許振芳

數(shù)學(xué)語言是表達(dá)數(shù)學(xué)思維的科學(xué)語言，是反映數(shù)量關(guān)系和空間形式的語言。數(shù)學(xué)語言主要有三種形態(tài)，即文字語言、符號(hào)語言和圖形語言。文字語言常用于定義數(shù)學(xué)概念、陳述數(shù)學(xué)性質(zhì)與定理等，與自然語言相近，直白具體但不簡練；符號(hào)語言簡明、方便，但有時(shí)不易理解；圖形語言直觀清晰，能直觀表示概念定理的本質(zhì)及相互間的關(guān)系，有助記憶和思維，但有時(shí)不易畫出來。三種數(shù)學(xué)語言各有利弊。學(xué)生要學(xué)好數(shù)學(xué)就要學(xué)會(huì)靈活轉(zhuǎn)換三種數(shù)學(xué)語言，使其相得益彰。

一、在例題教學(xué)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換

從小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容來看，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、用數(shù)學(xué)解決問題等方面都有著豐富的數(shù)與形交匯和較多的語言轉(zhuǎn)換運(yùn)用。數(shù)與代數(shù)有較高的符號(hào)語言和文字語言的轉(zhuǎn)換；圖形與幾何本身就是數(shù)形結(jié)合的問題解決，因此蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形轉(zhuǎn)換思想；用數(shù)學(xué)解決問題需要三種數(shù)學(xué)語言之間的相互轉(zhuǎn)換，教學(xué)中應(yīng)該通過一題多轉(zhuǎn)換的比較、問題的變式等引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘數(shù)學(xué)思想內(nèi)涵。在教材例題和習(xí)題中，有著較多的學(xué)習(xí)語言轉(zhuǎn)換的例子。

例，奇數(shù)與偶數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？奇數(shù)與奇數(shù)的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？偶數(shù)與偶數(shù)的和呢？（人教版五年級(jí)下冊(cè)《因數(shù)與倍數(shù)》）

教材閱讀與理解環(huán)節(jié)給出了三個(gè)問題的一種表征方式，即用算式表示：

這個(gè)表征方式就是將文字語言轉(zhuǎn)換成符號(hào)語言，使學(xué)生進(jìn)一步理解題意。

教材分析與解答環(huán)節(jié)提示了三種獲取結(jié)論的方法，即舉例、說理、圖示。

以“奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)”為例，學(xué)生一般都能通過舉例來發(fā)現(xiàn)結(jié)論。教師可以通過圖形演示，數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生確信結(jié)論的正確性。如下圖：

讓學(xué)生用自己的語言來解釋就是“多一塊與少一塊合并，正好組成一個(gè)長方形”或“兩個(gè)除以2 都余1 的數(shù)相加，和是2 的倍數(shù)”。

抽象思維能力強(qiáng)的學(xué)生，還可以讓他們嘗試用字母表示。如，用2n+1、2m+1 表示兩個(gè)奇數(shù)（n、m 是自然數(shù)），則（2n+1）+（2m+1）=2n+2m+2=2（n+m+1）。因?yàn)椋╪+m+1）是自然數(shù)，所以2（n+m+1）一定是2 的倍數(shù)。

這三種方法的結(jié)合使用，可以提高結(jié)論的可靠性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)結(jié)論的理解。而這三種方法，也就是文字、符號(hào)和圖形這三種語言的綜合運(yùn)用。

二、在閱讀理解中掌握文字語義轉(zhuǎn)換

由于數(shù)學(xué)語言的準(zhǔn)確性特點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生閱讀理解一段數(shù)學(xué)文字（如一個(gè)概念、定律或公式）時(shí)，必須了解其中出現(xiàn)的每個(gè)數(shù)學(xué)術(shù)語和每個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的準(zhǔn)確含義，不能忽視或略去任何一個(gè)不理解的數(shù)學(xué)詞匯。教師要根據(jù)不同的閱讀內(nèi)容作出不同的指導(dǎo)：閱讀數(shù)學(xué)定義時(shí)，要求學(xué)生能正確理解定義中的字、詞、句和符號(hào)；對(duì)于關(guān)鍵詞語，要認(rèn)真推敲，明了涵義；對(duì)相近概念的定義，要能加以對(duì)比，分清異同，并舉出符合定義的概念的實(shí)例；避免因?yàn)橛萌粘Ｓ谜Z代替數(shù)學(xué)專門術(shù)語而形成的不等價(jià)。

