馮靜宇

一、問(wèn)題提出

教材是學(xué)生獲得知識(shí)的主要途徑之一，學(xué)生主要通過(guò)學(xué)習(xí)教材上的知識(shí)以及教師教學(xué)，得以提升自己的思維水平。就小學(xué)數(shù)學(xué)幾何板塊的教學(xué)來(lái)說(shuō)，如何從空間觀念、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)出發(fā)，設(shè)計(jì)出既符合學(xué)生心理發(fā)展水平，又符合數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容和課程體系，是一件重要而又艱難的工作?！堕L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》第一次從測(cè)量與計(jì)算的角度，促進(jìn)學(xué)生對(duì)圖形概念的認(rèn)識(shí)，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力、空間觀念等別有意義。從使用范圍和教材特色兩方面考慮，對(duì)人教版和浙教版兩個(gè)版本教材關(guān)于“長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行研究和分析，期望能對(duì)老師們的教學(xué)有所啟發(fā)。

二、研究設(shè)計(jì)

1.研究框架。

根據(jù)范希爾幾何思維水平，學(xué)生的幾何思維分為五個(gè)水平，分別是：視覺(jué)水平、分析水平、非形式化的演繹水平、形式的演繹水平、嚴(yán)密性水平?！堕L(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》這節(jié)課在兩版教材中都處于第一學(xué)段，這一學(xué)段的學(xué)生幾何思維水平應(yīng)位于范希爾幾何思維水平的前三個(gè)水平中。

因此以前三個(gè)水平為框架，我做了如下分類(lèi)：

表1 《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》這節(jié)課內(nèi)容的類(lèi)目表

2.研究方法。

本研究對(duì)人教版和浙教版關(guān)于《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》的例題和習(xí)題進(jìn)行分析，使用內(nèi)容分析法進(jìn)行編碼，建立了四個(gè)主類(lèi)目和八個(gè)次類(lèi)目進(jìn)行比較分析。

3.分析示例。

以?xún)蓚€(gè)版本的例題和習(xí)題為分析單位，對(duì)部分主類(lèi)目下的次類(lèi)目簡(jiǎn)要舉例。浙教版在本課第一課時(shí)，通過(guò)“畫(huà)一畫(huà)，算一算”的題目讓學(xué)生了解長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的幾何構(gòu)圖元素，這就屬于幾何思維水平1.2。

浙教版第4 頁(yè)練習(xí)題2

在學(xué)生經(jīng)歷了畫(huà)一畫(huà)和量一量的操作后，了解了長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的特征并積累了測(cè)量經(jīng)驗(yàn)，為探索長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的公式做了鋪墊。學(xué)生在這些操作中能自己總結(jié)出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式而不是死記硬背，領(lǐng)會(huì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的計(jì)算原理和方法，符合幾何思維水平3.1。

在兩個(gè)版本的教材中，都出現(xiàn)了要求學(xué)生把相同或者不同的長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的圖形并求它的周長(zhǎng)（浙教版第5 頁(yè)題3，人教版第85 頁(yè)題4）。要解決這個(gè)問(wèn)題，就需要學(xué)生具備良好的空間觀念，這符合思維水平4.1。

在浙教版中還出現(xiàn)了利用小正方形拼出固定周長(zhǎng)的多邊形（浙教版第100 頁(yè)，在4×4 的點(diǎn)子圖上，畫(huà)出周長(zhǎng)是12cm 的圖形，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都表示1cm），學(xué)生需要在長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式的演繹過(guò)程中，推理和歸納出有公共邊圖形的周長(zhǎng)公式，這符合幾何思維水平4.2。

三、研究結(jié)果

根據(jù)筆者建構(gòu)的評(píng)價(jià)類(lèi)目分析表，以“題目”為單位，將《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》這節(jié)課中所有的例題和習(xí)題進(jìn)行編碼和歸類(lèi)，對(duì)比分析浙教版和人教版各類(lèi)目占題目總數(shù)的比例，進(jìn)一步揭示浙教版和人教版教材內(nèi)容中幾何思維水平的情況。

1.兩個(gè)版本教材主類(lèi)目所占分量的分析。

以?xún)蓚€(gè)版本的主類(lèi)目的占比來(lái)看，兩版的教材內(nèi)容都以“3.問(wèn)題解決”所占的分量最多，其次是“4.空間觀念”，再其次是“2.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分析”，最少的是“1.長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的辨認(rèn)與建構(gòu)”。

浙教版教材各種水平習(xí)題相對(duì)均衡，在“1.長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的辨認(rèn)與建構(gòu)”“2.長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)分析”“4.空間觀念”這三個(gè)水平的占比都比人教版高；而人教版則特別集中在“3.問(wèn)題解決”水平，從而在這個(gè)水平上占比高于浙教版。

2.兩個(gè)版本教材次類(lèi)目所占分量的分析。

表2 兩個(gè)版本教材次類(lèi)目占比分布表

以?xún)蓚€(gè)版本的次類(lèi)目分布來(lái)看，兩個(gè)版本排在首位都是“3.2 應(yīng)用周長(zhǎng)公式解決問(wèn)題”。浙教版排在前三位分別是“3.2 應(yīng)用周長(zhǎng)公式解決問(wèn)題”“4.2 根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)推理出多連方的周長(zhǎng)計(jì)算方法”“4.1兩個(gè)不同周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形拼成新的長(zhǎng)方形”。人教版在前三位分別是“3.2 應(yīng)用周長(zhǎng)公式解決問(wèn)題”“4.1 兩個(gè)不同周長(zhǎng)的長(zhǎng)方形拼成新的長(zhǎng)方形”“2.2 測(cè)量長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)”。

