牛恒泰 康 敏,2 王興盛 楊 軍

1.南京農業(yè)大學工學院,南京，210031 2.南京農業(yè)大學灌云現(xiàn)代農業(yè)裝備研究院，灌云，222200

0 引言

在實際應用中，漸進多焦點鏡片需要根據(jù)配鏡者眼睛的度數(shù)進行專門設計，故鏡片面型設計方法是該領域的主要研究方向之一。漸進多焦點鏡片的設計可按硬式設計和軟式設計來進行分類，具體的設計方法包括WINTHROP[1]的方法、STEELE[2]的方法、HSU等的B樣條方法[3]以及LOOS等的變分數(shù)值方法[4]等，傳統(tǒng)的設計方法多為采用復變函數(shù)計算對曲面進行設計，其計算過程比較復雜。正是由于漸進多焦點曲面(progressive-addition lenses, PAL)面型的復雜性，其加工也面臨著較大的挑戰(zhàn)。目前的鏡片加工方法主要包括注塑成形法和數(shù)控加工法。數(shù)控加工方法中，慢刀伺服車削技術具有較高的面型加工精度及加工效率，廣泛應用于非球面光學元件的加工[5]，因此可將慢刀伺服車削技術用于漸進多焦點曲面的加工。

本文提出一種漸進多焦點曲面鏡片的參數(shù)化幾何建模的設計方法，它可以控制光焦度和像散變化、過渡區(qū)范圍以及近視區(qū)遠視區(qū)的面型和大小。該方法基于已知的曲率曲線的離散化處理，能夠基于佩戴者的習慣和特點設計合適的漸進多焦點曲面鏡片，通過改變近視區(qū)和遠視區(qū)的尺寸和其他參數(shù)，如過渡區(qū)長度等，能夠實現(xiàn)漸進多焦點曲面眼鏡的便捷定制。此外，本文提出了一種離散形式曲面的刀觸點生成方法，將慢刀伺服車削用于漸進多焦點曲面加工。

1 漸進多焦點曲面設計方法

漸進多焦點曲面(progressive-addition lenses, PAL)沒有回轉對稱性，屬于空間自由曲面，不能簡單通過代數(shù)方程來表達,可以劃分為四部分：近視區(qū)、遠視區(qū)、過渡區(qū)和像散區(qū)，如圖1所示。其中，近視區(qū)、遠視區(qū)和中間過渡區(qū)為主要成像區(qū)。遠視區(qū)的屈光度P為定值并且較?。贿h視區(qū)和近視區(qū)之間為過渡區(qū)，屈光度均勻變化，過渡區(qū)的屈光度的變化范圍定義為ADD；近視區(qū)的屈光度也為定值，且屈光度相對較大，定義為P+ADD。

圖1 漸進多焦點曲面鏡片示意圖Fig.1 Schematic diagram of progressive-addition lenses

本文的漸進多焦點曲面設計方法主要由曲面參數(shù)設置和曲面三維模型構建兩部分組成。

1.1 曲面參數(shù)設置

漸進多焦點曲面設計建模過程涉及到的參數(shù)可以分為幾何參數(shù)(遠視區(qū)、近視區(qū)的尺寸和位置)和光學參數(shù)。主要幾何參數(shù)見圖2、表1。由過點D1、D2、D3的二次曲線圍成的區(qū)域為遠視區(qū)，由過點N1、N2、N3的二次曲線圍成的區(qū)域為近視區(qū)。用于漸進多焦點曲面建模的光學參數(shù)見表2。

圖2 幾何參數(shù)定義Fig.2 Definition of geometric parameters

表1 幾何參數(shù)的含義

表2 光學參數(shù)的含義

注：D為光焦度的單位屈光度，1D=1 m-1

在透鏡的折射率n=1.523情況下，已知中心厚度CT，就可得出前表面的曲率半徑RF、遠視區(qū)的曲率半徑RD和近視區(qū)的曲率半徑RN：

(1)

式中，cD、cN分別為遠視區(qū)和近視區(qū)的曲率。

此外，通過改變前表面的曲率半徑可以對近視區(qū)和遠視區(qū)進行調整，也可以通過分別引入遠視區(qū)和近視區(qū)的非球面系數(shù)KD和KN，以減少軸外散光。

