岳 超 陸 強

(山東第一醫(yī)科大學醫(yī)學信息工程學院，山東 泰安 271016)

近年來，分數階微積分的應用已成為熱門研究課題，分數微積分是整數微積分的推廣，分數階微分算子具有記憶和遺傳特性，在應用方面比整數微積分更適合描述現實生活中的基本現象。時滯現象存在于生物、化學、工程、物理、醫(yī)藥等領域，時滯分數階系統(tǒng)的研究已取得了一些成果[1-7]。為了研究分數階時滯CPG和運動中樞耦合關系及其對運動的控制作用，我們用神經群模擬運動中樞的動態(tài)特性，構造一個分數階時滯CPG與運動中樞耦合關系的數學模型。利用分岔理論和最大李雅普諾夫指數分析模型的動態(tài)特性，討論神經群參數和分數階時滯CPG模型參數改變時對耦合模型的影響，探討運動中樞調控CPG的作用。

1 對象與方法

1.1 研究對象

分數階時滯CPG與運動中樞耦合關系的數學模型。

1.2 方法

1.2.1離散分數階微積分

為便于研究分數階時滯CPG和運動中樞的耦合關系，將離散分數階微積分的定義及結果列舉如下：

定義1[8]對于給定的u：a→和 0<ν，ν階和分定義為

(1)

其中a為始點,σ(s)=s+1和t(v)定義為

(2)

定義2[9]若0

(3)

其中ta+m-v，m=[v]+1

定理1[10]delta分數階差分方程

(4)

等價于積分方程

×f(s+v-1，u(s+v-1))，

t∈a+m，

(5)

其中初始互動u0(t)為

(6)

1.2.2建立分數階時滯CPG和NMM的耦合模型

根據CPG的狀態(tài)方程[11-12]和神經群的狀態(tài)方程[13]，當神經群的輸出x2-x3作為CPG的輸入，同時CPG的輸出max(0,x7)-max(0,x8)加延時作為神經群的輸入，得到新模型的狀態(tài)方程，如公式(7)所示。其中，ad=a/k表示比局部神經元興奮脈沖響應延時k倍。Jansen等[13]設置這些參數用來模擬前腦和視覺皮層的聯系，連接常數k1和k2，在反饋前減弱了一個區(qū)域的輸出，這兩個參數的值都設置為1。

1.2.3耦合模型的動態(tài)特性

為了研究耦合模型動態(tài)特性，這里研究其分岔特性。初始值設為0.04，14.11，11.01，-0.46，-216.07，-189.02，-10.54，0.45，0.25，0.67，0.01，0.05，0.15，0.24][14]，用四階Runge-Kutta方法來解析系統(tǒng)(7)，得到分岔圖如圖1所示，其中參數p在區(qū)間[-50,400]間隔0.5變化。

由圖1可以看到主回路在p=113時分岔，形成兩個回路。當p=137兩個回路又重新合并在一起。當p>371，系統(tǒng)逐漸穩(wěn)定。

1.2.4耦合模型的參數影響分析

當參數p變換時，神經群的模式也同時進行改變[14]。當參數p在四個區(qū)間[0, 113], (113, 137], (137, 371]和(371, 569]內取值時分別對應四種模式。下面以p=60時神經群和CPG耦合模型的對應關系為例給出圖2 。

討論隨著參數k 的改變，對CPG和神經群的影響。最大李雅普諾夫指數用來描述神經群的混沌狀態(tài)。設定參數p=60,起始出現神經群的第四種模式，CPG輸出為常量，如圖3所示，此時k=32。當k>35，第三種和第四種模式共存。隨著參數k的增大， 第二種、三種和四種模式同時存在。當k>49，四種模式共存。

(7)

圖1 分岔圖

圖2 模型輸出和相圖

圖3 模型輸出和相圖(p=60 , k=32)

經研究可知：當參數d,e和w發(fā)生改變，神經群的模式和CPG的相圖發(fā)生改變。參數d表示自抑制的強度值，隨著參數d增加，神經群從混沌狀態(tài)變?yōu)榉€(wěn)定狀態(tài)，CPG相圖變?yōu)闃O限環(huán)。當參數d增大，因為抑制效果，CPG相圖收斂到零平面。參數w表示CPG間的抑制作用，當參數w在一個合適的區(qū)間時，CPG輸出為周期振蕩，神經群狀態(tài)是穩(wěn)定模式。然而，當參數值增大，神經群狀態(tài)變?yōu)榛煦鐮顟B(tài)。參數e表示外部興奮輸入，其影響CPG輸出的幅值。下面僅給出p =115，d=0時的模型輸出和相圖4。

圖4 參數d改變對應的模型輸出和相圖 (d=0, p=115)

2 結果與討論

新模型的動態(tài)特性說明神經群和CPG的狀態(tài)可以通過調節(jié)這些參數來實現調整，并且它們具有對應關系。因此大腦可以通過這些參數控制運動模式。當神經群看做大腦皮層，CPG看做運動模式。穩(wěn)定的運動模式可以通過神經中樞系統(tǒng)、運動本體和環(huán)境的相互作用來實現。參數的不同值導致CPG狀態(tài)的變換,當取合適的數值時，CPG是極限環(huán)狀態(tài)。同時，神經群的狀態(tài)是穩(wěn)定模式，與CPG的狀態(tài)相互對應。許多CPG假設嵌入肢體，由參數空間組成，其與大腦皮層相互對應。人類的這種特性可以減輕大腦的負荷，簡化運動控制。本研究對運動神經學和運動控制學有一定幫助。