武 帥，黃慶學，李宏杰 ，王安紅

(1.太原科技大學電子信息工程學院，太原 030024;2.太原理工大學，太原 030024)

在計算機動畫中，網(wǎng)格變形日益完善，根據(jù)用戶的需求對原始網(wǎng)格進行變形，比如給人物加上表情、給怪獸加上一系列動作等等，以此來達到用戶的設(shè)計要求。網(wǎng)格變形最早采用自由變形技術(shù)，通過對原模型的頂點操作進行變形，但由于方法簡單，變形時導致一些細節(jié)點丟失。基于多分辨率技術(shù)的網(wǎng)格編輯，通過對低分辨率網(wǎng)格進行編輯，還原到高分辨率的原模型上來實現(xiàn)變形，但只能有條件的保留模型細節(jié)點，變形時要對模型表面進行分離，使變形難度增加。基于微分域的網(wǎng)格編輯，將對頂點的操作轉(zhuǎn)變?yōu)閷ξ⒎謱傩缘牟僮鳎ㄟ^點的映射關(guān)系，將絕對坐標轉(zhuǎn)為相對應的微分坐標，較好的保留模型的局部細節(jié)特征，但模型的部分法向量并沒有改變，從而導致變形后的模型看起來有點失真。重心坐標可用于將三角形內(nèi)任意點表示為由三角形頂點組成的凸包組合，并用一種方便的方式無條件插在三角形頂點處。近年來重心坐標的思想已經(jīng)擴展到平面中任意多邊形和高維度的多面體，使網(wǎng)格的參數(shù)化、網(wǎng)格變形等應用有了新的解決方案。

2014年Niklas K, Matthias N, Konrad P[1]提出用于3D形狀和紋理貼圖的交互式建?？蚣?，在微分變形的基礎(chǔ)上結(jié)合幾何畫筆的思想，實現(xiàn)了局部縮放，但沒有考慮梯度場方向的改變；2013年Chen C H, Tsai M H, Lin C I[2]提出的骨架驅(qū)動網(wǎng)格表面變形進行實時角色動畫，通過構(gòu)造包含輸入表面網(wǎng)格的立方體單元格子，自動傳播骨頭平滑皮膚的重量，以驅(qū)動表面進行變形，但只能進行正數(shù)的加權(quán)計算；2011年Manson J, Li K, Schaefer S[3]提出的Gordon-Wixom坐標，在二維中引入任意閉合的重心坐標新結(jié)構(gòu)，使用與邊界曲線相切的距離定義正和平滑的權(quán)重函數(shù)來實現(xiàn)，采用多邊形閉合解只能近似邊界光滑；2010年S Sun, B Chen[4]提出的基于重心坐標的移動網(wǎng)格變形方法，首先計算要移動網(wǎng)格點的重心坐標，然后根據(jù)重心坐標插值邊界點的位移來計算網(wǎng)格點的位移，計算量較大；2009年Xian C H, Lin H W, Gao S M[5]提出采用一種全自動的方法來生成一個包圍網(wǎng)格模型的粗籠，自動生成的粗邊界籠可以保持原網(wǎng)格模型的拓撲結(jié)構(gòu)和主要幾何特征，便于進行變形、細分、融合等操作，但對原始網(wǎng)格的要求較高；2016年杜正君、張慧[6]提出的體積圖控制的近似剛性變形算法，采用體積圖的近似剛性約束變形中的體積變化，克服了傳統(tǒng)變形過程中不合理的體積變化，但算法需要多次迭代，并行計算的求解速度較慢；2015年張輝鑫[7]提出的基于廣義重心坐標的三角網(wǎng)格變形方法，將原模型封閉到控制網(wǎng)格中，通過操作控制網(wǎng)格的變形帶動原模型的變形，生成的是均勻的控制網(wǎng)格，沒有考慮模型的簡化與光滑處理；2015年張湘玉、李明、馬希青[8]提出的基于細分的網(wǎng)格模型骨架驅(qū)動變形技術(shù)，通過建立骨架與控制網(wǎng)格、控制網(wǎng)格對應的細分曲面與變形區(qū)域間的關(guān)系，將對應細分曲面變化信息轉(zhuǎn)化為網(wǎng)格模型泊松梯度場的改變，從而得到重建的網(wǎng)格模型，但由于模型表面拓撲結(jié)構(gòu)的復雜，控制網(wǎng)格有時不能很好地貼合原模型形狀，出現(xiàn)誤差；2013年許斌、李忠科、呂培軍[9]等提出的保持細節(jié)的網(wǎng)格曲面局部變形算法，依據(jù)用戶對控制頂點的移動和網(wǎng)格表面幾何特征，自動判斷變形區(qū)域，將用戶對控制頂點的編輯操作轉(zhuǎn)為對模型泊松梯度場的操作，重建得到變形后的網(wǎng)格，但只考慮局部區(qū)域的變形，變形區(qū)域受限制。

