徐鳳杰,楊國來,王麗群

(南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,江蘇 南京 210094)

彈丸膛內(nèi)運(yùn)動過程是受多種隨機(jī)因素影響的隨機(jī)過程[1],隨機(jī)因素是導(dǎo)致彈丸起始擾動差異與內(nèi)彈道性能指標(biāo)差異的根本原因。這些隨機(jī)因素包括:火炮內(nèi)膛結(jié)構(gòu)參數(shù)、彈丸結(jié)構(gòu)參數(shù)以及發(fā)射裝藥參數(shù),任何隨機(jī)因素的變化都對最終發(fā)射結(jié)果造成很大影響。因此,有必要進(jìn)行考慮參數(shù)不確定性的火炮內(nèi)膛發(fā)射性能綜合優(yōu)化,獲得各關(guān)鍵參數(shù)的最佳組合以及參數(shù)區(qū)間,為火炮與彈藥系統(tǒng)的一體化設(shè)計提供理論參考。

目前,對彈丸膛內(nèi)運(yùn)動過程的研究大多集中在彈-炮耦合發(fā)射動力學(xué)方面。李振[2]建立了彈-炮耦合發(fā)射動力學(xué)模型,分析了不同因素對車載炮彈丸起始擾動的影響。陳光宋[3]研究了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動規(guī)律,分析了彈-炮耦合機(jī)理,并對關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行識別?，F(xiàn)有對彈丸起始擾動問題的研究都是以彈-炮耦合系統(tǒng)為研究對象,將整個彈丸膛內(nèi)運(yùn)動過程視為確定性過程,通過對單一因素逐個進(jìn)行分析,研究不同因素變化對起始擾動的影響,涉及的優(yōu)化問題也均為忽略參數(shù)不確定性而進(jìn)行的確定性優(yōu)化。例如,李強(qiáng)等[4]建立了某大口徑輕型牽引炮彈-炮耦合有限元模型并利用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)近似模型方法對彈丸起始擾動進(jìn)行優(yōu)化研究。在火炮發(fā)射過程不確定性問題方面,王麗群等[5]針對“彈丸出炮口運(yùn)動-射擊密集度”這一過程,采用隨機(jī)穩(wěn)健設(shè)計理論對射擊密集度進(jìn)行了隨機(jī)優(yōu)化,但是該研究忽略了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動階段。對彈丸起始擾動進(jìn)行確定性優(yōu)化,得到的設(shè)計變量優(yōu)化結(jié)果都是確定性的參數(shù)組合,無法適應(yīng)實際生產(chǎn)中的不確定性問題,缺乏富有建設(shè)性的參數(shù)區(qū)間來指導(dǎo)生產(chǎn)。因此,針對上述問題,本文從彈-炮-藥一體化設(shè)計的角度出發(fā),綜合考慮彈丸起始擾動與內(nèi)彈道壓力等性能指標(biāo),研究了火炮膛內(nèi)發(fā)射性能的隨機(jī)不確定性優(yōu)化問題。首先采用內(nèi)彈道模型與彈-炮耦合有限元模型,構(gòu)建膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型。然后基于隨機(jī)規(guī)劃理論,構(gòu)建彈丸起始擾動的不確定性優(yōu)化模型,并結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型技術(shù)與多目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解,確定了各彈、炮、藥隨機(jī)因素的參數(shù)區(qū)間。

1 膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型

彈丸膛內(nèi)運(yùn)動時期,身管與彈丸以及發(fā)射裝藥燃燒產(chǎn)生的火藥燃?xì)馊咧g呈現(xiàn)互相作用的關(guān)系,因此研究彈丸膛內(nèi)運(yùn)動就必須綜合考慮彈、炮、藥三者之間的耦合關(guān)系。為研究彈丸膛內(nèi)運(yùn)動時期彈、炮、藥三者之間的關(guān)系,本文采用有限元方法建立火炮身管、彈丸的有限元模型,對ABAQUS進(jìn)行二次開發(fā),編寫內(nèi)彈道程序(VUAMP)為彈丸提供彈底壓力。

為了簡化計算,對彈丸膛內(nèi)運(yùn)動過程做如下假設(shè):①忽略彈帶擠進(jìn)過程,認(rèn)為彈帶已經(jīng)完全擠入膛線;②將彈丸本體視為剛體;③不考慮發(fā)射過程中溫度的變化。