1.2 曲面三維模型構建

光焦度和像散是評價漸進多焦點曲面鏡片光學特性的2個主要參數(shù)。為確保中間過渡區(qū)的光焦度連續(xù)變化以及較低的像散，若要使像散為零，則該區(qū)域的主曲率必須相等[6]。鏡片的光焦度與折射率以及表面平均曲率成比例，像散和兩主曲率之差成比例。光焦度是衡量鏡片偏折光線能力的物理量，單位為屈光度D(1D=1 m-1)，需要和佩戴人的眼睛度數(shù)匹配。屈光度與焦距成反比，焦距越小，屈光度越大；焦距越大，屈光度越小。像散單位同樣為屈光度，但像散會造成成像不清晰，需要盡量避免[7]。故漸進多焦點曲面的最終設計目標可以概括為以下三點：①漸進多焦點曲面上各點的光焦度應該光滑過渡，沒有像跳現(xiàn)象；②主要成像區(qū)的遠視區(qū)和近視區(qū)的光焦度應該和理論值盡量一致；③漸進多焦點曲面上各點的像散應該盡量小，遠視區(qū)、近視區(qū)和中間過渡區(qū)的像散最好為零，將鏡片的像散盡量往像散區(qū)集中。

為滿足上述條件，本文提出如下的建模過程。

(1)遠視區(qū)模型構建。遠視區(qū)為一中心在D2的非球面，可通過等距取點獲得離散形式的曲面，每點(x，y)的z坐標為

(2)

(2)近視區(qū)模型構建。近視區(qū)為一中心在N2的非球面，可通過等距取點獲得離散形式的曲面，每點(x，y)的z坐標為

(3)

圖3中，兩條白色拋物線劃分了近視區(qū)、過渡區(qū)和遠視區(qū)，上述步驟(1)、步驟(2)的建模結果即為圖3所示的近視區(qū)和遠視區(qū)。

圖3 漸進多焦點曲面模型Fig.3 PAL model

(3)過渡區(qū)模型構建。需先通過曲率設計構建一組二次曲線，通過在曲線上等距取點獲得離散形式的面型。過渡區(qū)曲線上點(x，y)的z坐標為

(4)

式中，(Xci，Yci)是過渡區(qū)第i條曲線中點坐標，i=1，2，…，k；k為中間區(qū)域曲線的總數(shù)目；Rci是點(Xci，Yci)處曲率半徑；Kci是點(Xci，Yci)處非球面系數(shù)。

過渡區(qū)的二次曲線由以下三點插值的方法構建：如圖4所示，過渡區(qū)每條插值曲線需要先確定2個插值點然后進行插值，第一點通過下式

(5)

在點D2和點N2的連線上的等距取點得到。第二和第三點是通過特定半圓上的等弧長取點得到的，該半圓在遠視區(qū)和近視區(qū)的邊界曲線中間，圓心分別為D1N1和D3N3連線的中點。

圖4 過渡區(qū)曲線三點插值Fig.4 Curves interpolation of the intermediate area

為了獲得連續(xù)的變化光學性能，過渡區(qū)的曲線的曲率必須嚴格控制，曲率ci為[8]

t=i/k

(6)

過渡區(qū)域的非球面系數(shù)為

Kci=-2(KN-KD)t3+3(KN-KD)t2+KD

(7)

過渡區(qū)曲線構建結果如圖5所示。

圖5 過渡區(qū)曲線(k=101)Fig.5 Curves in intermediate area(k=101)

漸進多焦點曲面鏡片設計的最后一個主要的步驟是將3個主要視覺區(qū)域進行組合，圖3顯示了3個區(qū)域組合后的結果。

2 曲面光學特性分析

漸進多焦點鏡片的佩戴者主要靠主成像區(qū)進行成像，通過連續(xù)變化的光焦度實現(xiàn)全程空間清晰的視功能。一般情況下，漸進多焦點曲面鏡片厚度較小，而且鏡片一側表面為漸進面，另一側表面為各點曲率恒定的球面或非球面，因此漸進多焦點曲面鏡片的光焦度P和像散S為

(8)

式中，n為鏡片材料的折射率，n=1.53;K1、K2分別為曲面上一點的2個主曲率。

主曲率計算公式為

(9)

