耿少波，李 洪，葛培杰

（1. 中北大學(xué)土木工程學(xué)科部，山西 太原 030051；2. 長(zhǎng)安大學(xué)橋梁結(jié)構(gòu)安全技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064；3. 大連理工大學(xué)水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116024）

對(duì)防護(hù)結(jié)構(gòu)及建筑結(jié)構(gòu)而言，炸藥空爆荷載具有超壓峰值高、作用時(shí)間短、擴(kuò)散速度快等特點(diǎn)，相比其它設(shè)計(jì)荷載，為典型的動(dòng)力荷載。在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段，若能將此爆炸荷載等效為靜載計(jì)算，可避免繁瑣的非線(xiàn)性有限元分析，易為結(jié)構(gòu)工程師所接受和使用。因此，多數(shù)規(guī)范中[1-7]爆炸荷載均按考慮動(dòng)力系數(shù)的靜載進(jìn)行結(jié)構(gòu)計(jì)算。入射超壓從零躍遷至正超壓峰值時(shí)長(zhǎng)占沖擊波正超壓作用時(shí)長(zhǎng)比值很低，故規(guī)范常省略此躍遷升壓階段，為簡(jiǎn)化計(jì)算，并進(jìn)一步將入射超壓簡(jiǎn)化為線(xiàn)性衰減荷載。

爆炸荷載等效靜載理論研究方面研究較多。Biggs[8]對(duì)線(xiàn)性衰減類(lèi)動(dòng)力荷載進(jìn)行等效靜載處理，并用于爆炸荷載近似計(jì)算。伍俊等[9]采用等效單自由度與有限元方法對(duì)防爆墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析，模型中爆炸荷載為未考慮躍遷升壓的線(xiàn)性衰減荷載模式，他指出等效單自由度靜載方法結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有良好精度。顏海春等[10]采用爆炸荷載等效靜載對(duì)人防工程封堵梁內(nèi)力分析，但未指出結(jié)構(gòu)延性比與荷載動(dòng)力系數(shù)之間的詳細(xì)關(guān)系。楊濤春等[11]采用爆炸荷載線(xiàn)性衰減函數(shù)對(duì)鋼混組合梁進(jìn)行了等效靜載與有限元分析對(duì)比計(jì)算，但計(jì)算未涉及結(jié)構(gòu)自振頻率、延性比。Baker等[12]指出空爆沖擊波呈指數(shù)型衰減，等效沖量計(jì)算按此計(jì)算較準(zhǔn)確。楊科之[13-14]研究了直線(xiàn)衰減荷載作用下動(dòng)力系數(shù)與延性比的關(guān)系，延性比較大時(shí)動(dòng)力系數(shù)可計(jì)算范圍受限。陳俊杰[15]研究了爆炸荷載沖量簡(jiǎn)化分析方法，所采用的荷載形式為線(xiàn)性衰減荷載模式。Chen等[16]采用等效荷載分析了地下拱結(jié)構(gòu)-土體爆炸耦合效應(yīng)，指出了沖擊波等效單自由度的有效及方便性。Shi等[17]指出采用指數(shù)型函數(shù)進(jìn)行爆炸荷載沖量及等效靜載時(shí)會(huì)更準(zhǔn)確，但未考慮躍遷段的影響。Gantes等[18]計(jì)算了指數(shù)型爆炸荷載作用單自由度結(jié)構(gòu)的彈塑性位移響應(yīng)解，但尚未明確與劃分荷載作用時(shí)間與結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段時(shí)間關(guān)系，且未對(duì)結(jié)構(gòu)延性比、動(dòng)力系數(shù)分析。Louca等[19]分析爆炸作用時(shí)指出正超壓衰減段采用指數(shù)型函數(shù)擬合會(huì)更接近沖擊波實(shí)測(cè)結(jié)果。

