李 璞，李 澄，黃長征，王洪榮，胡松喜

（1.韶關學院 物理與機電工程學院，廣東，韶關 512005；2.中國汽車工程研究院，重慶 401122）

車輛操控性能主要受車輛懸架系統(tǒng)運動特性的影響，由于懸架系統(tǒng)的硬點位置在很大程度上決定其運動特性，所以這些硬點位置的坐標通常被定義為懸架系統(tǒng)運動特性優(yōu)化的設計變量。

麥弗遜懸架具有結構簡單緊湊，簧下質量小，占用車輛空間少等優(yōu)點，在現(xiàn)代汽車特別是前懸架上應用極為廣泛[1]。目前，對麥弗遜懸架的運動學分析通常采用空間機構運動學的數(shù)值計算方法和基于多剛體動力學軟件的仿真分析方法[2]。由于懸架系統(tǒng)的復雜性，應用數(shù)值計算方法構建系統(tǒng)復雜且不夠直觀，懸架系統(tǒng)的模型通常使用機械系統(tǒng)自動動態(tài)分析（Auto Dynamic Analysis of Mechanical systems，ADAMs）等軟件進行開發(fā)。但在模型的優(yōu)化設計中，優(yōu)化目標的計算需要頻繁調用形如黑箱函數(shù)的軟件模型，其計算仍較為費時。因此，響應面模型方法經(jīng)常用于工程優(yōu)化，以節(jié)省優(yōu)化工作的計算成本[3-4]。

為構建精確的響應面模型，需要經(jīng)過大量的采樣，而多次采樣需要多次調用黑箱模型，從而增加計算時間。利用源模型在某函數(shù)基上的稀疏性表示（即源模型可通過該組函數(shù)線性表示，且對應的系數(shù)大多為0），只需要通過少量的采樣點，即可求解出非零系數(shù)[5]。因此，提出稀疏響應面方法，通過少量的采樣點獲得對麥弗遜懸架模型的精確逼近，基于稀疏響應面對懸架系統(tǒng)進行快速精確的運動學分析和參數(shù)優(yōu)化。

1 麥弗遜懸架建模及運動學優(yōu)化分析

1.1 ADAMs建模

采用ADAMs軟件對某汽車的麥弗遜懸架建模，如圖1所示。硬點參數(shù)的初始值見表1。

圖1 麥弗遜懸架模型

表1 麥弗遜懸架運動學參數(shù)初始值

1.2 優(yōu)化目標

懸架運動學特征一般由主銷后傾角、主銷內傾角、車輪外傾角和前束角等參數(shù)描述。為獲得運動學特性參數(shù)，在ADAMs/Car中對懸架模型進行雙側車輪同向跳動試驗，跳動量設置為±對懸架模型，正號表示上跳，負號表示下跳。以此獲得各參數(shù)在跳動試驗中的結果，如圖2所示。

圖2 各參數(shù)在跳動試驗中的結果

為優(yōu)化麥弗遜懸架的運動學性能，需要使以上參數(shù)在車輪跳動試驗中變化最小，并約束車輪外傾角、主銷后傾角和主銷內傾角變化量分別不超過2°、2°和3°，約束前束角不小于-0.5°。該優(yōu)化問題是一個多目標不等式約束優(yōu)化問題，一般可通過多目標遺傳算法求解[6]。為簡化操作，通過設置權值將多目標優(yōu)化問題轉換為單目標優(yōu)化問題。選擇車輪外傾角、主銷后傾角以及主銷內傾角的變化量作為優(yōu)化目標，通過給定權值轉換為單目標優(yōu)化問題。目標函數(shù)可表達為式（1）。

式中：u為包括設計變量的向量；lb和ub是設計變量的上下限；f1(u)、f2(u)、f3(u)、f4(u)為試驗中的外傾角、主銷后傾角、主銷內傾角和前束角的取值，對應車輪外傾角、主銷后傾角、主銷內傾角的變化量；c4(u)為前束的最小值；α1、α2、α3為優(yōu)化目標的權值，此處均選為1。

1.3 設計變量選擇

為挑選出對優(yōu)化目標影響較大的設計變量，對懸架模型的設計參數(shù)進行靈敏度分析，把靈敏度高的參數(shù)確定為設計變量。首先在ADAMs/Insight模塊中以拉丁超立方設計（Latin Hypercube Design，LHD）的采樣優(yōu)化方法進行試驗設計，選擇出可能有影響的30個硬點參數(shù)，設置每個因子的變化量在-10～10 mm，進行32次迭代后取靈敏度最大的6個設計變量，分別為：下控制臂外側硬點x坐標（lca_outer.x）、下控制臂外側硬點y坐標（lca_outer.y）、下控制臂外側硬點z坐標（lca_outer.z）、阻尼器上端硬點y坐標（top_mount.y）、阻尼器上端硬點z坐標（top_mount.z）、下控制臂內前側硬點y坐標（lca_front.y），硬點位置詳見圖1標注。將所選6個設計變量分別命名為u1、u2、u3、u4、u5、u6，給定6個設計變量的設計空間為±30 mm，即可得：

