徐 穎，黃天民

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，四川 成都 611756)

由于客觀世界的復(fù)雜性和不確定性以及決策者對(duì)客觀事物的認(rèn)知程度等原因，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具很難對(duì)問(wèn)題進(jìn)行準(zhǔn)確的描述和刻畫(huà)，也很難給出準(zhǔn)確的結(jié)果.1965年，Zadeh[1-2]提出模糊集的概念，但其只用隸屬度來(lái)度量模糊性，過(guò)于單一；1983年，Atanassov[3]在模糊集的基礎(chǔ)上提出直覺(jué)模糊集，用隸屬度和非隸屬度來(lái)度量直覺(jué)模糊集的模糊性和不確定性.直覺(jué)模糊集與模糊集不同，直覺(jué)模糊集包含模糊數(shù)的隸屬度、非隸屬度以及猶豫度這三個(gè)方面的信息，在處理具有模糊性與不確定性信息的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中更準(zhǔn)確、更客觀、更細(xì)致等，所以基于直覺(jué)模糊集理論的方法和應(yīng)用，具有較好的實(shí)際意義[4-6].

筆者將直覺(jué)模糊集理論應(yīng)用于多屬性決策問(wèn)題.在直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題中，屬性權(quán)重的客觀性會(huì)影響決策結(jié)果的客觀性.于是，對(duì)屬性權(quán)重的研究也至關(guān)重要.屬性權(quán)重可以由專家直接給出，但其主觀性太強(qiáng).近年來(lái)，許多學(xué)者運(yùn)用信息論中的熵來(lái)計(jì)算屬性權(quán)重，能夠較好地描述問(wèn)題的不確定性，并且得出的屬性權(quán)重具有客觀性[7-11].本文也采用熵權(quán)法來(lái)確定屬性權(quán)重.

文中提出一個(gè)新的直覺(jué)模糊熵，能夠較好地解決一組直覺(jué)模糊集在隸屬度和非隸屬度相同以及猶豫度相同無(wú)法區(qū)分的情況，以及一些難以區(qū)分的情況.并將提出的直覺(jué)模糊熵應(yīng)用于屬性權(quán)重的求解，能夠增加屬性權(quán)重的客觀性.給出決策步驟并應(yīng)用于實(shí)例，說(shuō)明該決策步驟的有效性及合理性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[11]設(shè)X是一個(gè)非空集合，則稱A={[xi,uA(xi),vA(xi)|xi∈X]}為直覺(jué)模糊集IFSs，其中uA(xi)和vA(xi)分別為X中元素xi關(guān)于A的隸屬度和非隸屬度，即uA:X→[0,1],xi∈X→uA(xi)∈[0,1];vA:X→[0,1],xi∈X→vA(xi)∈[0,1],且滿足條件0≤uA(xi)+vA(xi)≤1.

定義2[11]設(shè)X中的任一直覺(jué)模糊集，若πA(xi)=1-uA(xi)-vA(xi),xi∈X,則稱πA(xi)為元素xi屬于A的猶豫度或者不確定度，顯然0≤πA(xi)=1-uA(xi)-vA(xi)≤1,xi∈X.

定義3[11]設(shè)A={[xi,uA(xi),vA(xi)|xi∈X]}和B={[xi,uB(xi),vB(xi)|xi∈X]}為兩個(gè)直覺(jué)模糊集，則運(yùn)算法則如下：

1)A?B,當(dāng)且僅當(dāng)uA(xi)≤uB(xi),vA(xi)≥vB(xi),?xi∈X;

2)A=B,當(dāng)且僅當(dāng)A?B和B?A;

3)A的補(bǔ)集AC={[xi,vA(xi),uA(xi)]|xi∈X}.

定義4[12]實(shí)值函數(shù)E:IFSs(X)→[0,1]稱為直覺(jué)模糊熵，若滿足如下公理化要求：

1)E(A)=0?A是分明集；

2)E(A)=1?uA(xi)=vA(xi)=0,?xi∈X;

3)E(A)=E(AC);

5)當(dāng)πA(xi)=πB(xi)時(shí)，|uA(xi)-vA(xi)|≤|uB(xi)-vB(xi)|,?xi∈X,或者當(dāng)|uA(xi)-vA(xi)|=|uB(xi)-vB(xi)|時(shí)，πA(xi)≥πB(xi),?xi∈X,則E(A)≥E(B).