例如如下句子：（1）a、b 兩數(shù)的倒數(shù)和。（2）a、b兩數(shù)和的倒數(shù)。（3）a 與b 的和的倒數(shù)。（4）a 與b 的倒數(shù)的和。這些句子嵌套關(guān)系結(jié)構(gòu)復(fù)雜，幾乎簡約到不能再簡約的地步。而簡約可能會(huì)給學(xué)生學(xué)習(xí)理解和轉(zhuǎn)換為形式化的語言或式子帶來困難。上述句子貌似意思各不相同，其實(shí)（1）（4）、（2）（3）表達(dá)的各是同一個(gè)意思。因此，在教學(xué)中教師不僅要進(jìn)行句法和句式的規(guī)范化教學(xué)，還應(yīng)用自然語言作出相應(yīng)補(bǔ)充和解釋，引導(dǎo)學(xué)生正確理解其涵義，真正理解數(shù)學(xué)中文字語言的科學(xué)性。

三、在概念掌握中運(yùn)用多種語言轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)的新課學(xué)習(xí)大多是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)。概念法則的表達(dá)形式講究簡練的形式化。在教學(xué)中，學(xué)生因?yàn)榛靖拍畋容^抽象，感覺單調(diào)乏味，不重視也不求甚解；或是只會(huì)死記硬背定理、定義、法則，而不能將其符號(hào)化、圖形化，或不能將文字語言、符號(hào)語言與圖形語言準(zhǔn)確、靈活地進(jìn)行相互轉(zhuǎn)換，導(dǎo)致學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)困難的人數(shù)占有一定的比例。因此新的概念形成時(shí)需要不同語言的等價(jià)轉(zhuǎn)換理解，通過“說”、“寫”、“畫”手段將表達(dá)的文字、符號(hào)以及圖形相聯(lián)系，由淺入深，建構(gòu)起數(shù)學(xué)語義網(wǎng)絡(luò)、圖形和圖像網(wǎng)絡(luò)，以掌握概念法則的本質(zhì)，促進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。

例如，教學(xué)人教版六年級(jí)《百分?jǐn)?shù)的意義》時(shí)，教師首先呈現(xiàn)“谷歌瀏覽器出新版，60%的用戶選擇升級(jí)”這樣一條情境化的信息，然后要求學(xué)生用畫圖形式把60%表示出來。學(xué)生有的用百格圖表示60%，有的用10×1 的格子圖表示60%，還有用線段圖表示出60%。在將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“60%”作進(jìn)一步的交流：從圖中你還能找到相比的兩個(gè)量嗎？（所有用戶和已升級(jí)的用戶）這兩個(gè)量之間有怎樣的關(guān)系？（列出數(shù)量關(guān)系：所有用戶×60%=已升級(jí)的用戶）最后還引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“60%”的認(rèn)識(shí)作進(jìn)一步拓展：在5×3 的格子圖上表示出60%。這樣通過運(yùn)用現(xiàn)實(shí)情境的、操作的、圖示的、口頭的等多種表征方式多角度地解讀“60%”，使學(xué)生豐富了對(duì)“60%”的理解，從而可以較扎實(shí)地掌握百分?jǐn)?shù)的概念。