設(shè)計(jì)延性比與荷載作用時(shí)長(zhǎng)有關(guān)，線(xiàn)性衰減荷載正超壓等效作用時(shí)長(zhǎng)小于爆炸沖擊波正超壓作用真實(shí)時(shí)長(zhǎng)，這對(duì)動(dòng)力系數(shù)影響如何？同時(shí)，忽略升壓過(guò)程對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)響應(yīng)尤其對(duì)結(jié)構(gòu)彈性響應(yīng)，繼而對(duì)結(jié)構(gòu)塑性階段響應(yīng)及延性比、動(dòng)力系數(shù)的影響程度如何，國(guó)內(nèi)外學(xué)者鮮有研究。

因此，本文考慮超壓從零躍遷升壓至超壓峰值，以指數(shù)形式從超壓峰值衰減至零的分段荷載函數(shù)進(jìn)行等效單自由度體系下結(jié)構(gòu)彈塑性動(dòng)力系數(shù)分析，并與設(shè)計(jì)規(guī)范中采用的未考慮升壓階段的等沖量線(xiàn)性衰減荷載動(dòng)力系數(shù)計(jì)算結(jié)果對(duì)比，為基于延性比的抗爆結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論支持。參考筆者前期所做的TNT、B炸藥空爆沖擊波衰減波形測(cè)試工作及已出版文獻(xiàn)[20]，常規(guī)炸藥等化學(xué)爆炸躍遷升壓至超壓峰值時(shí)長(zhǎng)所占正超壓作用時(shí)長(zhǎng)比一般為3%以下，且接近直線(xiàn)升壓，因此本文考慮的升壓為直線(xiàn)躍遷升壓模式。

1 理想彈塑性體系動(dòng)力微分方程

1.1 等效單自由度微分方程

常規(guī)炸藥等化學(xué)空爆沖擊波正超壓作用時(shí)長(zhǎng)很小，小于結(jié)構(gòu)出現(xiàn)最大動(dòng)位移反應(yīng)時(shí)間[5]。根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等效單自由度理論及達(dá)朗貝爾原理，其等效單自由度體系彈性階段微分方程：

式中：kM-L為彈性等效質(zhì)量-等效荷載系數(shù)比，m為結(jié)構(gòu)單位長(zhǎng)度質(zhì)量，W(t)為結(jié)構(gòu)動(dòng)位移，l為結(jié)構(gòu)長(zhǎng)度，K為結(jié)構(gòu)等效彈簧剛度，Δp(t)為爆炸荷載時(shí)程函數(shù)。

設(shè)在tT時(shí)刻，結(jié)構(gòu)彈性位移達(dá)到最大值WT，速度為vT，之后結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性振動(dòng)。結(jié)構(gòu)塑性階段微分方程為：

式中：km-l為塑性等效質(zhì)量-等效荷載系數(shù)比，qm為結(jié)構(gòu)塑性階段結(jié)構(gòu)抗力。

圖1 荷載簡(jiǎn)化及作用時(shí)長(zhǎng)Fig. 1 Schematic diagram of load types and load durations

圖1給出了3種荷載模式的時(shí)程曲線(xiàn)。作為等效時(shí)長(zhǎng)計(jì)算對(duì)比的基準(zhǔn)量，不考慮躍遷段的指數(shù)型衰減荷載所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：

式中：Δpm為超壓峰值，f(t)為荷載歸一化函數(shù)，t+為沖擊波正超壓作用時(shí)長(zhǎng)，a為荷載曲線(xiàn)形狀調(diào)整參數(shù)。

作為動(dòng)力系數(shù)對(duì)比的基準(zhǔn)量，不考慮正超壓躍遷段，采用等沖量線(xiàn)性衰減荷載模式時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)為：