2 改進(jìn)直覺(jué)模糊熵的提出

目前所提出的直覺(jué)模糊熵存在的缺陷可以分為以下2類：

1)一類是沒(méi)有考慮猶豫度對(duì)直覺(jué)模糊熵值的影響.如Zeng等[13]提出的直覺(jué)模糊熵：

2)另一類是考慮了猶豫度對(duì)直覺(jué)模糊熵值的影響.但某些情況不能夠進(jìn)行區(qū)分.如劉云生等[14]提出的直覺(jué)模糊熵：

王毅等[7]提出的直覺(jué)模糊熵：

高明美等[12]提出的直覺(jué)模糊熵：

以及趙飛等[10]提出的直覺(jué)模糊熵：

例2設(shè)A1={0.1,0.5,0.4},A2={0.2,0.5,0.3},A3={0.4,0.5,0.1},A4={0.3,0.4,0.3}為四個(gè)直覺(jué)模糊集，通過(guò)計(jì)算可得：

EG(A1)=0.5,EG(A2)=0.5,EG(A3)=0.5,EG(A4)=0.54;

EZ(A1)=0.586 7,EZ(A2)=0.622 7,EZ(A3)=0.823 1,EZ(A4)=0.698 8;

由此可知，EG(A)不能區(qū)分A1,A2,A3;EZ(A)雖然能夠區(qū)分A1,A2,A3,A4,但是EZ(A3)>EZ(A4)=0.698 8,不符合直覺(jué).

為了彌補(bǔ)以上直覺(jué)模糊熵的缺陷，提出一種改進(jìn)的直覺(jué)模糊熵計(jì)算公式.對(duì)于任意的A={[xi,uA(xi),vA(xi)|xi∈X]}，定義：

(1)

通過(guò)計(jì)算可得:

例1E(A1)=0.75,E(A2)=0.5,E(A3)=0.65;

例2E(A1)=0.477 8,E(A2)=0.462 5,E(A3)=0.466 7,E(A4)=0.578 6;

于是可以彌補(bǔ)以上直覺(jué)模糊熵存在的缺陷.

定理1式(1)是直覺(jué)模糊熵.

證明只需證E(A)滿足定義4中的1)～5)即可.

|uA(xi)-vA(xi)|≤|uB(xi)-vB(xi)|, ?xi∈X,有

當(dāng)|uA(xi)-vA(xi)|=|uB(xi)-vB(xi)|時(shí)，πA(xi)≥πB(xi),?xi∈X,有

3 熵權(quán)法確定屬性權(quán)重

本文利用直覺(jué)模糊熵來(lái)確定屬性權(quán)重，即用熵權(quán)法確定屬性權(quán)重，決策問(wèn)題中的確定信息越多越有利于求解出屬性權(quán)重，則直覺(jué)模糊熵越小.于是，可以建立如下的非線性規(guī)劃模型：

構(gòu)造Lagrange函數(shù)：

分別對(duì)wj和λ求偏導(dǎo)得：

解得：

(2)

由式(2)可知，某屬性所包含的確定信息越多，即直覺(jué)模糊熵越小，屬性權(quán)重越大，符合實(shí)際決策情況.

4 決策步驟及實(shí)例分析

決策步驟：

步驟1 對(duì)于給出的直覺(jué)模糊決策矩陣，由式(1)計(jì)算出各屬性的直覺(jué)模糊熵；

步驟2 由式(2)計(jì)算出各屬性權(quán)重；

步驟4 對(duì)各方案進(jìn)行排序和擇優(yōu).

例3 某房地產(chǎn)投資公司欲投資新建一處高端寫(xiě)字樓，通過(guò)行業(yè)分析需要考慮4個(gè)決策屬性(都轉(zhuǎn)化為同一類型的屬性)A={a1,a2,a3,a4}，決策方案為U={x1,x2,x3,x4}，由專家給出的直覺(jué)模糊決策矩陣Y構(gòu)造如下[8]：

a1a2a3a4

步驟1 計(jì)算得各屬性的直覺(jué)模糊熵：E(a1)=0.419 8;E(a2)=0.225 7;E(a3)=0.370 7;E(a4)=0.544 1;

步驟2 計(jì)算得各屬性權(quán)w1=0.246 7;w2=0.284 2;w3=0.258 3;w4=0.210 8;

步驟3 計(jì)算得各方案的綜合得分函數(shù)值V(x1)=0.410 7;V(x2)=0.340 8;V(x3)=0.595 8;V(x4)=0.330 0;

步驟4 對(duì)各方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)：由V(x3)>V(x1)>V(x2)>V(x4)得x3>x1>x2>x4(“>”表示優(yōu)于)，方案x3最優(yōu).

該決策步驟得出的各方案排序結(jié)果和文獻(xiàn)[9]得出的排序結(jié)果一致，說(shuō)明了該決策步驟的有效性.

5 結(jié)語(yǔ)

綜合分析文獻(xiàn)[7]、 [10]、 [12-14]所存在的缺陷，提出了一個(gè)新的直覺(jué)模糊熵，克服了文獻(xiàn)中的缺陷.直覺(jué)模糊多屬性決策問(wèn)題中，存在屬性權(quán)重未知的情況.為解決這類情況，需要從已知的數(shù)據(jù)信息中提取出相關(guān)信息來(lái)確定屬性權(quán)重.本文利用直覺(jué)模糊熵來(lái)確定屬性權(quán)重，有利于增加屬性權(quán)重的客觀性.給出的決策步驟運(yùn)用于文獻(xiàn)[9]中的實(shí)例，與文獻(xiàn)[9]結(jié)果一致，但本文的決策步驟相對(duì)于文獻(xiàn)[9]更為簡(jiǎn)單.但在公理化定義的規(guī)范化上，研究還不夠深入，需進(jìn)一步完善.