2 稀疏響應面模型

2.1 稀疏響應面構建方法

2.1.1 稀疏響應面數(shù)學模型

稀疏響應面以多項式響應面為基礎，可表示為線性模型：

或矩陣形式：

式中：x= [x1, …,xm]是一個設計采樣點，m是響應面變量個數(shù)；{?i(x)}i=1,2,…,p是構成響應面的基函數(shù)，又稱原子，p是原子個數(shù)；φθ是基函數(shù)集合，又稱字典；是對應原子的系數(shù)；φθ是系數(shù)向量。選擇一組Legendre多項式作為基函數(shù)，由于Legendre多項式結構簡單易于構造，更重要的是在定義區(qū)間[-1,1]上關于l2范數(shù)正交，且該正交性的優(yōu)點在由單變量擴展至多變量時能保留，所以Legendre多項式函數(shù)表達式通過循環(huán)定義獲得：

設

則

多變量響應面的基函數(shù)由單變量Legendre多項式的張量積構成。定義?i(x)為：

jjjjj

字典原子的個數(shù)需要權衡字典表達能力和求解的穩(wěn)定性。字典的規(guī)模過小，不足以表達采樣點所體現(xiàn)的模型特征和函數(shù)關系。相反，字典規(guī)模過大，系數(shù)求解方程會變成嚴重的欠定問題，求解穩(wěn)定性變差。GRIBONVAL等[7]指出采樣點個數(shù)n應至少是原子個數(shù)p的15%。在本模型中，取p= 6n。為避免過擬合并減少運算量，在選擇Legendre多項式函數(shù)構造原子時優(yōu)先選擇低階次的函數(shù)，即從0階多項式往后選取。選擇多變量模型的原子構造時亦遵循該準則，控制總階次盡量小。

響應面采樣位置的確定由LHD[8]獲得。LHD采樣將設計空間均勻劃分成采樣數(shù)量n個子區(qū)間，在每個子區(qū)間隨機選取一個采樣點，體現(xiàn)為均勻隨機性。均勻性可保證采樣到源模型的全局特征，隨機性可以降低字典中原子的相關性，有利于分辨表達不同特征的原子。

可得到稀疏響應面模型為：

式中：s為稀疏響應面模型的稀疏度要求。

2.1.2 稀疏響應面模型求解

源模型在多項式基上的稀疏度是未知的，為構建稀疏的響應面模型，通過求解下式來獲得基函數(shù)的系數(shù)：

由于?0范數(shù)問題是非凸的NP難問題，采用松弛方法，將其松弛到?1范數(shù)：

式（8）是可求解的凸優(yōu)化問題，寫成其拉格朗日乘子形式：

式（9）是最小絕對值收斂和選擇算子、套索算法 （Least Absolute shrinkage and selection Operator，LAssO）回歸模型。LAssO回歸具有原子選擇和系數(shù)收縮功能。變量選擇可以生成稀疏的響應面模型，系數(shù)收縮通過犧牲模型訓練精度提高了預測能力。LAssO提供稀疏模型的能力已經(jīng)在統(tǒng)計學領域被證明。LAssO模型可以采用最小角回歸[9]（Least Angle Regression，LAR）方法求解，并可借助Matlab的工具箱得到。稀疏響應面的構建流程見表2。

“研發(fā)這塊我們還是挺給力的！”余保寧介紹，2018年，燕塘乳業(yè)設立了博士后科研工作站，成功通過國家優(yōu)質乳工程驗收。“全國僅有光明、三元、燕塘等十幾家乳企通過了優(yōu)質乳工程認證。這應該是目前全國最領先的一個標準，標志著我們國家真正從有奶喝到喝好奶！”

2.2 懸架運動學特性響應面

由式（1）可知，麥弗遜獨立懸架的運動學特性優(yōu)化是帶有非線性約束的優(yōu)化問題。采用稀疏響應面構建方法分別構建4個約束響應面由式（1）可知，目標函數(shù)由c1，c2，c3相加，所以不需要單獨構建目標響應面，取對應的3個約束響應面的響應值的和即可。