人教版在“1.1”“1.2”“2.1”“4.2”這四個(gè)次類(lèi)目占比都是0%，說(shuō)明該版本的教學(xué)內(nèi)容在幾何思維水平上有斷層。

3.兩個(gè)版本內(nèi)容在幾何思維水平分布分析。

兩種版本教材在幾何思維水平分布柱狀圖

總體來(lái)看，浙教版覆蓋了范希爾幾何思維前三個(gè)水平，其中以水平2 占的分量最大。而人教版在水平0 中的占比有所缺失。

對(duì)于水平0，如前述人教版有斷層，而浙教維版安排了畫(huà)一畫(huà)的活動(dòng)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中感知周長(zhǎng)的構(gòu)成，積累直觀體驗(yàn)。

對(duì)于水平1，兩個(gè)版本所占比重相似，浙教版比人教版略高，說(shuō)明兩個(gè)版本教材都比較重視分析長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的組成要素及這些要素之間的關(guān)系，以此作為理解周長(zhǎng)公式含義的基礎(chǔ)。

對(duì)于水平2，兩個(gè)版本教材所占分量都比其他兩個(gè)水平要高得多，說(shuō)明兩個(gè)版本教材在《長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)》這節(jié)課的學(xué)習(xí)中，教學(xué)目的旨在讓學(xué)生掌握長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式，并靈活運(yùn)用。

四、思考與啟示

1.尊重兒童認(rèn)知規(guī)律，注重課程內(nèi)容的序列性。

范希爾理論指出，學(xué)生幾何思維具有次序性，也就是說(shuō)學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，要在特定的水平順利發(fā)展，必須掌握前一個(gè)水平的各個(gè)概念和策略。

對(duì)于低段的學(xué)生來(lái)說(shuō)，思維還處于具體形象思維向形式化思維過(guò)渡的階段，因此主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是實(shí)現(xiàn)從水平0 到水平1 的發(fā)展，同時(shí)向水平2 過(guò)渡。

通過(guò)統(tǒng)計(jì)主類(lèi)目和次類(lèi)目的占比，我們可以看到浙教版在每個(gè)幾何思維水平中都有一定的題目設(shè)計(jì)，更符合學(xué)生幾何思維發(fā)展逐步遞進(jìn)的規(guī)律。特別的，浙教版在課程內(nèi)容中設(shè)有“畫(huà)一畫(huà)”“量一量”等具體操作活動(dòng)，讓學(xué)生的從視覺(jué)、觸覺(jué)等多種感官協(xié)同作用形成對(duì)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)本質(zhì)屬性充分感知，從而為接下來(lái)的建構(gòu)、抽象和應(yīng)用等活動(dòng)做好準(zhǔn)備。

2.從多角度關(guān)注問(wèn)題解決。

兩個(gè)版本的教材都非常關(guān)注學(xué)生“問(wèn)題解決”的幾何思維水平。以人教版為例，共配備15 道習(xí)題，其中指向問(wèn)題解決的有10 道，占比67%。且教材強(qiáng)調(diào)多角度利用學(xué)習(xí)的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式進(jìn)行問(wèn)題解決，包括從直接應(yīng)用公式解決問(wèn)題到在具體情境中解決問(wèn)題；從正向利用使用公式到逆向使用公式；從基本的使用公式運(yùn)算到通過(guò)歸納推理得出有圖形拼接產(chǎn)生公共邊的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的計(jì)算。問(wèn)題解決的維度越多樣，學(xué)生從中獲得的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維感悟也就越豐富，幾何思維水平在其中得到提升。

3.從技能的熟練到能力的發(fā)展。

決定課堂成效的不只是技能的熟練度，還有在解決問(wèn)題中表現(xiàn)出的思維的靈活度和思維的創(chuàng)新性。在常規(guī)的問(wèn)題解決的基礎(chǔ)上，浙教版還設(shè)計(jì)了不少有利于學(xué)生主動(dòng)探索與創(chuàng)造的學(xué)習(xí)內(nèi)容，拓展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)空間。

面對(duì)這樣的問(wèn)題（在4×4 的點(diǎn)子圖上，畫(huà)出周長(zhǎng)是12cm 的圖形，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離都表示1cm），有的學(xué)生是通過(guò)逐一增加方格數(shù)的方法解決問(wèn)題。即要畫(huà)出周長(zhǎng)是12 厘米的圖形，先考慮含4 條公共邊的五連方圖形，20－2×4＝12。繼續(xù)考慮6 條公共邊的六連方圖形，24－2×6＝12……一直到九連方。也有的學(xué)生從特殊的周長(zhǎng)是12 厘米的正方形著手解決，然后逐一減少方格數(shù)最后成為含有4 條邊的五連方圖形。

無(wú)論是正向的增加，還是逆向的減少，都是在綜合地解決非常規(guī)的問(wèn)題，在培養(yǎng)學(xué)生幾何思維的靈活性和創(chuàng)新性上有所突破。

成功的幾何學(xué)習(xí)常常表現(xiàn)出這樣的特點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在主動(dòng)構(gòu)造自己的知識(shí)中的作用，他們并不是一味地識(shí)記那些形狀、名稱(chēng)或規(guī)則，而是通過(guò)自己的操作活動(dòng)，去努力感知概念、性質(zhì)和過(guò)程，從自己的活動(dòng)的系統(tǒng)模式中構(gòu)建空間觀念。

對(duì)兩個(gè)版本的教材內(nèi)容進(jìn)行比較，不在于簡(jiǎn)單的評(píng)判高低好壞，而是要深入分析預(yù)期的課程，為教師的教學(xué)提供依據(jù)，作為參考，真正提升學(xué)生的幾何思維水平。