式中，e、f、g為曲面第一基本形式系數(shù)；L、M、N為曲面第二基本形式的系數(shù)[9]。

本文設計的漸進面為離散形式的曲面，在曲率計算時用差分代替了微分。

根據(jù)方程系數(shù)與根的關系，有

(10)

圖6、圖7所示為本文建模方法設計的漸進多焦點曲面與基底球面疊加后的光焦度與像散分布，可以看出，該曲面的光焦度過渡均勻且主成像區(qū)域的光焦度數(shù)值與設計一致，且主成像區(qū)域的像散為零，像散區(qū)域像散變化較小且不影響主成像區(qū)功能，符合設計要求。

圖6 光焦度分布Fig.6 Distribution of surface power

圖7 像散分布Fig.7 Distribution of surface astigmatic power

進一步分析表明，過渡區(qū)的曲率方程(式(6))能夠控制像散分布：當采用更高階多項式時，像散的變化更為平滑，但像散的最大值將變得更大。過渡區(qū)曲率導數(shù)的值會影響像散的值，曲率導數(shù)減小，像散最大值將會增大。過渡區(qū)曲率導數(shù)與沿著過渡區(qū)的光焦度導數(shù)成正比，即與沿垂直方向的像散導數(shù)相關[7]。另外，設計參數(shù)中的ADD取值也會影響像散值，ADD增大，像散增大，最大像散的比值等于ADD之比；遠視區(qū)或近視區(qū)面積增大，最大像散增加。

3 漸進多焦點曲面的慢刀伺服車削

慢刀伺服(slow tool servo，STS)車削技術是一種超精密車削方法，STS機床通過X、Z、C三軸聯(lián)動可以高精度、高效率地加工包括漸進多焦點曲面在內的各類復雜自由曲面。STS車削過程中，刀具與加工曲面的切點稱為刀觸點，刀觸點生成方法的優(yōu)劣決定了刀具路徑規(guī)劃的精度，是曲面加工的關鍵。

3.1 刀觸點生成

對于連續(xù)曲面，確定每一刀觸點坐標(x,y)后，該點的z值可由曲面方程z=f(x,y)計算[10]，但對于離散形式的漸進多焦點曲面，每一刀觸點坐標(x,y)與該點的z值并無明確的函數(shù)關系，因而不易通過方程計算。本文基于離散曲面的矩陣數(shù)據(jù)，通過對每個生成的刀觸點坐標(x,y)處進行局部數(shù)據(jù)Zernike多項式擬合得到(x,y)處的z值，從而得到刀觸點數(shù)據(jù)。如圖11所示，按下式即可計算出XY平面的刀觸點坐標：

(11)

式中，af為C軸每轉一周刀具的X向進給量；θ=jΔθ，j=1，2，…，Q；Q為刀觸點總數(shù)；Δθ為相鄰兩刀觸點與原點連線投影至XY平面的夾角。

假設給定m×n階離散曲面網格點數(shù)據(jù)矩陣，則只需要計算出每個刀觸點(xc，yc)對應的zc值即可得到刀觸點軌跡。圖8中，工件半徑R=20 mm，af=1 mm/r，Δθ=5°，Q=1 441。

圖8 XY平面刀觸點分布Fig.8 Cutting contact points in XY plane

首先，在XY平面上找出網格數(shù)據(jù)點中距第j個刀觸點(xc，yc)最近的數(shù)據(jù)點(x,y)，圖9中距離刀觸點p最近的網格數(shù)據(jù)點為點5，取點5及附近的8個點數(shù)據(jù)對(xc，yc)進行局部擬合。

圖9 局部擬合XY平面示意圖Fig.9 Schematic diagram of local fitting in XY plane

Zernike多項式擁有良好的數(shù)學性能，有無窮多項而且均線性無關[11]，選用Zernike多項式對(xc，yc)進行局部區(qū)域擬合。Zernike多項式在直角坐標系中的表示為

(12)

式中，m為多項式項數(shù)；ai為多項式第i項系數(shù)；Zi為多項式第i項。

表3列出了極坐標系下和直角坐標系下的前6項具體表達式?？砂催@些數(shù)字式對數(shù)據(jù)點進行局部曲面擬合。如果離散曲面為細分曲面或者點集曲面，可類似地取刀觸點周圍點以及合適的多項式項數(shù)進行擬合。