表2 稀疏響應面構建流程

利用ADAMs/Insight模塊在設計空間[lb,ub]內通過LHD生成60個采樣點，進行雙側車輪同向跳動試驗，輸出7個目標值，即外傾角最大值，式（1）中maxf1(u)；外傾角最小值 ，式（1）中minf1(u)；主銷后傾角最大值，式（1）中maxf2(u)；主銷后傾角最小值，式（1）中minf2(u)；主銷內傾角最大值，式（1）中maxf3(u)；主銷內傾角最小值，式（1）中minf3(u)；前束角最小值，式（1）中minf4(u)，就可得到約束響應面的響應值。利用60個采樣點的位置和對應的響應值，通過2.1節(jié)介紹的方法，可構建出約束響應面。

3 懸架運動學特性優(yōu)化

3.1 優(yōu)化方法

多變量非線性不等式約束優(yōu)化問題通?？捎脙赛c法[10]、序列二次規(guī)劃、信賴域法[11]、遺傳算法[12]等方法求解。序列二次規(guī)劃方法在處理中小規(guī)模問題時計算速度快、精度高，并可通過Matlab工具箱調用該模塊工作。因此，本文選擇序列二次規(guī)劃方法對麥弗遜懸架運動學參數(shù)響應面進行優(yōu)化。

整理式（1）的序列二次規(guī)劃參數(shù)，見表3。

表3 麥弗遜懸架優(yōu)化參數(shù)表

3.2 對比方法

為驗證和比較所提出的稀疏響應面方法，選擇了工程上常用的Kriging模型構建相同的約束響應面和目標響應面。

Kriging模型選擇常數(shù)基函數(shù)和高斯關聯(lián)模型，關聯(lián)參數(shù)的初始值為θ0=1m×1，邊界值為(i=1,… ,m)，其中m是變量個數(shù)，而1m×1表示元素全為1的向量。為使對比條件一致，構建約束Kriging模型和目標Kriging模型所用的采樣點和稀疏響應面一致，所采用的優(yōu)化也是通過調用Matlab軟件的序列二次規(guī)劃算法工具箱實現(xiàn)。

3.3 優(yōu)化結果及分析

調用Matlab工具箱進行優(yōu)化，分別將稀疏響應面模型和Kriging模型的最優(yōu)解代入ADAMs/Car中進行仿真試驗，得到優(yōu)化前后各目標變量數(shù)值對比，見表4。

表4 目標變量優(yōu)化前后數(shù)值對照表

由表4可知，基于稀疏響應面方法和Kriging模型優(yōu)化出的結果均較優(yōu)化前有明顯提高。優(yōu)化目標值由原來的5.917°分別降至3.158°（減少46.6%）和3.719 4°（減少37.1%），稀疏響應面方法優(yōu)化的結果比Kriging模型優(yōu)化的結果高了9.5個百分點。值得注意的是，基于稀疏響應面方法的優(yōu)化結果各定位參數(shù)變換值均滿足約束的要求，而基于Kriging模型優(yōu)化的結果中主銷后傾角的變化值為2.068 4°，超出了2°的約束，這是約束Kriging模型的精度不夠導致的，而精度不夠的原因主要是因為采樣點過少。

該懸架原始參數(shù)和基于稀疏響應面優(yōu)化后的參數(shù)在ADAMs/Car中仿真試驗的對比曲線，如圖3所示。

圖3 各目標變量優(yōu)化前后曲線對比

由表4可知，優(yōu)化后的4個定位參數(shù)包括車輪外傾角、主銷后傾角、主銷內傾角以及車輪前束角的變化量都有明顯減小。由圖3可知，車輪外傾角、主銷內傾角和車輪前束角的優(yōu)化更加突出，特別是前束角的變化量，雖然沒有被列為優(yōu)化目標函數(shù)，但在優(yōu)化過程中其值也有明顯改善。

4 結論

本文提出了一種基于稀疏響應面和序列二次規(guī)劃算法的麥弗遜懸架運動學性能優(yōu)化方法。通過一組僅60個非自適應采樣點，構建了4個6維的約束稀疏響應面和1個目標稀疏響應面。通過序列二次規(guī)劃算法，基于所構建的稀疏響應面，對懸架進行了含非線性約束的優(yōu)化。優(yōu)化結果表明，目標函數(shù)值由5.917°優(yōu)化至3.158°，減少了46.6%，且滿足所有的約束要求。將所提出的稀疏響應面方法和工程上常用的Kriging模型方法進行了對比，基于Kriging模型的優(yōu)化結果中，目標函數(shù)的函數(shù)值由5.917°優(yōu)化至3. 7194°，僅減少37.1%，且主銷后傾角不滿足約束要求。由結果對比可知，本文所提出的方法較常用的Kriging模型優(yōu)化法具有更高的精度，能夠很好地解決工程中的非線性約束多目標優(yōu)化問題。