通過以上比較，提出將自由變形技術(shù)與微分坐標結(jié)合起來，以重心坐標構(gòu)造變形控制曲面，根據(jù)對重心坐標的編輯進行局部變換，通過局部變換得到變形后的梯度場方向，以此達到網(wǎng)格變形結(jié)果。該方法可以預先計算原網(wǎng)格模型的重心坐標，加快了并行計算，有效地克服了模型在變形過程中的變形問題，且能很好的保證變形的光滑。

1 重心坐標

重心坐標是指將原模型用一個空間網(wǎng)格包圍，通過操作空間網(wǎng)格來實現(xiàn)變形，是用來描述原模型與空間網(wǎng)格間的幾何關(guān)系。重心坐標常用的有均值坐標、調(diào)和坐標和格林坐標等。由于空間網(wǎng)格相對原模型有很少的頂點，通過對空間網(wǎng)格中的點進行操作，原網(wǎng)格上的對應位置就會發(fā)生改變。

Lipman[10]提出的格林坐標，利用偏微分方程理論與格林第三公式對拉普拉斯方程進行變化得到格林坐標。在三角網(wǎng)格中，包圍網(wǎng)格P內(nèi)P=(V,T)，V表示頂點集合，T表示三角形面集合，η表示點，Φi、Φj表示坐標函數(shù)，n(tj)表示面的外法線，則重心坐標為：

(1)

以重心坐標來構(gòu)造待變形模型的控制網(wǎng)格，通過對控制網(wǎng)格的操縱實現(xiàn)原模型的任意變形。由于重心坐標具有自由變形技術(shù)的特點，因而本文提出的方法也具有自由變形技術(shù)的優(yōu)勢。

2 網(wǎng)格模型的泊松方程

泊松方程是一個偏微分方程

Δf=·wf|?Ω=f*|?Ω

(2)

2.1 三角網(wǎng)格梯度場

網(wǎng)格曲面上的分段線性標量場為f(η)=fi·Φi(η).

其中，fi是標量場在網(wǎng)格頂點η上的函數(shù)值，Φi是分段線性基函數(shù)。對于三角網(wǎng)格上的任意三角形Δvivjvk，任意一點η都可由其所在三角形的三個頂點線性插值得到：

f(η)=fi·Φi+fj·Φj+fk·Φk

(3)

則梯度為：

(4)

2.2 梯度場的散度

對梯度場求偏導得到三角網(wǎng)格梯度場的散度：

(5)

其中，V是頂點vi的一組三角形集，Bik表示定義在vi點的分段線性函數(shù)在三角形T上的梯度，A是三角形T的面積。

2.3 拉普拉斯算子

通過梯度場和散度算子，得到標量場f在頂點Vi的拉普拉斯算子，如圖1所示，拉普拉斯算子為：

圖1 拉普拉斯算子
Fig.1 Laplacian operator

對整個三角網(wǎng)格的拉普拉斯算子為

(7)

