焦宏章

(中國(guó)煤炭科工集團(tuán)太原研究院有限公司，太原 030006)

履帶行走機(jī)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于礦山機(jī)械和工程機(jī)械。主要由導(dǎo)向輪、漲緊裝置、支重輪、拖鏈輪、驅(qū)動(dòng)裝置、履帶和履帶架組成。具有承載大，爬坡能力強(qiáng)，地面適應(yīng)性好等諸多突出特點(diǎn)。其中履帶接地比壓是設(shè)備的重要參數(shù)之一，目前在礦山機(jī)械僅標(biāo)稱(chēng)平均接地比壓，即機(jī)重與履帶接地面積的比值，由于計(jì)算過(guò)程中沒(méi)有考慮重心的影響，因此平均接地比壓不能反映地基的真實(shí)受壓情況，設(shè)備實(shí)際工作過(guò)程中的真實(shí)接地比壓比平均比壓大很多，甚至數(shù)倍于平均比壓，因此履帶行走機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)過(guò)程中平均接地比壓會(huì)留有足夠的安全系數(shù)，防止地面被壓潰，引發(fā)事故[1-2]。即使對(duì)接地比壓限制較高的工程起重設(shè)備，目前檢索到的關(guān)于接地比壓的計(jì)算文獻(xiàn)，也是在各種簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上的進(jìn)行計(jì)算，與真實(shí)接地比壓誤差較大[3-7]。針對(duì)這一問(wèn)題，本文建立了履帶式設(shè)備工作過(guò)程的等效模型，假設(shè)履帶接地面積內(nèi)比壓呈平面分布，推導(dǎo)了各種工況下最大接地比壓的計(jì)算公式。

1 建立履帶式設(shè)備的等效模型

履帶式設(shè)備工作過(guò)程中的受力模型如圖1所示，由重力G0和執(zhí)行機(jī)構(gòu)受到的反作用力(FX,FY,FZ,MX,MY,MZ)組成，重心位于(X0,Y0,Z0)，反作用力作用點(diǎn)位于(X1,Y1,Z1)為了便于分析，將此受力模型等效為設(shè)備只受重力G，重心位置為(X,Y,Z).建立圖1所示坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)取在接地比壓最大點(diǎn)處，Y向取履帶行走方向，X向取設(shè)備寬度方向。

根據(jù)等效前后Z向支反力不變，可列

G=G0+FZ

(1)

根據(jù)等效前后X向傾覆力矩不變，可列

G×Y=G0×Y0+FY×Z1+FZ×Y1+MX

(2)

根據(jù)等效前后Y向傾覆力矩不變，可列

G×X=G0×X0+FX×Z1+FZ×X1+MY

(3)

聯(lián)合式(1)～(3)可求得等效后的設(shè)備模型參數(shù)：G，X，Y.

圖1 履帶式設(shè)備工作過(guò)程中的受力模型
Fig.1 Force model in the working process of caterpillar equipment

2 履帶接地比壓計(jì)算

根據(jù)上節(jié)計(jì)算得出的G，X，Y.可進(jìn)一步計(jì)算履帶接地比壓?，F(xiàn)有文獻(xiàn)只有重心在X向?qū)ΨQ(chēng)面上接地比壓的計(jì)算方法，本文根據(jù)重心是否在行走部的對(duì)稱(chēng)面上，分三種工況進(jìn)行分析，涵蓋重心在任意位置下的最大接地比壓計(jì)算方法。

2.1 重心在行走部X向?qū)ΨQ(chēng)面上

若重心在行走部X向?qū)ΨQ(chēng)面上，建立圖2所示坐標(biāo)系，使重心坐標(biāo)X=(B+b)/2，同時(shí)Y≤L/2，假設(shè)履帶接地比壓呈平面分布，則可列式(4)所示比壓在接地范圍內(nèi)的分布方程：

圖2 履帶接地比壓分布圖-X
Fig.2 The distribution of ground pressure-X

圖2中：L——履帶接地長(zhǎng)度，l——履帶接地比壓分布平面與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，b——履帶板寬度，B——履帶中心距，Pmax——履帶最大接地比壓。

(4)

根據(jù)Z向受力平衡，可列式：

(5)

根據(jù)X向力矩平衡，可列式

(6)

聯(lián)合式(5)和式(6)可得：

(7)

l=3Y

(8)

式(5)和式(6)的積分區(qū)間為(0，l)，適合履帶接地比壓分布平面與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)l≤L的工況，根據(jù)式(8)要求Y≤L/3.若L/3L，需要將式(5)和式(6)的積分上限更改為(0，L)，進(jìn)一步計(jì)算后可得：

(9)