式中：tI為等沖量線(xiàn)性衰減荷載等效作用時(shí)長(zhǎng)。

增加躍遷時(shí)間而不改變正超壓作用時(shí)長(zhǎng)的指數(shù)型衰減荷載模式，對(duì)應(yīng)函數(shù)為：

式中：t0為荷載從0躍遷至超壓峰值躍遷時(shí)長(zhǎng)。

由式(1)及杜哈梅積分可知，在彈性階段：

式中：Wcm為超壓峰值為靜載數(shù)值時(shí)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)位移，ω為振動(dòng)角頻率。

在tT時(shí)刻彈性響應(yīng)結(jié)束準(zhǔn)備進(jìn)入塑性響應(yīng)，此時(shí)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)最大彈性位移及速度：

且可知塑性階段結(jié)構(gòu)任一時(shí)刻t對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)速度及位移為

由于結(jié)構(gòu)動(dòng)荷載等效為基于理想彈塑階段內(nèi)的等效靜載，其動(dòng)力系數(shù)表達(dá)式為

1.2 沖量及等效時(shí)長(zhǎng)分析

由沖量定義及圖1所示，未考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載所對(duì)應(yīng)沖量函數(shù)表達(dá)式

荷載曲線(xiàn)形狀調(diào)整參數(shù)a數(shù)值越大，指數(shù)型衰減荷載所對(duì)應(yīng)的曲線(xiàn)越陡峭，負(fù)超壓峰值及作用時(shí)長(zhǎng)越小。為較好擬合測(cè)試曲線(xiàn)，其數(shù)值取值范圍可取1.27≤a≤1.61[11]，為滿(mǎn)足建筑結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計(jì)一般特點(diǎn)，本文取端部值即1.27與1.61為后續(xù)分析參數(shù)值。

結(jié)合圖1荷載曲線(xiàn)所包圍的面積變化可知：t0時(shí)刻之前，考慮躍遷后的指數(shù)型衰減荷載所對(duì)應(yīng)的沖量數(shù)值小于未考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載沖量數(shù)值，t0時(shí)刻之后該沖量又偏大。因此需計(jì)算其沖量：

將式(13)～(14)做函數(shù)差值對(duì)a進(jìn)行求導(dǎo)分析，可知對(duì)于任意的t0＞0，當(dāng)a＞0時(shí)，公式(14)對(duì)應(yīng)的數(shù)值為大，即考慮躍遷后，沖量隨之增大，對(duì)結(jié)構(gòu)抗爆設(shè)計(jì)偏不利。

以式(13)為基準(zhǔn)，未考慮躍遷的等沖量線(xiàn)性衰減荷載，其等效時(shí)長(zhǎng)為：

即指數(shù)型衰減荷載真實(shí)作用時(shí)長(zhǎng)t+與等沖量線(xiàn)性衰減荷載等效時(shí)長(zhǎng)ti的比值δ分別為1.464、1.6。

2 結(jié)構(gòu)體系塑性階段劃分

常規(guī)炸藥空爆沖擊波作用時(shí)長(zhǎng)t+很短，經(jīng)等沖量換算后的線(xiàn)性衰減荷載等效時(shí)長(zhǎng)tI更短，結(jié)構(gòu)完成彈塑性最大變形時(shí)間tm＞t+及tm＞tI，即此時(shí)對(duì)應(yīng)結(jié)構(gòu)外荷載為零。結(jié)構(gòu)完成彈性變形進(jìn)入塑性變形時(shí)刻tT存在兩種可能性：t0＜t+＜tT＜tm，即較晚進(jìn)入塑性階段及t0＜tT＜t+＜tm，即較早進(jìn)入塑性階段。

為精簡(jiǎn)篇幅，本文只給出考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載動(dòng)力系數(shù)求解過(guò)程及公式，等沖量線(xiàn)性衰減荷載求法簡(jiǎn)單，公式不再單獨(dú)求解，而以其計(jì)算結(jié)果的相對(duì)差值比例在本文工況示例計(jì)算給出。

2.1 較晚進(jìn)入塑性階段

若令 θ0=ωt0，θT=ωtT，θ+=ωt+，由公式 (7)計(jì)算考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)：

