朱俊華，吳玉國

（1.淮安市天津路小學，江蘇 淮安 223005；2.南京市游府西街小學，江蘇 南京 210002）

結構，就是事物各個組成部分的搭配和序列。皮亞杰在《結構主義》一書中強調：結構也叫一個整體，一個系統(tǒng)，一個集合，是一個心理系統(tǒng)或整體。[1]小學數(shù)學結構化學習，主要指兒童在已有知識與經(jīng)驗的基礎上，借助教師對數(shù)學概念的結構化理解與分析，經(jīng)歷個性化的認知過程。顯而易見，數(shù)學概念的結構化理解和分析是結構化學習的重要途徑。

在課堂教學中，我們常常會利用變式教學來幫助兒童實現(xiàn)數(shù)學概念的結構化理解。變式教學就是不斷變換數(shù)學概念的表征方式和表現(xiàn)形式，從變化中找尋不變的本質，揭示數(shù)學概念的深刻內涵，進而幫助兒童建構概念。[2]變式教學的本意在于幫兒童多視角、多層次、多維度理解概念，不斷豐富和建立概念的表象，從而實現(xiàn)兒童認知結構的不斷完善。下面筆者以“認識分數(shù)”一課為例，談談小學數(shù)學結構化學習的變式教學。

一、橫向變式，多視角理解概念本質內涵

美國認知心理學家布魯納指出：“掌握事物的結構，就是允許許多別的東西與它有意義地聯(lián)系起來的方式去理解它。簡單地說，學習結構就是學習事物是怎樣相互關聯(lián)的?！睌?shù)學概念是對客觀事物的數(shù)量關系、空間形式特征的概括，是對一類數(shù)學對象的本質屬性的反映。而要讓學生理解抽象的數(shù)學概念就需要諸多關聯(lián)的元素進行意義的建構。

橫向變式，就是在具有某類型的特征或者某一特定的范圍要改變外在形式，而數(shù)學概念的本質并不因為形式的變化而改變。簡單說就是通過不同角度對比材料的分析，幫助學生深刻理解概念深刻內涵。變式教學有時來自教師的預設，有時源自課堂上學生的生成資源，尤其是后者如果利用巧妙就能起到事半功倍的效果。

教學“認識分數(shù)”時，在操作探究環(huán)節(jié)，教師引導學生拿一張正方形紙折一折，并把它的二分之一涂上顏色，再和同學交流。匯報時，同學們出示了幾種不同的折法（參見圖1），教師借機把這些作品展示在黑板上，并組織討論：（1）每一種涂色部分都能表示這張紙的二分之一嗎？（2）為什么折法不同，涂色部分的形狀也不同，都能表示這張紙的二分之一呢？（3）除了這些折法，還有沒有其他折法也能表示這張紙的二分之一，一共有多少種？這些問題瞬間引起了同學們的興趣，大家積極討論，有些小組還針對某個問題進行了積極的爭辯。

圖1

教師通過活動、實物、圖片、語言、情境等形式對概念進行外在表征，其目的在于豐富學生的感知，理解二分之一的深刻內涵。開展折紙活動，目的并不是為了展示折法多樣化，更不是看誰折得有創(chuàng)意。展示各種不同的折法是為了引導學生理解：為什么折法不同，都能用二分之一表示？最終學生會發(fā)現(xiàn)，這些折法雖然不同，但是相同的是都把這張紙平均分成兩份，表示其中的一份，就得到這張紙的二分之一。而當學生還能夠自己用語言表征的話，他們對于二分之一的理解也就更豐富、更深刻了。這樣的變式，是基于學生的認知基礎（分蛋糕的經(jīng)驗），充分利用認知沖突（為什么折法不同都能得到二分之一呢？），逐漸將分數(shù)概念的理解從模糊走向清晰，從單向走向綜合。同時還培養(yǎng)了他們的辯證思維、發(fā)散思維、聚合思維和創(chuàng)新思維。

二、縱向變式，多層次揭示概念本質屬性

在教學中用不同形式的直觀材料或事例說明概念的本質屬性，或變換概念的非本質特征以突出本質特征，使學生理解概念的實質內涵，辨別其非本質特征，從而建構概念。這也符合皮亞杰（J.Piaget）的觀點：“全部數(shù)學都可以按照結構的建構來考慮，而且這種建構始終是完全開放的……這種結構或者正在形成‘更強的’結構，或者再由‘更強的’結構來予以結構化?！盵3]在小學數(shù)學概念教學中，結構化學習主要通過元素的關聯(lián)聯(lián)結來實現(xiàn)，元素關聯(lián)就是教師在掌握知識的發(fā)展結構后，對教材內容進行分解和重組，不斷變化表征形式，促進概念的縱向關聯(lián)，實現(xiàn)概念的自主建構。