使用Zernike多項式的前6項進行局部區(qū)域擬合，有

表3 Zernike多項式前6項表達式

上式可簡記為

UA=Z

Ugh=Zh(xg,yg)

(13)

g=1，2，…，9h=0，1，…，5

式(21)中，方程個數(shù)大于未知數(shù)個數(shù)，因此是超定方程組，只有最小二乘解，若直接求解該方程組，可能因為階數(shù)使最小二乘法形成的正則方程系數(shù)矩陣出現(xiàn)“病態(tài)”，而使得求解得到的Zernike多項式系數(shù)矩陣A不穩(wěn)定。本文采用Householder方法對系數(shù)矩陣U進行QR分解[12]，將其正交三角化后再求最小二乘解，從而快速穩(wěn)定地求出系數(shù)矩陣A，從而求出第j個刀觸點(xc,yc)處的局部擬合曲面方程：

z=fi(x,y)

(14)

將刀觸點(xc，yc)數(shù)據(jù)代入式(14)即可求得對應的zc。至此，通過給定m×n矩陣的離散曲面網格點數(shù)據(jù)就可以計算出第j個刀觸點(xc，yc)對應的zc，從而得到所有刀觸點的坐標。為獲取該方法的擬合誤差，將連續(xù)曲面離散為網格數(shù)據(jù)，通過該方法生成的Z坐標值與準確值之間的差值稱為擬合誤差，圖10顯示了擬合誤差分布，可以看出，選取擬合點越多，越難反映局部面型，擬合誤差越大，故本文取9個數(shù)據(jù)點進行擬合。

圖10 誤差范圍與擬合數(shù)據(jù)點數(shù)關系Fig.10 Relation between error ranges and the number of fitting points

獲取刀觸點數(shù)據(jù)后，通過刀具形狀補償即可獲得用以數(shù)控加工的刀位點數(shù)據(jù)，對刀位點進行軌跡插值后，可實現(xiàn)漸進面的STS車削。

3.2 實驗及分析

本文利用實驗室自主研制的STS數(shù)控車削實驗裝置進行加工實驗，加工曲面為上文構造的遠視區(qū)屈光度為3D、近視區(qū)屈光度為5D的漸進多焦點曲面，鏡片直徑d=60 mm，工件材料為樹脂PMMA。實驗加工藝參數(shù)如下：單圈橫向進給速度af=0.5 mm/r，切削深度ap=0.01 mm，離散角Δθ=5°，刀尖圓弧半徑Rt=0.2 mm，采用Z向刀具補償。圖11、圖12所示為采用上述方法得到的刀觸點及刀位點分布，圖13為刀觸點刀位點軌跡。

圖11 漸進多焦點曲面刀觸點分布Fig.11 Distribution of PAL cutting contact points

圖12 漸進多焦點曲面刀位點分布Fig.12 Distribution of PAL cutting location points

圖13 漸進多焦點曲面刀觸點刀位點軌跡Fig.13 Trajectory of PAL cutting contact points and cutting location points

圖14所示為加工得到的漸進多焦點曲面工件。采用OLS4100型激光共聚焦掃描顯微鏡對其表面粗糙度進行測量，其表面粗糙度Ra為0.283 μm。使用MQ686型三坐標測量儀測量加工得到的實際面型并將其與理論面型進行對比，面型誤差分布如圖15所示，面型誤差為25 μm。

圖14 漸進多焦點曲面工件Fig.14 Workpiece of PAL

圖15 面型誤差分布Fig.15 Distribution of surface error

4 結論

(1)提出的一種漸進多焦點曲面的參數(shù)化設計方法能較好地控制光焦度與像散分布，在不采用復變函數(shù)如積分或微分方程的情況下給出了類似的結果，避免了復雜的計算。該方法的主要優(yōu)點是能夠控制像散分布，改變遠近視區(qū)的尺寸以及其他參數(shù)的尺寸，因此能夠根據(jù)佩戴者的習慣實現(xiàn)高度定制化。

(2)將慢刀伺服車削技術用于漸進多焦點曲面的高精度加工。通過對離散數(shù)據(jù)進行局部Zernike多項式擬合，提出了一種針對包括漸進面在內的離散形式曲面車削刀觸點生成方法。實驗結果表明該方法能夠實現(xiàn)漸進面加工，工件面型誤差為25 μm，表面粗糙度Ra為0.283 μm。