若定義A=Kh

因θT為中間變量，所以需將其求出，求解后其表達(dá)式為

由式(8)可得考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載彈性階段結(jié)束時(shí)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)速度與位移比值為

由式(9)及塑性階段v(tm)=0可導(dǎo)出

由式(10)及塑性階段v(tm)=0可導(dǎo)出

由式(11)可知

式中，Wm為結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段結(jié)構(gòu)最大位移。又因?yàn)?/p>

將式(20)、(22)代入式(21)后可知

2.2 較早進(jìn)入塑性階段

若令θm=ωtm，由前述定義t0＜tT＜t+＜tm及動(dòng)力系數(shù)公式可知，考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)為：

由式(7)可得考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載對(duì)應(yīng)的彈性結(jié)束時(shí)對(duì)應(yīng)的振動(dòng)速度為

由式(10)及塑性階段v(tm)=0可得速度的另一解為

代入式(11)后可得

3 彈塑性階段動(dòng)力系數(shù)計(jì)算算例

3.1 工況分組及計(jì)算結(jié)果

根據(jù)躍遷時(shí)長(zhǎng)占正超壓總時(shí)長(zhǎng)的比值(t0/t+)、爆炸荷載正超壓作用時(shí)間t+與等沖量線(xiàn)性衰減荷載等效時(shí)間tI比值δ確定了4種典型計(jì)算工況。為相互對(duì)比，以等沖量線(xiàn)性衰減荷載結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)θI=ωtI為0.2～2.8，0.2為步長(zhǎng)，共計(jì)14項(xiàng)作為基本計(jì)算數(shù)據(jù)，而ωt+(即θ+)按作用時(shí)長(zhǎng)與等效時(shí)長(zhǎng)換算后再計(jì)算為對(duì)比數(shù)據(jù)。為能涵蓋工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)所對(duì)應(yīng)的延性比，延性比β為1～5作為計(jì)算范圍。工況分組如表1所示。

表1 工況分組Table 1 Calculation cases

由式(23)及(28)可知，動(dòng)力系數(shù)Kh不為顯式函數(shù)，由θT、θ+、θm定義及延性比β的范圍作為控制條件，分別賦初值后迭代求解并匯總。工況1計(jì)算結(jié)果及與線(xiàn)性衰減荷載的差異比值見(jiàn)表2。 表中β為1.0數(shù)據(jù)列為結(jié)構(gòu)動(dòng)力系數(shù)公式退化至彈性狀態(tài)時(shí)求解結(jié)果，紅色間斷線(xiàn)左側(cè)數(shù)據(jù)為考慮躍遷升壓的指數(shù)型衰減荷載模式下結(jié)構(gòu)較晚進(jìn)入塑性階段所對(duì)應(yīng)的公式計(jì)算得出，紅色間斷線(xiàn)包圍的右側(cè)數(shù)據(jù)為考慮躍遷升壓的指數(shù)型衰減荷載模式下結(jié)構(gòu)較早進(jìn)入塑性階段所對(duì)應(yīng)公式計(jì)算得出。表中藍(lán)線(xiàn)左上方(右下方)數(shù)據(jù)為等沖量線(xiàn)性衰減荷載模式下結(jié)構(gòu)較晚進(jìn)入塑性階(較早進(jìn)入塑性階段)段所對(duì)應(yīng)計(jì)算公式得出。工況1～工況4之間相對(duì)差值及與直線(xiàn)型衰減荷載差異如圖2所示。

表2 工況1動(dòng)力系數(shù)計(jì)算KhTable 2 Dynamical coefficient Kh for calculation case 1

圖2 線(xiàn)性衰減荷載與本文荷載計(jì)算模式動(dòng)力系數(shù)對(duì)比Fig. 2 Dynamical coefficients comparison between linear load and exponential loading with transition