2.4 泊松方程求解

(8)

2.5 邊界約束條件

泊松方程是一個微分方程，要求解微分方程，就需要有邊界條件，如果一個頂點在網(wǎng)格中被確定，那么該頂點是約束頂點，也就是泊松方程的邊界約束條件，如果一個頂點在網(wǎng)格中不被確定，那么該頂點是自由頂點。

對網(wǎng)格中的三個頂點不全是約束頂點的三角形集合進行局部旋轉(zhuǎn)和縮放等操作，以三角網(wǎng)格的頂點(x,y,z)中每一維作為一個標量場，對不受約束的網(wǎng)格變形區(qū)域內(nèi)每個三角形進行局部變換得到新的梯度場，然后計算散度，最后通過泊松方程重建網(wǎng)格模型，實現(xiàn)網(wǎng)格變形。

3 網(wǎng)格變形

三維模型的網(wǎng)格變形技術(shù)是在幾何造型的框架下，通過引入一些權(quán)重來建立坐標之間的線性映射關(guān)系，從而根據(jù)用戶的需求得到網(wǎng)格變形新模型。結(jié)合重心坐標的泊松網(wǎng)格編輯算法具體流程如圖2所示，首先以原模型包圍網(wǎng)格所確定的重心坐標生成控制網(wǎng)格，由于均值坐標的均值向量與三角面表面法向相同時，坐標值可能出現(xiàn)負數(shù)，不能滿足局部特性；調(diào)和坐標包圍網(wǎng)格的的復雜程度直接與計算過程的復雜性連接，進一步的發(fā)展較難；格林坐標是拉普拉斯方程的解，變形的光滑性高達C，這里主要采用格林坐標，一方面保證模型變形后的光滑自然，另一方面由于格林坐標中引入了法向信息，能很好的保持模型的細節(jié)特征，在大規(guī)模變形后使變形結(jié)果相對比較自然。然后任意改變包圍網(wǎng)格，將對應重心坐標變化的信息轉(zhuǎn)換為對應的標量場，估算網(wǎng)格模型每個頂點變形前后的局部旋轉(zhuǎn)變換矩陣，求得每個頂點變形后的梯度場方向，對梯度場方向求導得到散度，最后通過求解系數(shù)矩陣進行網(wǎng)格重構(gòu)得到變形模型。

圖2 流程示意圖
Fig.2 Flow chart

3.1 確定重心坐標

構(gòu)建包圍網(wǎng)格是結(jié)合重心坐標進行泊松網(wǎng)格編輯的基礎(chǔ)，采用簡化模型來構(gòu)造包圍網(wǎng)格，然后對包圍網(wǎng)格按照2.1節(jié)所示方法求取重心坐標得到控制網(wǎng)格，求出原網(wǎng)格模型每個頂點在包圍網(wǎng)格上所對應的重心坐標位置。

3.2 確定局部變換矩陣

由于微分變形具有平移不變性，因而只考慮旋轉(zhuǎn)變換和縮放變換。在原模型新頂點處定義局部標架，局部標架其中一個方向是邊界點的法矢方向，另外兩個方向在過邊界點且以法矢方向為面法向量的切平面內(nèi)，計算出變形前后控制網(wǎng)格頂點處的局部標架，從而確定唯一的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。得到三角形中心點變形前后的局部標架，根據(jù)局部標架法矢方向叉乘得到第一旋轉(zhuǎn)軸，點乘得到第一旋轉(zhuǎn)角度，局部標架以編輯前的位置為旋轉(zhuǎn)中心，繞第一旋轉(zhuǎn)軸和第一旋轉(zhuǎn)角度得到中間標架，將中間標架與編輯后控制網(wǎng)格位置在切平面上投影向量叉乘得到第二旋轉(zhuǎn)軸，點乘得到第二旋轉(zhuǎn)角度。

根據(jù)編輯前后控制網(wǎng)格上三角面的周長確定縮放變換矩陣，三角網(wǎng)格中所有頂點的三個位置坐標分量構(gòu)成三個標量場，按照2.2節(jié)所示方法求出每個標量場對應的梯度場。

如圖3所示，任意的變形區(qū)域內(nèi)，變形前后兩關(guān)聯(lián)位置vd和vd′，得到兩個局部正交標架，其中的一個方向即為nd和nd′，另外的兩個方向即為e1、e2和e1′、e2′.

