶以內(nèi)。

圖9 鎂合金低周疲勞壽命預(yù)測(cè)效果圖Fig.9 Low cycle fatigue prediction effects of magnesium alloys

由表1、表2可知：選取總應(yīng)變能密度的變化作為損傷變量擬合所得的損傷模型材料常數(shù)k隨載荷水平的變化規(guī)律較亂，選取平均應(yīng)變的變化作為損傷變量擬合所得損傷模型的材料常數(shù)k隨載荷水平的增加而增大。對(duì)于非對(duì)稱載荷應(yīng)力載荷下的低周疲勞來(lái)說(shuō)，棘輪效應(yīng)和塑性變形累積之間存在相互耦合，單純采用總應(yīng)變能密度不能很好地反映兩者之間的耦合，導(dǎo)致?lián)p傷模型的材料常數(shù)k隨載荷水平的變化規(guī)律較亂。棘輪效應(yīng)、塑性變形累積及其相互耦合均會(huì)造成平均應(yīng)變的增大，采用平均應(yīng)變的變化作為損傷變量可以綜合反映棘輪效應(yīng)和塑性變形累積的影響，故損傷模型的材料常數(shù)k與載荷水平的對(duì)應(yīng)關(guān)系較好。因此，相較于總應(yīng)變能密度，選取平均應(yīng)變的變化作為損傷變量所得的損傷曲線具有更好的代表性，可以較好地反映載荷對(duì)疲勞損傷的影響。

3 結(jié)論

(1)以總應(yīng)變能密度或平均應(yīng)變的變化作為損傷變量，能夠反映非對(duì)稱應(yīng)力加載過程中棘輪效應(yīng)以及累積塑性變形對(duì)疲勞損傷的影響，可用來(lái)描述鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞損傷演化。受限于材料的循環(huán)特性，將彈性模量或等效模量的變化作為損傷變量，不合適描述鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞損傷。

(2)基于連續(xù)損傷力學(xué)，用總應(yīng)變能密度及平均應(yīng)變的變化作為損傷變量表示損傷，建立了鎂合金非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型。使用該模型進(jìn)行了鑄造鎂合金AZ91D和變形鎂合金AZ31B室溫環(huán)境非對(duì)稱應(yīng)力載荷下的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)模型對(duì)不同壽命段的采樣數(shù)據(jù)均具有較好的預(yù)測(cè)效果，所有的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果在2倍誤差帶以內(nèi)，絕大部分的壽命預(yù)測(cè)結(jié)果在1.5倍誤差帶以內(nèi)。

(3)相較于總應(yīng)變能密度，選取平均應(yīng)變的變化作為損傷變量所得損傷曲線具有更好的代表性，可以較好地反映載荷對(duì)疲勞損傷的影響，與實(shí)測(cè)損傷點(diǎn)的符合程度更好，同時(shí)，以平均應(yīng)變的變化作為損傷變量的低周疲勞壽命預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)效果也更好。