1.1 有限元模型

身管、彈丸以及彈帶均采用八節(jié)點六面體單元劃分。由于彈丸設(shè)為剛體以及身管在發(fā)射過程中變形很小,因此這兩部分網(wǎng)格尺寸可以適當(dāng)放大;彈帶在彈丸運(yùn)動過程中與膛線之間具有很強(qiáng)的接觸力,因此網(wǎng)格尺寸取較小值。模型如圖1所示。

圖1 有限元模型

1.2 內(nèi)彈道模型

為描述彈丸膛內(nèi)運(yùn)動過程發(fā)射裝藥變化對彈丸運(yùn)動的影響,編寫內(nèi)彈道推力子程序(VUAMP),提供彈底壓力。內(nèi)彈道模型選用建立在熱力學(xué)基礎(chǔ)上的混合裝藥經(jīng)典內(nèi)彈道模型,其數(shù)學(xué)模型為[6]

(1)

已燃相對厚度Zi可以采用四階龍格庫塔法求解微分方程解出,彈丸速度v與行程l可以利用ABAQUS中的傳感器直接讀取,兩者結(jié)合可以解出火藥燃?xì)鈮毫。具體執(zhí)行過程:給定內(nèi)彈道初始參數(shù),計算初始內(nèi)彈道壓力值,推動彈丸前進(jìn),然后將傳感器讀出的彈丸運(yùn)動速度與行程作為下一步計算的初始條件,計算出下一步的膛壓,如此往復(fù)直至彈丸出炮口。膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型的計算流程如圖2所示。

圖2 膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型求解流程

2 火炮膛內(nèi)發(fā)射性能的不確定優(yōu)化模型

研究不確定性問題一般可分為3類方法:概率模型、模糊模型以及區(qū)間模型[7]。本文采用隨機(jī)優(yōu)化的方法來進(jìn)行不確定優(yōu)化。

2.1 不確定參數(shù)及其分布

彈丸膛內(nèi)運(yùn)動階段受到大量不確定因素的影響。本研究中考慮的不確定因素具體包括以下4類,共計15個:①火炮內(nèi)膛結(jié)構(gòu)參數(shù):陰線寬b、膛線深a、藥室容積Vd;②彈丸特征參數(shù):彈丸質(zhì)量偏心ra、彈帶位置lR、彈帶寬度bp;③彈-炮耦合參數(shù):彈、炮間隙ed;④發(fā)射裝藥參數(shù):薄火藥質(zhì)量m1、厚火藥質(zhì)量m2、薄火藥弧厚δ1、厚火藥弧厚δ2、薄火藥孔徑d1、厚火藥孔徑d2、薄火藥長度l1、厚火藥長度l2。

對于一個優(yōu)化問題,假設(shè)各隨機(jī)因素之間相互獨(dú)立,且已知它們的分布類型,可以通過調(diào)整分布參數(shù)(例如均值和標(biāo)準(zhǔn)差)來獲得最優(yōu)解,將其稱為隨機(jī)設(shè)計變量,即x=(x1x2…xs)T。概率密度函數(shù)可以全面衡量一個隨機(jī)因素的隨機(jī)特性,通過特征量(例如正態(tài)分布的均值和標(biāo)準(zhǔn)差,均勻分布的區(qū)間中值與半徑,三參數(shù)威布爾分布的位置參數(shù)、形狀參數(shù)和尺度參數(shù)),可以具體量化其隨機(jī)特性,通過隨機(jī)取樣模擬其隨機(jī)特性。

確定不確定參數(shù)的分布規(guī)律及其分布參數(shù)是隨機(jī)優(yōu)化的前提,最準(zhǔn)確的確定方式是對這些參數(shù)進(jìn)行大量的實驗,分析實驗數(shù)據(jù)得到其統(tǒng)計規(guī)律,從而確定其分布規(guī)律和分布參數(shù)。但是,由于火炮系統(tǒng)過于復(fù)雜,難以進(jìn)行大量的實驗,因此根據(jù)文獻(xiàn)[8]和工程實際,假設(shè)這些參數(shù)服從正態(tài)分布,并以其均值μx和標(biāo)準(zhǔn)差σx作為隨機(jī)設(shè)計變量。