由表1、圖2、各計(jì)算工況與規(guī)范指定的等沖量線(xiàn)性衰減荷載計(jì)算結(jié)果可知，延性比β＜1.6時(shí)，等沖量線(xiàn)性衰減荷載動(dòng)力系數(shù)偏大；β＞1.6時(shí)，線(xiàn)性衰減荷載計(jì)算數(shù)值先偏大后偏小。線(xiàn)性衰減荷載的ωt+對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)范圍明顯偏?。沪隆?.0時(shí)，考慮躍遷的指數(shù)衰減荷載計(jì)算結(jié)果數(shù)值大小依次遞減順序?yàn)楣r3、1、4、2，其中工況3與工況1之間的差異最大值為1.2%，最小為0，平均為0.4%，差異極小；工況4與工況2之間的差異最大值為1.5%，最小為0，平均為0.7%，差異很小，略大于工況3與工況1之間的差異，即躍遷時(shí)長(zhǎng)比對(duì)動(dòng)力系數(shù)的影響很小，β=5.0時(shí)，躍遷時(shí)長(zhǎng)比對(duì)動(dòng)力系數(shù)的影響可忽略，指數(shù)形狀調(diào)整參數(shù)影響效果明顯。

結(jié)合圖2，以工況1與工況2之差異為典型對(duì)比，取規(guī)范采用的等沖量線(xiàn)性衰減荷載為基準(zhǔn)量，分析指數(shù)形狀調(diào)整參數(shù)a對(duì)動(dòng)力系數(shù)的計(jì)算結(jié)果影響(η)，見(jiàn)圖3所示。

設(shè)計(jì)參數(shù)θ+＜0.8δ時(shí)，工況1和工況2之間的差異逐漸增大，數(shù)值上仍很小，差異數(shù)值最大為2%，0.8δ＜θ+＜1.4δ時(shí)，除β=5的差異約為5.0%以外，其它延性比對(duì)應(yīng)的工況1和工況2之間的差異先減小后增加，數(shù)值上仍很小，差異約仍小于2%；1.4δ＜θ+＜2.2δ時(shí)，工況1和工況2之間的差異逐漸增大，趨于穩(wěn)定數(shù)值，平均約為3.8%，說(shuō)明形狀調(diào)整參數(shù)a對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響與設(shè)計(jì)參數(shù)θ+緊密相關(guān)。

圖3 線(xiàn)性衰減荷載與典型工況結(jié)果差異性比值Fig. 3 The difference ratio between linear decay load and typical calculation conditions

3.2 結(jié)果分析

考慮躍遷升壓的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)，其求解結(jié)果可分為彈性狀態(tài)、較晚進(jìn)入塑性狀態(tài)、較早進(jìn)入塑性狀態(tài)3種類(lèi)型，3種物理含義對(duì)應(yīng)的間數(shù)據(jù)能很好銜接；等沖量線(xiàn)性衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)也有此3種狀態(tài)，但當(dāng)θ+＞1.4δ時(shí)，彈性狀態(tài)數(shù)據(jù)直接與較早進(jìn)入塑性狀態(tài)的數(shù)據(jù)進(jìn)行銜接，缺少較晚進(jìn)入塑性狀態(tài)的過(guò)渡。在同一爆炸荷載作用下，若結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的柔度越大，即θ+數(shù)值越小，對(duì)應(yīng)的等效靜載動(dòng)力系數(shù)越小，在θ+＜0.4δ時(shí)，4種工況對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系數(shù)均大于由等沖量線(xiàn)性衰減荷載計(jì)算數(shù)值，最大數(shù)值為1.7%，誤差較??；當(dāng)0.6δ≤θ+≤1.2δ時(shí)，其動(dòng)力系數(shù)均小于等沖量線(xiàn)性衰減荷載計(jì)算結(jié)果，最大誤差為10%，當(dāng)θ+＞2.2δ時(shí)，或當(dāng)設(shè)計(jì)延性比β=5且θ+＞1.4δ時(shí)，等沖量線(xiàn)性衰減荷載動(dòng)力系數(shù)無(wú)解而考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載有解。

