山東省棗莊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校(277800) 劉近濤

二次函數(shù)作為數(shù)學(xué)研究中的一個(gè)非常重要的工具,在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)之中有很多應(yīng)用.歷年中考試卷中,二次函數(shù)都占有一定的比重,是中考的“熱點(diǎn)”和“難點(diǎn)”之一.在培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維和學(xué)生的運(yùn)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力上,二次函數(shù)都有著不可替代的作用.本文主要通過(guò)兩道中考?jí)狠S題來(lái)展現(xiàn)二次函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要價(jià)值.

例1(2018·棗莊)如圖1,已知二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)A(0,4),與x軸交于點(diǎn)B、C,點(diǎn)C坐標(biāo)為(8,0),連接AB、AC.

(2)判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;

(3)若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo);

(4)如圖2,若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B、C重合),過(guò)點(diǎn)N作NM//AC,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)△AMN面積最大時(shí),求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

圖1

圖2

分析(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)先根據(jù)拋物線表達(dá)式求得B點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理分別求出AB2=20,AC2=80,BC=10,最后再根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明△ABC為直角三角形;

(3)當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),需要分三種情況討論:①AN=AC,②CN=AC,③AN=CN,解決方法為先分別以A、C兩點(diǎn)為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,與x軸交于三個(gè)點(diǎn);再作AC的垂直平分線交x軸于一個(gè)點(diǎn),即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo);

(3)因?yàn)锳(0,4),C(8,0),所以在Rt△AOC中,

①以A為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于N,此時(shí)點(diǎn)N坐標(biāo)為(?8,0);

②以C為圓心,以AC長(zhǎng)為半徑作圓,交x軸于N,此時(shí)點(diǎn)N坐標(biāo)為或

③作AC的垂直平分線,交x軸于N,此時(shí)N的坐標(biāo)為(3,0).

綜上,若點(diǎn)N在x軸上運(yùn)動(dòng),當(dāng)以點(diǎn)A、N、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí),點(diǎn)N的坐標(biāo)分別為(?8,0)、

圖3

點(diǎn)評(píng)本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法求表達(dá)式,勾股定理和逆定理,等腰三角形的性質(zhì),三角形相似的判定和性質(zhì)以及函數(shù)的最值等,熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.這道二次函數(shù)綜合題中考查的不同方向有:①確定二次函數(shù)表達(dá)式;②判定三角形的形狀(直角三角形);③分情況討論確定等腰三角形;④求面積的最大值(用函數(shù)求最值).

例2(2018·齊齊哈爾)如圖4所示,直線y=x+c與x軸交于點(diǎn)A(?4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,求CE+OE的最小值;

(3)如圖5所示,M是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N.

①若以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似,則△CPN的面積為_(kāi)__;

②若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn),點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D,使以點(diǎn)D、F、P、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

圖4

圖5

分析(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)通過(guò)找對(duì)稱(chēng)點(diǎn),利用兩點(diǎn)之間線段最短求出CE+OE的最小值;

(3)當(dāng)以C、P、N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時(shí),已知 ∠APM=∠CPN,故要分兩種情況討論:①△CPNv△APM;②△NPCv△APM.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出△CPN兩條直角邊的長(zhǎng)度,從而計(jì)算得到△CPN的面積;根據(jù)菱形的性質(zhì)對(duì)邊平行且相等結(jié)合題目已知分情況討論求出D點(diǎn)坐標(biāo).

解(1)將A(?4,0)代入y=x+c,得c=4,將A(?4,0),c=4代入y=?x2+bx+c,得b=?3,所以拋物線的解析式為y=?x2?3x+4.

(2)如圖6,作點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′,連接OC′,交直線l于點(diǎn)E,連接CE,此時(shí)CE+OE的值最小.拋物線的對(duì)稱(chēng)軸直線,則CC′=3,在Rt△OCC′中由勾股定理可得,OC′=5,所以CE+OE的值最小為5.

圖6

圖7(1)

圖7(2)

點(diǎn)評(píng)本題是二次函數(shù)的綜合題,考查了待定系數(shù)法求表達(dá)式,對(duì)稱(chēng)性和兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì),三角形相似的性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).這道二次函數(shù)綜合題中考查的不同方向有:①確定二次函數(shù)表達(dá)式;②求線段之和最小;③分情況討論相似三角形;④分情況討論四點(diǎn)組成菱形.

函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的核心內(nèi)容,更是難點(diǎn)所在.二次函數(shù)綜合問(wèn)題中,蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法集中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)多,能充分體現(xiàn)學(xué)生獲取數(shù)學(xué)信息以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,因而成為廣大師生關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.這兩道二次函數(shù)中考?jí)狠S題從不同的角度分別考查了確定函數(shù)表達(dá)式、判定直角三角形、討論等腰三角形、求線段之和最小、求面積最大、討論相似三角形、討論平行四邊形(菱形)等七個(gè)方面,有很強(qiáng)的綜合性.分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、劃歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的思想在二次函數(shù)中都得到了很好的體現(xiàn).