2.2 不確定性目標(biāo)函數(shù)與約束的處理

在考慮隨機(jī)因素的不確定優(yōu)化中,目標(biāo)函數(shù)F與約束函數(shù)G均為隨機(jī)函數(shù),需要對其按照一定準(zhǔn)則進(jìn)行處理,常用的準(zhǔn)則有概率模型P,均值模型μ,標(biāo)準(zhǔn)差模型σ。

(2)

式中:kp為指標(biāo)數(shù)。顯然,P越小,說明輸出特性的合格概率越大,即輸出特性越穩(wěn)定。不合格概率的數(shù)學(xué)含義如圖3中陰影部分所示。

圖3 不合格概率

均值模型為

(3)

式中:Xk為樣本值,T為樣本統(tǒng)計量的數(shù)目。均值模型體現(xiàn)了系統(tǒng)的目標(biāo)性能。標(biāo)準(zhǔn)差為

(4)

本文考慮的不確定目標(biāo)函數(shù)主要為彈丸起始擾動,即彈丸出炮口時刻的運(yùn)動姿態(tài)是決定火炮設(shè)計精度的重要技戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)。彈丸起始擾動包括彈丸高低擺動角位移UR2、彈丸水平擺動角位移UR3、彈丸高低擺動角速度ωR2以及彈丸水平擺動角速度ωR3。通過均值μ模型和標(biāo)準(zhǔn)差σ模型對不確定目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

對于不確定約束函數(shù),從內(nèi)彈道性能一致性的角度出發(fā),本文選擇最大膛壓pmax與彈丸炮口初速v波動作為優(yōu)化準(zhǔn)則,設(shè)最大膛壓目標(biāo)值pob,j=320 MPa,偏差Δp=10 MPa;設(shè)定彈丸炮口初速目標(biāo)值vob,j=980 m/s,偏差Δv=10 m/s。

對均值、標(biāo)準(zhǔn)差、概率的計算求解均采用蒙特卡洛模擬方法[9],蒙特卡洛模擬是求解的核心。對概率的計算,可以采用數(shù)值積分方法求解。根據(jù)函數(shù)傳遞理論,對于分布類型都屬于正態(tài)分布的設(shè)計變量,其目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)也應(yīng)屬于正態(tài)分布。在采用蒙特卡洛模擬獲得性能指標(biāo)的特征值(均值、標(biāo)準(zhǔn)差)后,可以獲得各不確定約束的精確概率密度函數(shù)。正態(tài)分布的概率密度函數(shù)為

(5)

對于本文研究中的性能指標(biāo),正態(tài)分布概率密度函數(shù)無法直接積分,因此在求概率時可以采用高斯積分方法來求解。

(6)

式中:xs為積分點坐標(biāo),As為積分系數(shù),nq為積分所用項數(shù)。

應(yīng)當(dāng)指出,本文性能指標(biāo)的參數(shù)區(qū)間并不是[-1,1],因此需要轉(zhuǎn)換積分區(qū)間:

(7)

在求解上述目標(biāo)函數(shù)與約束函數(shù)的過程中,要用到統(tǒng)計特征值μ與σ,需要大量依靠蒙特卡洛模擬,但是這些性能指標(biāo)來自于膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型,每計算一次都需要耗費(fèi)大量的計算時間,進(jìn)行大量的隨機(jī)抽樣,這將帶來海量的計算任務(wù),工程上難以實現(xiàn)。因此,本文選用搭建代理模型的方法來簡化計算過程以提高計算效率。

2.3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型

常見的構(gòu)造代理模型的方法有:響應(yīng)面法、徑向基函數(shù)法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法。其中神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具備很強(qiáng)的非線性映射能力,一個3層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠擬合任意復(fù)雜的非線性函數(shù)。BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過程如圖4所示。

圖4 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過程

首先,運(yùn)用最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計方法,在隨機(jī)設(shè)計變量空間中安排80組試驗樣本,隨機(jī)設(shè)計變量取值范圍如表1所示。將這80組試驗樣本帶入膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型中進(jìn)行計算,并將得到的最大膛壓pmax、彈丸初速v以及彈丸起始擾動作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出。然后,以試驗設(shè)計樣本作為輸入,在Matlab軟件中利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱建立一個3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