綜上，若Y≤L/3，根據(jù)式(7)計(jì)算最大接地比壓；若L/3

設(shè)備工作過(guò)程中一般要求履帶接地面積內(nèi)任意點(diǎn)處的比壓0，即等效后的設(shè)備重心L/3

2.2 重心在行走部Y向?qū)ΨQ(chēng)面上

若重心在行走部Y向?qū)ΨQ(chēng)面上，建立圖3所示坐標(biāo)系，使重心坐標(biāo)Y=L/2，同時(shí)X≤(B+b)/2，假設(shè)履帶接地比壓呈平面分布，則可列式(10)所示比壓在接地范圍內(nèi)的分布方程：

(10)

圖3 履帶接地比壓分布圖-Y
Fig.3 The distribution of ground pressure-Y

圖3中：L——履帶接地長(zhǎng)度，m——履帶接地比壓分布平面與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，b——履帶板寬度，B——履帶中心距，Pmax——履帶最大接地比壓。

根據(jù)Z向受力平衡，可列式：

(11)

根據(jù)Y向力矩平衡，可列式

(12)

聯(lián)合式(11)和式(12)可得：

(13)

(14)

由于計(jì)算前不知道履帶接地比壓平面與X軸交點(diǎn)位置，因此式(11)和(12)中的左半側(cè)履帶的積分區(qū)間初定為(B,B+b)，然后求解得出最大接地比壓Pmax和履帶接地比壓平面與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)m，若m

圖4 含有負(fù)值接地比壓的分布圖-Y
Fig.4 The distribution of contain negative ground pressure-Y

根據(jù)履帶接地比壓分布平面與X軸交點(diǎn)坐標(biāo)，分三個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論：

(1)m≥B+b

若m≥B+b，代入式(14)可得：

說(shuō)明履帶在接地面積范圍內(nèi)最小接地比壓大于0，則最大接地比壓按式(13)計(jì)算。

(2)B

若B

說(shuō)明左側(cè)履帶有一部分接地面積的接地比壓等于0，計(jì)算過(guò)程中左側(cè)履帶的X向積分區(qū)間為(B,m)，將式(11)和式(12)修改后重新積分計(jì)算求的Pmax.所有式子全部用符號(hào)替代，解析式非常龐大，由于篇幅限制文中暫且省略，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件MATLAB照文章所述列示可以非常容易地計(jì)算出最大接地比壓Pmax.

(3)b

若b

說(shuō)明履帶嚴(yán)重偏載，左側(cè)履帶的接地比壓全部等于0，將式(11)和式(12)中的左側(cè)刪除后重新積分計(jì)算求的Pmax.

設(shè)備工作過(guò)程中一般要求履帶接地面積內(nèi)任意點(diǎn)處的接地比壓大于0，即

2.3 重心偏離行走部對(duì)稱(chēng)面

若重心偏離行走部對(duì)稱(chēng)面，建立圖5所示坐標(biāo)系，使重心坐標(biāo)X≤(B+b)/2，同時(shí)Y≤L/2，假設(shè)履帶接地比壓呈平面分布，則可列式(15)所示比壓在接地范圍內(nèi)的分布方程：

(15)

圖5 履帶接地比壓分布圖
Fig.5 The distribution of ground pressure

圖5中：L——履帶接地長(zhǎng)度，l——履帶接地比壓分布平面與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，b——-履帶板寬度，k——履帶接地比壓分布平面與XY平面交線的斜率，B——履帶中心距，Pmax——履帶最大接地比壓。

根據(jù)Z向受力平衡，可列式：

(16)

根據(jù)X向力矩平衡，可列式：

(17)

根據(jù)Y向力矩平衡，可列式：

(18)

聯(lián)合式(16)～(18)求解可得：

(19)

(20)

(21)

由于計(jì)算前不知道比壓平面與XY平面交線位置，因此式(16)～(18)的Y向積分區(qū)間初定為(0,L)，求解得出最大接地比壓Pmax，以及比壓平面與Y軸交點(diǎn)坐標(biāo)l，比壓平面與XY平面交線的斜率k，代入式(15)得出比壓平面方程P(x,y).

若計(jì)算得出的履帶接地比壓分布平面與XY平面交線切入履帶接地面積，按(16)-(18)式計(jì)算會(huì)導(dǎo)致部分接地面積的比壓是負(fù)值(圖6所示)，一旦出現(xiàn)這樣的情況，履帶的實(shí)際接地比壓會(huì)重新分布，因此需要對(duì)式(19)-(21)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步討論。

圖6 含有負(fù)值接地比壓的分布圖
Fig.6 The distribution of ground pressure containing negative values

根據(jù)左側(cè)履帶比壓最小點(diǎn)(B+b，L)和右側(cè)履帶比壓最小點(diǎn)(b，L)兩點(diǎn)的比壓值，分三個(gè)組合進(jìn)行討論：

P(B+b,L)≥0

若P(B+b,L)≥0，說(shuō)明比壓平面與XY平面交線未切入履帶接地面積，履帶在接地面積范圍內(nèi)最小接地比壓大于0，則最大接地比壓按式(19)計(jì)算。

P(B+b,L)<0，且P(b,L)≥0

若P(B+b,L)<0，說(shuō)明履帶接地比壓分布平面與XY平面交線已經(jīng)切入履帶接地面積，履帶的實(shí)際接地比壓會(huì)重新分布，計(jì)算過(guò)程中左側(cè)履帶的Y向積分上限為l+kx，右半側(cè)履帶的積分上限為L(zhǎng)，將式(16)～(18)修改后重新積分求得Pmax.

