賈國(guó)榮, 張清梅

(1.山西農(nóng)業(yè)大學(xué) 文理學(xué)院，山西 太谷030801；2.太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

傅里葉變換是數(shù)學(xué)物理方法中一種變換方法，通常用來(lái)求解特定的微分方程。傅里葉變換在實(shí)際運(yùn)用中發(fā)揮著重要作用[1-5]。傅里葉變換微信號(hào)光譜儀能精確測(cè)量分子的轉(zhuǎn)動(dòng)躍遷譜線，是量子化學(xué)和天文化學(xué)領(lǐng)域的重要實(shí)驗(yàn)工具[6]。傅里葉光學(xué)相干層析成像通過(guò)對(duì)干涉條紋的光譜信號(hào)進(jìn)行探測(cè)，可以并行獲取樣品組織內(nèi)部軸向信息[7-11]。將傅里葉變換應(yīng)用到語(yǔ)音分析上，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可以得出零相移濾信號(hào)器[12-15]。干涉儀投影輪廓術(shù)與傅里葉變換相結(jié)合，可以產(chǎn)生條紋正弦性好的干涉條紋，因此可以保證光源的優(yōu)質(zhì)性[16,17]。傅里葉變換方法對(duì)彩色圖像在頻域內(nèi)進(jìn)行降噪和增強(qiáng)處理，對(duì)彩色圖像去噪具有良好的效果[18]。由此可見(jiàn)，傅里葉變換是一種重要的處理復(fù)雜問(wèn)題的一種常用方法。

本文從高等數(shù)學(xué)傅里葉變換的定義出發(fā)[19]，將電流信號(hào)中常見(jiàn)的方形信號(hào)，鋸齒信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)[20-21]，得出結(jié)論：復(fù)雜電流信號(hào)都能分解成許多一系列簡(jiǎn)諧電流信號(hào)的疊加。因此，可以用傅里葉變換對(duì)復(fù)雜電流信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。

1 傅里葉變換定義

通過(guò)數(shù)學(xué)物理方法知識(shí)可知，假設(shè)存在一個(gè)以2l為周期的周期函數(shù)fl(x)，滿足函數(shù)在區(qū)間[-l,l]上連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且只有有限個(gè)極值點(diǎn)，那么函數(shù)fl(x)在[-l,l]上就可以展開(kāi)傅里葉級(jí)數(shù)。

用復(fù)數(shù)形式表達(dá)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為:

(1)

其中

(2)

由此可以得出：假設(shè)函數(shù)周期為2l，則函數(shù)在自變量增長(zhǎng)的過(guò)程中，函數(shù)值周期性的重復(fù)變化，假設(shè)自變量增加一個(gè)周期2l，則函數(shù)值就會(huì)重復(fù)變化一次，其中參數(shù)wn不連續(xù)地跳躍地取如下值：

(3)

其躍變間隔為

(4)

而對(duì)于非周期函數(shù)，表面上看似乎無(wú)法展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，但可以采用把非周期函數(shù)f(x)看成是周期函數(shù)fl(x)，周期由原來(lái)的周期2l擴(kuò)展為2l→+，采用此方法把非周期函數(shù)f(x)展開(kāi)成成傅里葉級(jí)數(shù)。此時(shí)

如果把式(1)寫為三角級(jí)數(shù)，則為周期為2π的函數(shù)f(x)可以展開(kāi)為如式(15)：

(5)

其中：

(6)

由此可見(jiàn)看出，對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x)，如果滿足收斂條件，就可以把它進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)變換。

2 方形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)變換

方形信號(hào)是電流信號(hào)中的一個(gè)典型常見(jiàn)的信號(hào)，如圖1所示，如果我們用數(shù)學(xué)函數(shù)f(x)來(lái)表示電流信號(hào)中的方形信號(hào)，通常可以寫為：

圖1 方形信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)函數(shù)
Fig.1 The mathematical function of square signal

設(shè)f(x)是以2π為周期的函數(shù)，在區(qū)間[-π，π]上的表達(dá)式為:

(7)

把f(x)進(jìn)行傅里葉變換，則：

(8)

(9)

(10)

于是函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為

f(x)

(11)

因此可見(jiàn)，方形信號(hào)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖形可用下列的正弦信號(hào)的疊加來(lái)近似表達(dá)：

(12)

正弦信號(hào)的個(gè)數(shù)越多，越逼近于方形信號(hào)。它可以反映各種頻率簡(jiǎn)諧信號(hào)之間振幅的相對(duì)大小，因此可以看出采用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法，對(duì)方形信號(hào)進(jìn)行頻譜分析是一種有效的方法。

3 鋸齒信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)變換

圖2 鋸齒信號(hào)的數(shù)學(xué)表達(dá)函數(shù)
Fig.2 The mathematical function of zigzag signal

鋸齒信號(hào)也是電流信號(hào)中的一個(gè)典型信號(hào)形圖，如圖2所示，如果用函數(shù)f(x)來(lái)表示電流信號(hào)中的鋸齒信號(hào)，可以表示為：

(13)

把函數(shù)f(x)進(jìn)行傅里葉變換得：

(14)

而:

(15)

(16)

因此，鋸齒信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為:

(17)

由此可見(jiàn)，采用傅里葉變換的方法，鋸齒信號(hào)同樣也可以展開(kāi)成一系列的簡(jiǎn)諧信號(hào)疊加，從而對(duì)鋸齒信號(hào)進(jìn)行頻譜分析。

4 結(jié) 論

本文從傅里葉變換開(kāi)始討論，對(duì)電流信號(hào)中典型的方形信號(hào)、鋸齒信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，得到此兩種電流信號(hào)都可以由一系列的簡(jiǎn)諧電流信號(hào)疊加而成，由此可見(jiàn)，復(fù)雜電流信號(hào)也可以通過(guò)傅里葉變換，得到一系列的簡(jiǎn)諧電流信號(hào)，從而進(jìn)行頻譜分析。