特別地，4種典型工況中，均當(dāng)延性比β=3且θ+＞1.4δ時(shí)，考慮躍遷后的指數(shù)型衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)均大于等沖量線(xiàn)性衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)數(shù)值，且大于幅度較高，最大誤差為17.7%，即此區(qū)間按規(guī)范所規(guī)定的等沖量線(xiàn)性衰減荷載進(jìn)行等效靜載設(shè)計(jì)時(shí)，偏不安全。

相同躍遷時(shí)長(zhǎng)比值下，當(dāng)θ+＜0.4δ時(shí)，即柔度特別大的結(jié)構(gòu)，形狀調(diào)整參數(shù)a對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系數(shù)計(jì)算數(shù)值誤差基本為0，即形狀調(diào)整參數(shù)a在此范圍對(duì)計(jì)算結(jié)果不敏感；較晚進(jìn)入塑性狀態(tài)范圍內(nèi)，隨著形狀調(diào)整參數(shù)a的提高，動(dòng)力系數(shù)計(jì)算數(shù)值變??；較早進(jìn)入塑性狀態(tài)數(shù)據(jù)，隨形狀調(diào)整參數(shù)a的提高，動(dòng)力系數(shù)計(jì)算數(shù)值增大。

相同的指數(shù)荷載形狀調(diào)整參數(shù)a下，隨著躍遷時(shí)長(zhǎng)比值的增加，所有工況的動(dòng)力系數(shù)均增加，增加幅度較小且有限，最大值1.5%，即不考慮躍遷會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果偏小，但誤差可忽略。

4 結(jié) 論

以考慮升壓躍遷的指數(shù)型衰減荷載為研究對(duì)象，考查了與等沖量線(xiàn)性衰減荷載等效靜載動(dòng)力系數(shù)的差別，并分析了躍遷時(shí)長(zhǎng)比、指數(shù)形狀調(diào)整參數(shù)對(duì)動(dòng)力系數(shù)的影響，得到以下主要結(jié)論：

(1) 與等沖量線(xiàn)性衰減荷載相比，考慮躍遷的指數(shù)型衰減荷載動(dòng)力系數(shù)彈性狀態(tài)、較晚及較早進(jìn)入塑性狀態(tài)銜接更為合理，可進(jìn)行設(shè)計(jì)的延性比β與結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)θ+范圍更廣，較小β及結(jié)構(gòu)荷載參數(shù)θ+對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系數(shù)較小，對(duì)應(yīng)為當(dāng)前現(xiàn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范設(shè)計(jì)偏安全；較大β及θ+對(duì)應(yīng)的動(dòng)力系數(shù)偏大，且幅值較高，若此范圍區(qū)間仍采用規(guī)范類(lèi)線(xiàn)性衰減荷載進(jìn)行抗爆設(shè)計(jì)，偏不安全；

(2) 相同躍遷時(shí)長(zhǎng)比值下，指數(shù)荷載形狀調(diào)整參數(shù)a越大，對(duì)較早進(jìn)入塑性狀態(tài)動(dòng)力系數(shù)提高越大，對(duì)θ+＜0.4δ對(duì)應(yīng)的較晚進(jìn)入塑性狀態(tài)計(jì)算結(jié)果基本不產(chǎn)生影響，對(duì)θ+＞2.5對(duì)應(yīng)的較晚進(jìn)入塑性狀態(tài)計(jì)算數(shù)值為降低作用；

(3) 相同指數(shù)荷載形狀調(diào)整參數(shù)a下，躍遷時(shí)長(zhǎng)比值增加會(huì)導(dǎo)致動(dòng)力系數(shù)結(jié)果提高，但幅度有限，最大值1.5%，平均值依據(jù)不同工況在0.4%～0.7%范圍，可忽略其影響。