圖3 局部標架
Fig.3 Local frame

3.3 實現(xiàn)泊松變形

用戶根據(jù)需求確定待變形區(qū)域的包圍網(wǎng)格，以包圍網(wǎng)格所確定的重心坐標生成控制網(wǎng)格，通過對包圍網(wǎng)格的操作，將對應重心坐標變化的信息作為局部原點進行局部變換得到新的梯度場，代入泊松方程求最小二乘解得到變形的網(wǎng)格模型。

4 實驗結(jié)果與分析

結(jié)合重心坐標的泊松網(wǎng)格編輯算法在Microsoft Visual Studio 2013平臺上，編寫基于MFC的圖形界面，配有2.60GHz CPU，4.00GB內(nèi)存，Windows 7系統(tǒng)的個人筆記本電腦。圖4、圖5和圖6展示了采用本文算法對不同模型的變形效果。

a b

c

圖4 立方體模型及變形
Fig.4 Cube model and deformation

圖4a是變形前立方體模型，圖4b是本文算法進行扭曲變形的結(jié)果，圖4c是本文算法進行彎曲變形的結(jié)果。圖5a是變形前牛模型，圖5b是本文算法對后腿進行變形的結(jié)果，圖6a是變形前bunny模型，圖6b是采用本文算法對bunny耳朵進行變形的結(jié)果。

a

b

圖5 牛模型及變形
Fig.5 Cattle model and deformation

a

b

圖6 bunny模型及變形
Fig.6 Bunny model and deformation

通過上述變形實驗結(jié)果可以看出，本文算法充分體現(xiàn)了重心坐標作為變形控制網(wǎng)格進行任意拓撲的優(yōu)勢，無論對模型哪個部位進行變形，變形結(jié)果都保留很好的連續(xù)性，而且對模型的大尺度形變也能得到理想的編輯效果。圖中的紅色部分是編輯前后重心坐標構(gòu)成的控制網(wǎng)格，白色部分是設(shè)置的固定區(qū)域。從變形結(jié)果可以看出，模型的細節(jié)特征在變形后都得到了很好的保持。

圖7 傳統(tǒng)泊松網(wǎng)格變形
Fig.7 Traditional Poisson mesh deformation

與傳統(tǒng)的泊松網(wǎng)格變形算法相比較，針對圖4b扭轉(zhuǎn)變形結(jié)果，圖7給出扭轉(zhuǎn)變形的對比實驗結(jié)果?？梢钥闯?，使用傳統(tǒng)的泊松網(wǎng)格變形算法，扭轉(zhuǎn)模型變形結(jié)果出現(xiàn)失真，有明顯的棱角，而使用本文算法，模型扭轉(zhuǎn)變形更自然，有很好的連續(xù)性。

5 結(jié) 論

要實現(xiàn)網(wǎng)格模型的保特征變形，不能直接用原網(wǎng)格的梯度場方向來重建變形后的網(wǎng)格模型，因而采用與重心坐標結(jié)合的泊松網(wǎng)格編輯方法，以包圍網(wǎng)格來確定重心坐標進而得到控制網(wǎng)格，達到重新設(shè)置微分坐標方向的效果，對梯度場方向進行調(diào)整，最后重建出變形模型。該方法能夠較好地保持網(wǎng)格模型的局部細節(jié)，使得變形后的模型更加光順自然。尚有的缺陷是在網(wǎng)格進行局部旋轉(zhuǎn)時，泊松變形將原來的非線性能量優(yōu)化為線性融合，直觀性不強。