P(B+b,L)<0，且P(b,L)<0

若P(B+b,L)<0，且P(b,L)<0，說(shuō)明履帶偏載非常嚴(yán)重，接地比壓分布平面已經(jīng)深度切入履帶接地面積，計(jì)算過(guò)程中左側(cè)履帶和右側(cè)履帶的Y向積分上限全部為l+kx，將式(16)～(18)修改后重新積分計(jì)算得出Pmax.

設(shè)備工作過(guò)程中一般要求履帶接地面積內(nèi)任意點(diǎn)處的接地比壓大于0，即P(B+b,L)≥0.

3 應(yīng)用實(shí)例

以某型號(hào)履帶式巷道修復(fù)機(jī)為例進(jìn)行驗(yàn)算。具體參數(shù)如下：設(shè)備總重G=350 000 N，履帶接地長(zhǎng)度L=2 000 mm，履帶板寬b=500 mm，履帶中心距B=2 000 mm，按照?qǐng)D1建立計(jì)算坐標(biāo)系。假設(shè)設(shè)備重心在不同位置，應(yīng)用前文所述計(jì)算公式可計(jì)算得出表1所示計(jì)算結(jié)果。

表1 不同重心對(duì)應(yīng)的接地比壓
Tab.1 The ground pressure under different centers of gravity position

工況重心(mm)實(shí)際比壓(MPa)實(shí)際比壓/平均比壓X-Y1250,10000.1751X1250,5000.4672.67Y900,10000.251.43X-Y900,9000.30251.73

分析表中數(shù)據(jù)可以得出以下結(jié)論：

(1)若設(shè)備重心位于行走部接地形心，應(yīng)用本文所推導(dǎo)的公式計(jì)算得出的接地比壓與平均接地比壓相等。

(2)若設(shè)備重心位于行走部X向?qū)ΨQ(chēng)面，應(yīng)用本文所推導(dǎo)的公式計(jì)算得出的接地比壓與參考文獻(xiàn)1、2計(jì)算的得出的接地比壓相等，驗(yàn)證了公式的正確定。

(3)若設(shè)備重心偏離行走部接地形心，實(shí)際最大接地比壓遠(yuǎn)大于平均接地比壓，即平均接地比壓不足與反映地基的真實(shí)受壓情況。

(4)若設(shè)備重心位于行走部Y向?qū)ΨQ(chēng)面或者偏離行走部對(duì)稱(chēng)面，本文首次給出了最大接地比壓的計(jì)算解析式。

4 結(jié) 論

本文建立了履帶式設(shè)備工作過(guò)程的等效模型，基于履帶接地面積內(nèi)比壓呈平面分布的假設(shè)，系統(tǒng)推導(dǎo)了各種工況下最大接地比壓的計(jì)算公式，得出如下結(jié)論：

(1)等效后設(shè)備重心在行走部X向?qū)ΨQ(chēng)面上，若Y向坐標(biāo)Y≤L/3，根據(jù)式(7)計(jì)算最大接地比壓Pmax；若L/3

(4)若等效后設(shè)備重心不在行走部的對(duì)稱(chēng)面上，根據(jù)式(19)～(21)初算最大接地比壓Pmax和接地比壓分布平面方程P(x,y)，然后根據(jù)左右兩側(cè)履帶距離坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)處兩點(diǎn)的比壓值P(B+b,L)和P(b,L)，進(jìn)一步討論分析得出最大接地比壓。設(shè)備設(shè)計(jì)過(guò)程中一般要求距離坐標(biāo)原點(diǎn)最遠(yuǎn)處的比壓大于等于0，即P(B+b,L)≥0.

(5)對(duì)于重心在X向?qū)ΨQ(chēng)面上本文所推導(dǎo)公式的計(jì)算結(jié)果與參考文獻(xiàn)計(jì)算結(jié)果相等。對(duì)于設(shè)備重心偏離行走部接地形心，其實(shí)際最大接地比壓會(huì)遠(yuǎn)大于平均接地比壓，具體數(shù)值可依據(jù)本文所述公式進(jìn)行計(jì)算。