一般來說，學(xué)生對(duì)同一內(nèi)容的不同語言表示形式的理解難易程度是不同的，但總有一種語言相對(duì)容易接受，而不同的語言能讓學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)對(duì)象從自然、文字、符號(hào)、圖形多角度多側(cè)面地認(rèn)識(shí)和了解，幫助學(xué)生理解不同語言內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)理解數(shù)學(xué)的概念、定理，也有利于解決問題的分析和思路尋找。

四、在問題解決中應(yīng)用同類或異類語言轉(zhuǎn)換

問題解決從一定程度上即為問題的轉(zhuǎn)化，而許多轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是同類語言的轉(zhuǎn)換或不同類語言之間的轉(zhuǎn)換。解題中學(xué)生往往不能將所給題目根據(jù)自己的理解用合適的數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，找不到問題解決的捷徑。因此解題教學(xué)是滲透數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的良好機(jī)會(huì)和重要途徑，也能很好地引導(dǎo)學(xué)生分析獲得問題解決的思路，學(xué)會(huì)解題。

1.運(yùn)用同類語言間的轉(zhuǎn)換解決問題。

如，人教版四年級(jí)上冊(cè)《單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)》一課。

教師出示信息：A 蘋果4 千克24 元；B 蘋果2千克8 元。問：哪一種便宜？

學(xué)生經(jīng)獨(dú)立練習(xí)后，反饋如下：

生1：蘋果B2kg8 元，所以4kg 就是16 元，而蘋果A4kg24 元，因此蘋果B 便宜。

生2：蘋果A4kg24 元，所以2kg 就是12 元，而蘋果B2kg8 元，因此蘋果B 便宜。

生3：蘋果A4kg24 元，所以1kg 就是6 元；而蘋果B2kg8 元，所以1kg 就是4 元。因此蘋果B 便宜。

當(dāng)學(xué)生先把文字信息翻譯成“蘋果A：4kg-24元；蘋果B：2kg-8 元”這樣的符號(hào)信息時(shí)，就形成了明晰的數(shù)量關(guān)系，再利用等量代換將蘋果的質(zhì)量分別統(tǒng)一成4kg、2kg、1kg 后進(jìn)行比較，通過同類語言間的等價(jià)轉(zhuǎn)換解決了問題，并從中理解了“單價(jià)“這一概念和“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”這一數(shù)量關(guān)系式。

2.運(yùn)用異類語言間的轉(zhuǎn)換解決問題。

如，兩個(gè)數(shù)的和是103.4，其中一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位就等于另一個(gè)數(shù)，那么其中較小的數(shù)是（ ）。

此題作為人教版五年級(jí)上冊(cè)期中檢測的選做題，對(duì)學(xué)生來說難度比較大，正確率也很低。“一個(gè)數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位就等于另一個(gè)數(shù)”根據(jù)“小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律”進(jìn)行語義轉(zhuǎn)換，也就是“一個(gè)數(shù)×10=另一個(gè)數(shù)”，將此題轉(zhuǎn)換為如下圖形：

這就是一道典型的和倍問題，即小數(shù)的11 倍是103.4，小數(shù)就是103.4÷（1+10）=103.4÷11=9.4。

在解決這樣的問題時(shí)，列式并不是最重要的，應(yīng)該著重引導(dǎo)學(xué)生分析關(guān)鍵句，畫出線段圖，將文字語言轉(zhuǎn)換成圖形語言，以幫助正確理解題意，從而解決問題。這樣的方法在解決相遇問題、植樹問題、雞兔同籠等問題時(shí)同樣經(jīng)常被使用。

不管是同類語言還是異類語言之間的轉(zhuǎn)換，首先都要求是等價(jià)的。轉(zhuǎn)換的方式和類型體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合、方程等數(shù)學(xué)思想。在問題解決中，要求學(xué)生有條理地說出問題中的已知條件、未知條件、解題思路和步驟等，畫出題目中涉及的圖形并標(biāo)注已知和未知條件，進(jìn)而規(guī)范寫出解題步驟，這樣的結(jié)合和轉(zhuǎn)換可以逐步使數(shù)學(xué)語言成為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的財(cái)富。