比如，教學“認識分數(shù)”時，核心概念就是二分之一的意義建構。如果只是按照教材通過分蛋糕的活動理解二分之一顯然是不夠的，學生理解起來也不深刻。但是，讓同學們在經(jīng)歷“分蛋糕（物體）”認識二分之一后，再開展表示出一個正方形（圖形）、一根一米長的繩子（計量單位）、一瓶果汁等的二分之一的數(shù)學探究活動，并且讓學生邊操作邊思考以下問題：（1）怎樣得到一個物體的二分之一？（2）誰是誰的二分之一？（3）為什么平均分的對象不同，卻都可以得到二分之一這樣的分數(shù)？如此教學，學生對于二分之一的了解便會更加全面，理解也會更加深刻。其實，提供給學生的活動素材越豐富，概念建立的表象就越豐富，兒童的認知結構也就越完善。這樣的“變式”教學也為學生三年級下學期“一個整體的幾分之一”和五年級“分數(shù)意義”的學習奠定了基礎。

直觀形象、具體可感的事物、圖形、計量單位的輔助理解，有益于學生的結構化思維由操作水平走向分析水平，由具象走向抽象，由外延走向實質。當然，我們提供給學生操作的圖形時，還可以繼續(xù)變換外在表征形式：既有同一小組內大小、顏色不同的正方形，也有各組間大小、形狀、圖形都不同的圖形（如長方形、等邊三角形、平行四邊形等）。這樣的操作給了學生充分比較、思考、交流、辨析和爭論的機會，最終實現(xiàn)分數(shù)概念本質的意義建構。

三、正反變式，多維度完善兒童認知結構

美國認知心理學家奧蘇貝爾指出：“當學習材料本身具有邏輯意義，而學習者認知結構中具備適當?shù)闹R基礎，那么這種學習材料對于學習者就構成了潛在的意義。”如果我們提供給學生的學材本身具有一定的結構，那么知識發(fā)展結構和兒童的認知結構就會形成聯(lián)結，對概念的理解也就能由內而外地形成結構。長此以往，兒童的結構化思維也就能逐漸形成。[4]

正反變式：一是屬于概念的外延集合的變式，稱為正例變式；二是不屬于概念的外延集合的變式，但與概念對象有某些共同的非本質屬性的變式，其中包括用于揭示概念對立面的反例變式。[5]尤其是在練習鞏固階段，我們要用好反例變式，幫助學生“由反知正”，實現(xiàn)對概念理解的再鞏固。

在“認識分數(shù)”的練習環(huán)節(jié)，為了能讓學生真正理解分數(shù)的意義，我們經(jīng)常會設計如下練習（參見圖2）：哪個圖形里的涂色部分是四分之一，在（ ）里打“√”。當學生做出選擇后，教師進而追問：為什么第一、第二、第四幅圖的涂色部分不是四分之一？討論得知，第一幅圖并沒有平均分，所以其中的一份不能用四分之一表示；第二幅圖把正方形平均分成了5 份，每份應該是它的五分之一，并非四分之一；第四幅圖雖然平均分成4 份，但是不是表示其中一份，所以也不能用四分之一表示。這樣的反例變式，其實是分別抓住了分數(shù)概念的核心，第一幅圖顯然是強調“平均分”，第二幅圖是強調“平均分的份數(shù)”，最后一幅圖則是強調分子是“表示這樣的幾份”。他們各有側重，同樣達到強調分數(shù)內涵的目的。

圖2

有時為了鞏固分數(shù)的概念，我們也會出這樣的判斷題：把一張圓紙片分成4 份，其中一份占它的四分之一。學生的回答截然不同，此時，教者并未做出評判，而是組織學生進行辯論。這時，提供給同學們一些圓形紙片，分別讓不同觀點的同學證明自己的判斷。認為正確的一方潛意識地把這張圓紙片進行“平均分”，而此時，另一方同學提出異議，并折出“非平均分”的情況，全班同學恍然大悟。其實，這樣的教學展現(xiàn)了動態(tài)正反變式，教師不急于做出評判，是給全體同學思辨的機會，辯論的過程更是對分數(shù)核心要素“平均分”的內化和鞏固。

教育心理學家認為：概念的正例傳遞了最有利于概括的信息，反例則傳遞了最有利于鑒別的信息。[6]教學中，教師要善于設計正反變式的素材給學生，給予他們辯論的機會，因為辯論不僅培養(yǎng)他們語言表達和邏輯思維能力，還有助于提高學生的批判性思維能力。

總之，結構化學習是以變式來理解數(shù)學概念的內涵和本質，在知識的關聯(lián)中培養(yǎng)兒童的結構化思維。變式，有利于兒童概念的自主建構，有利于概念的本質理解。只有通過表征形式的不斷“變化”，才能讓兒童感受和理解概念本質的“不變”，從而促進兒童對概念的整體認知，促進兒童認知結構的螺旋上升！▲