湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué) (410007)

伊 波

人教A版數(shù)學(xué)必修4用三角函數(shù)線證明兩角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，敘述如下：

圖1

我們先對(duì)簡(jiǎn)單的情況進(jìn)行討論.如圖1，設(shè)角α、β為銳角，且β<α，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1=β，則∠x(chóng)OP=α-β.過(guò)點(diǎn)P作垂直于x軸，垂足為M，那么OM就是角α-β的余弦線.這里就是要用角α、β的正弦線、余弦線來(lái)表示OM.過(guò)點(diǎn)P作PA垂直于OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直于x軸，垂足為B，過(guò)點(diǎn)P作PC垂直于AB，垂足為C，那么OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC=∠P1Ox=α.于是OM=OB+BM=OB+CP=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα.值得注意的是，以上結(jié)果是在α、β、α-β都是銳角，且β<α的情況下得到的.要說(shuō)明此結(jié)果是否在角α、β為任意角時(shí)也成立，還要做不少推廣工作，并且這個(gè)推廣工作比較繁難，同學(xué)們可以自己動(dòng)手試一試.

筆者發(fā)現(xiàn)很多老師在授課時(shí)都回避了這個(gè)推廣工作，多數(shù)學(xué)生看到“繁難”二字，也望而卻步.但是這個(gè)推廣工作，卻能夠加深學(xué)生對(duì)三角函數(shù)線、誘導(dǎo)公式的理解和應(yīng)用，具備較強(qiáng)的探究?jī)r(jià)值，下面筆者將把這個(gè)證明給予完善.

由誘導(dǎo)公式可知要證cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ,只要證明cos(α0-β0)=cosα0cosβ0+sinα0sinβ0，這里不妨設(shè)α0>β0.

情況三：若α0,β0之間相差二個(gè)象限，則cos(α0-β0)=-cos[(α0-π)-β0]，此時(shí)α0-π和β0在同一個(gè)象限，則可化歸為第一種情況.

以上的補(bǔ)充內(nèi)容即可完善課本中用三角函數(shù)線證明兩角差的余弦公式的過(guò)程.教師在新授課中，不管是概念教學(xué)，還是定理和公式教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的探究力是非常關(guān)鍵的，而這種探究首先應(yīng)該從課本入手，挖掘課本中的“疑難雜癥”，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的探究習(xí)慣，這將為學(xué)生成為研究型學(xué)生奠定基礎(chǔ).