浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

張劍平

2018年浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試題的第17題十分搶眼，屬一類絕對值型函數(shù)最值問題.考試結(jié)束后，很多學(xué)生表示無從下手，利用傳統(tǒng)的分類討論去絕對值過程繁瑣，在有限的時間難以完成.筆者對此題進(jìn)行了一番探究，挖掘其背景，借助高等數(shù)學(xué)知識得到一種新的解法.深受啟發(fā)，現(xiàn)將其整理成文，旨在與同行交流.

一、背景解讀

圖1

解法溯源：上述利用絕對值的幾何意義求解m的最大值避免了繁瑣的討論過程，此題蘊(yùn)涵著高等數(shù)學(xué)背景知識，解法的依據(jù)是切比雪夫最佳逼近直線理論：

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，在[a,b]上有二階導(dǎo)數(shù)，且f″(x)在[a,b]上不變號，則存在[a,b]上的線性最佳逼近多項(xiàng)式p1(x)=kx+b,它的幾何直觀如圖2：

圖2

二、試題鏈接

C.(-∞,1]D.(-∞,2]

圖3

(1)當(dāng)a=0，b=1時，寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若對任意實(shí)數(shù)a，b，總存在實(shí)數(shù)x0∈[0，4]使得不等式f(x0)≥m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

圖4

三、教學(xué)啟示

浙江省近年的學(xué)業(yè)水平考試及聯(lián)考試卷均出現(xiàn)了與切比雪夫最佳逼近理論相關(guān)的題型.由此啟示一線數(shù)學(xué)教師需要在學(xué)科底蘊(yùn)的厚實(shí)上下功夫，能夠站在更高的高度俯視數(shù)學(xué)，并借助高等數(shù)學(xué)知識背景審視問題的本質(zhì)，這有利于重新認(rèn)識一些創(chuàng)新解題方法的源與流，從而擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，提高教學(xué)效率.