表1 隨機(jī)設(shè)計變量及取值范圍

為驗證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確性,在設(shè)計空間內(nèi)按照最優(yōu)拉丁超立方試驗設(shè)計安排20組驗證樣本,并帶入膛內(nèi)發(fā)射動力學(xué)模型進(jìn)行計算,得到一組輸入、輸出關(guān)系,以此計算確定性系數(shù)R2,驗證BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的準(zhǔn)確度。

(8)

表2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)精度檢驗

在獲得BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型以后,對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行1 000次隨機(jī)模擬,對最大膛壓pmax、彈丸初速v以及彈丸起始擾動進(jìn)行統(tǒng)計分析,得出其μ與σ,并用于后續(xù)優(yōu)化計算。

3 基于NSGA-Ⅱ的不確定優(yōu)化

隨機(jī)不確定優(yōu)化的求解涉及多個設(shè)計變量,是一個典型的多目標(biāo)優(yōu)化問題,遺傳算法是最常用的多目標(biāo)優(yōu)化算法。帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)是多目標(biāo)優(yōu)化算法中應(yīng)用最為廣泛的[10-11],所以本文以此對不確定模型進(jìn)行優(yōu)化求解,尋求不確定優(yōu)化準(zhǔn)則下設(shè)計變量的最優(yōu)解,確定設(shè)計變量的最佳區(qū)間。

3.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

進(jìn)行不確定優(yōu)化設(shè)計需要對設(shè)計變量的均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ進(jìn)行優(yōu)化,以此來確定設(shè)計變量的最優(yōu)取值區(qū)間。

本文采用的彈丸起始擾動有4個分量,分別是彈丸高低擺動角速度ωR2、水平擺動角速度ωR3、高低擺動角位移UR2與水平擺動角位移UR3,在建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)時應(yīng)當(dāng)包含4個指標(biāo)。優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

(9)

以最大膛壓pmax與彈丸初速v的不合格概率P為約束條件,以彈丸起始擾動為優(yōu)化目標(biāo),建立如下優(yōu)化數(shù)學(xué)模型:

(10)

3.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

通過上述優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化,求得隨機(jī)設(shè)計變量的Pareto前沿,如圖5所示。

圖5 不確定優(yōu)化Pareto前沿

從Pareto前沿中可見,經(jīng)過多目標(biāo)遺傳算法共尋找出滿足不確定約束準(zhǔn)則下的最優(yōu)解共計15個,這些設(shè)計點都得到了不同程度的優(yōu)化。Pareto前沿左側(cè)彈丸起始擾動的均值μ非常小,說明彈丸擾動值更小;Pareto前沿右側(cè)彈丸起始擾動的標(biāo)準(zhǔn)差σ非常小,說明擾動值更為穩(wěn)定。為兼顧均值與標(biāo)準(zhǔn)差,選擇圖5中的設(shè)計點A作為最終的優(yōu)化結(jié)果,既可以實現(xiàn)較小的擾動,又可以滿足擾動較小的波動性。以彈丸高低擺動角速度為例,優(yōu)化結(jié)果見圖6。

圖6 彈丸高低擺動角速度優(yōu)化結(jié)果對比

經(jīng)過隨機(jī)不確定優(yōu)化,兼顧最大膛壓與彈丸初速不合格概率2個優(yōu)化準(zhǔn)則,得到彈丸起始擾動的不確定優(yōu)化解,由隨機(jī)設(shè)計變量的均值與標(biāo)準(zhǔn)差確定最終的設(shè)計變量參數(shù)區(qū)間,圓整后的結(jié)果如表3所示。

表3 設(shè)計變量參數(shù)區(qū)間優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)論

本文采用隨機(jī)不確定優(yōu)化理論,研究了彈丸起始擾動和最大膛壓等膛內(nèi)發(fā)射性能的不確定性優(yōu)化問題。最終獲得了各彈、炮、藥隨機(jī)參數(shù)的合理參數(shù)區(qū)間,初步證明了隨機(jī)不確定理論在彈丸起始擾動等火炮膛內(nèi)發(fā)射性能優(yōu)化方面的可行性與有效性。該方法可以為火炮與彈藥系統(tǒng)的一體化設(shè)計以及參數(shù)誤差方案的制定提供理論參考。