廣東省東莞市石龍第三中學(xué)(523323) 王烈群

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出:”數(shù)學(xué)思想在義務(wù)教育階段應(yīng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行逐步滲透,是把知識(shí)型教學(xué)轉(zhuǎn)化為能力型教學(xué)的關(guān)鍵,是實(shí)施素質(zhì)教育的重要組成部分.”分類討論就是其中一種重要的數(shù)學(xué)思想.分類討論思想是按照某一標(biāo)準(zhǔn)將研究問題劃分為不同類別,逐類研究獲取每類結(jié)論,最后綜合各類結(jié)論解答整個(gè)問題.分類討論的一般步驟:1?明確分類對(duì)象;2?對(duì)問題中的若干條件依據(jù)同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行合理分類,做到不遺漏、不重復(fù),然后逐步討論所分種類,分級(jí)進(jìn)行以得到各類討論結(jié)果;3?歸納總結(jié)各類討論結(jié)果.

分類討論思想能夠?qū)?fù)雜問題簡(jiǎn)單化,化繁為簡(jiǎn),既做到將教學(xué)內(nèi)容條理化又清楚的呈現(xiàn)出問題本質(zhì),更易于解決問題.它揭示了數(shù)學(xué)對(duì)象之間的內(nèi)在規(guī)律,有助于學(xué)生邏輯思維的養(yǎng)成和歸納總結(jié)能力的提高.分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,也是一種解決問題的邏輯方法.

教師在概念教學(xué)滲透分類討論思想,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

1.概念教學(xué)滲透分類討論,突顯概念本質(zhì)

數(shù)學(xué)中的許多概念的定義是分類給出或有一定的限定,教師可以通過啟發(fā)引導(dǎo),在概念教學(xué)中滲透分類討論思想,讓學(xué)生逐步體會(huì)分類討論,突顯概念本質(zhì).

例1人教版九年級(jí)上冊(cè)第3頁(yè),一元二次方程的概念中對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的限定

一元二次方程一般式ax2+bx+c=0(0)中涉及0的規(guī)定.教學(xué)中,為了讓學(xué)生更深刻地理解概念中0,可以讓學(xué)生進(jìn)行分類討論.當(dāng)a=0時(shí),方程變形為bx+c=0,沒有二次項(xiàng),因此不是一元二次方程,若此時(shí),0,此方程就為一元一次方程,若b=0,則此等式不是關(guān)于x的方程.當(dāng)0時(shí),方程中才還有二次項(xiàng),才能成為一元二次方程.這樣學(xué)生能夠更深刻地理解一元二次方程概念中二次項(xiàng)系數(shù)0的條件限定.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中,還有許多數(shù)學(xué)概念的定義,如實(shí)數(shù)和有理數(shù)的分類、絕對(duì)值的化簡(jiǎn)、一元二次方程的概念中對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的限定、平方根中對(duì)于被開方數(shù)的限定、點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系……都滲透著分類討論的數(shù)學(xué)思想.教師在概念教學(xué)中滲透分類討論思想,讓學(xué)生對(duì)分類討論思想有正確的認(rèn)知、理解、掌握和運(yùn)用.

2.法則、定理、性質(zhì)或公式教學(xué)中滲透分類討論,培養(yǎng)學(xué)生良好思維能力

在法則、定理、性質(zhì)或公式中也常常需要分類討論,教師在教學(xué)中滲透分類討論思想可以培養(yǎng)學(xué)生良好思維能力.

例2人教版九年級(jí)上冊(cè)第10和第11頁(yè)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的判別式

一元二次方程ax2+bx+c=0(0)的實(shí)數(shù)根,判別式?=b2?4ac.由于一元二次方程的實(shí)數(shù)根中被開方數(shù)含未知數(shù),所以要進(jìn)行分類討論.

當(dāng)?>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)? =0時(shí),方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根;當(dāng)?<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.

在教學(xué)中滲透分類討論思想,讓學(xué)生對(duì)一元二次方程根的判別式有更深刻地認(rèn)識(shí),也培養(yǎng)了學(xué)生良好的思維能力.

3.問題解決教學(xué)中強(qiáng)化分類討論,培養(yǎng)學(xué)生良好思維習(xí)慣

問題解決中常見的分類討論主要有以下兩類:(1)代數(shù)型分類討論,含有字母系數(shù)或參數(shù)的問題,有時(shí)需討論該字母的不同取值范圍;如絕對(duì)值化簡(jiǎn),方程根的個(gè)數(shù),函數(shù)的圖像和性質(zhì),二次函數(shù)最值等;(2)某些不確定的結(jié)論、不確定的圖形的位置或形狀以及不確定的數(shù)量等需進(jìn)行分類討論.幾何型分類討論,如求等腰三角形第三邊,直角三角形的第三邊,相似三角形的分類討論等.

例3.1人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)習(xí)題13.3第81頁(yè)1(2)題

(2)等腰三角形的一個(gè)角是80?,它的另外兩個(gè)角是多少度?

題目中沒有指明這個(gè)角是底角還是頂角,所以已知角按照底角和頂角兩種情況進(jìn)行分類討論.

解①當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí),另外兩個(gè)角是:80?,20?;

②當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí),另外兩個(gè)角是:50?,50?.

答:另外兩個(gè)角是:80?,20?或 50?,50?.

該問題解決中不明確已知角是底角還是頂角,因此,已知角按照底角和頂角兩種情況進(jìn)行分類討論.對(duì)題目進(jìn)行分類討論,可以讓學(xué)生養(yǎng)成良好思維習(xí)慣.

例3.22018年廣東中考數(shù)學(xué)試題23題第三小問中涉及分類討論思想

23.如圖1,已知頂點(diǎn)為C(0,?3)的拋物線y=ax2+b(0)與x軸交于A,B兩點(diǎn),直線y=x+m過頂點(diǎn)C和點(diǎn)B.

(1)求m的值;

(2)求函數(shù)y=ax2+b(0)的解析式;

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)M,使得∠MCB=15??若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

(3)分M在BC上方和下方兩種情況進(jìn)行解答即可.因?yàn)轭}目要使得∠MCB=15?,所以點(diǎn)M不在BC上,故M在BC上方或者下方,因此,分兩種情況進(jìn)行分類.

解(3)存在,分以下兩種情況:

若M在BC上方,設(shè)MC交x軸于點(diǎn)D,則∠ODC=45?+15?=60?,所以,設(shè)DC為y=kx?3,代入,可得:,聯(lián)立兩個(gè)方程可得:解得:,所以;若M在BC下方,設(shè)MC交x軸于點(diǎn)E,則∠OEC=45??15?=30?,所以設(shè)EC為y=kx?3,代入可得:解得:,所以,綜上所述M的坐標(biāo)為.

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想,是新的課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn).初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透分類討論思想,有利于提高學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,有利于學(xué)生從深層次地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí),有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、縝密性、科學(xué)性,有利于學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣.