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        Holling功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病數(shù)值仿真

        2019-03-20 05:54:18林夢(mèng)醒
        關(guān)鍵詞:食餌流行病捕食者

        林夢(mèng)醒

        (廣東工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,廣東廣州510520)

        由于流行病必然在生態(tài)物種之間傳播,因此近年來有學(xué)者把生態(tài)學(xué)和流行病動(dòng)力學(xué)結(jié)合起來考慮。隨著傳染病已成為控制和調(diào)節(jié)人類與自然物種大小的一個(gè)重要因素,疾病在生態(tài)系統(tǒng)的影響也隨之成為傳染病研究的一個(gè)重要課題。數(shù)學(xué)模型方法在分析傳染病的傳播和控制方面已經(jīng)變成相當(dāng)重要的研究工具。

        很多研究表明捕食者更易于捕食已染病食餌,從而使得捕食者物種患有疾病。將具有Logistic增長(zhǎng)的捕食-食餌模型與食餌物種感染捕食者的流行病模型相結(jié)合可建立生態(tài)-流行病模型。已有一些相關(guān)理論研究成果,如:在捕食者患病的流行病模型[1]中考慮食餌具有Holling II功能性反應(yīng)和捕殺效應(yīng),得到疾病是否流行的閾值和穩(wěn)定條件。疾病在捕食者之間傳播的流行病模型[2]考慮食餌具有三類Holling功能性反應(yīng)和捕殺效應(yīng),捕食者具有飽和傳染率的生態(tài)-流行病模型,得到疾病是否流行的閾值和穩(wěn)定條件。食餌有?。?-5]且對(duì)食餌引入人工連續(xù)性捕殺效應(yīng)的模型[6]并假設(shè)捕食者一旦染病就不再康復(fù)。還有疾病只在捕食者中傳播的模型[7],捕食者染病的生態(tài)-流行病模型[8-13],疾病在兩相互競(jìng)爭(zhēng)物種中傳播的模型[14],疾病在物種之間交叉感染的模型[15],均假設(shè)捕食者一旦染病就不再康復(fù)[14-15]。以上文獻(xiàn)討論了食餌和捕食者關(guān)系模型,但并沒有討論這類模型的數(shù)值仿真以及收斂性。本文研究具有Holling功能性反應(yīng)以及人工捕殺效應(yīng)生態(tài)-流行病模型數(shù)值仿真,并討論對(duì)生態(tài)-流行病模型穩(wěn)定性和收斂性的影響,生態(tài)-流行病模型數(shù)值仿真對(duì)生態(tài)學(xué)有指導(dǎo)意義,它對(duì)研究維持物種間的生態(tài)平衡具有重要意義。

        1 三類功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型

        HollingI功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型為

        其中,X為食餌密度,S、I分別為易感類捕食者和染病類捕食者的密度;所有系數(shù)均為正常數(shù),r為食餌的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,K為食餌的環(huán)境容納量,a為捕食系數(shù),e(0<e≤1)為轉(zhuǎn)化系數(shù);d1為易感類捕食者的自然死亡率,d2為染病類捕食者的死亡率,則d2≥d1;β為感染率;δ為染病類捕食者的恢復(fù)率;E為對(duì)食餌的人工捕殺效力,qE為對(duì)食餌的有效捕殺力,aXS中的X是Holling I功能性反應(yīng)函數(shù)。

        系統(tǒng)(1)穩(wěn)定,可以分為以下四種情況[2]:

        1o當(dāng)qE>r>0且K>X,食餌、易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕;

        HollingII功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型為

        為便于討論,這里模型(2)要求rea(Kb-1)<rbd1(Kb+1)+KbqE(ea-bd1)。

        系統(tǒng)(2)穩(wěn)定,可以分以下四種情況[1]:

        1o當(dāng)qE>r>0且K>X,食餌、易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕;

        HollingIII功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型為

        系統(tǒng)(3)穩(wěn)定,可以分以下三種情況[2]:

        1o當(dāng)K>X且qE>r,食餌、易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕;

        2 三類功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型數(shù)值仿真

        2.1 Holling I功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型數(shù)值仿真

        第1種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖1所示。

        圖1 系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的第1種情況

        從圖1可知,只要滿足1o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(0,0,0)一點(diǎn),則食餌、易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(1)不收斂。

        第2種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖2所示。

        圖2 系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的第2種情況

        從圖2可知,只要滿足2o情況,其他參數(shù)在合理的范圍內(nèi)任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,0,0)一類點(diǎn),則食餌存在,易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(1)不收斂。

        第3種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖3所示。

        圖3 系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的第3種情況

        從圖3可知,只要滿足3o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,S,0)一類點(diǎn),則食餌和易感捕食者和諧共存,感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(1)不收斂。

        第4種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖4所示。

        圖4 系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的第4種情況

        從圖4可知,只要滿足4o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,S,0)一類點(diǎn),則食餌和易感捕食者和諧共存,感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(1)收斂。

        2.2 Holling II功能性反應(yīng)的生態(tài)—流行病模型數(shù)值仿真

        第1種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖5所示。

        圖5 系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的第1種情況

        從圖5可知,只要滿足1o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(0,0,0)一點(diǎn),則食餌、易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(2)不收斂。

        第2種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖6所示。

        圖6 系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的第2種情況

        從圖6可知,只要滿足2o情況,其他參數(shù)在合理的范圍內(nèi)任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,0,0)一類點(diǎn),則食餌存在,易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(2)不收斂。

        第3種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖7所示。

        圖7 系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的第3種情況

        從圖7可知,只要滿足3o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,S,0)一類點(diǎn),則食餌和易感捕食者和諧共存,感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(2)不收斂。

        第4種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖8所示。

        圖8 系統(tǒng)(2)穩(wěn)定的第4種情況

        從圖8可知,只要滿足4o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,S,0)一類點(diǎn),則食餌和易感捕食者和諧共存,感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(2)收斂。

        2.3 Holling III功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型數(shù)值仿真

        第1種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖9所示。

        圖9 系統(tǒng)(3)穩(wěn)定的第1種情況

        從圖9可知,只要滿足1o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(0,0,0)一點(diǎn),則食餌、易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(3)不收斂。

        第2種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖10所示。

        圖10 系統(tǒng)(3)穩(wěn)定的第2種情況

        從圖10可知,只要滿足2o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,0,0)一類點(diǎn),則食餌存在,易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(3)不收斂。

        第3種情況數(shù)值仿真結(jié)果如圖11所示。

        圖11 系統(tǒng)(3)穩(wěn)定的第3種情況

        從圖11可知,只要滿足3o情況,其他參數(shù)在合理的范圍任意變化,食餌X、易感捕食者S和感染捕食者I的密度都穩(wěn)定于(X,S,0)一類點(diǎn),則食餌和易感捕食者和諧共存,感染捕食者都趨于滅絕,系統(tǒng)(3)不收斂。

        3 結(jié)論

        本文數(shù)值仿真結(jié)果表明,qE與r的關(guān)系對(duì)三類Holling功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型的穩(wěn)定性有影響。當(dāng) qE>r>0 且 K>X,在 Holling I、Holling II、Holling III功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型中,食餌、易感捕食者和感染捕食者的密度都趨于滅絕,穩(wěn)定于(0,0,0),但系統(tǒng)不收斂;當(dāng)0<qE<r且K>X且滿足參數(shù)在一定的范圍內(nèi),在Holling I、Holling II、Holling III功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型中,食餌存在,易感捕食者和感染捕食者都趨于滅絕,穩(wěn)定于(X,0,0),但系統(tǒng)不收斂;當(dāng)0<qE<r且K>X且滿足參數(shù)在一定的范圍內(nèi),在Holling I、Holling II、Holling III功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型中,食餌和易感捕食者和諧共存,感染捕食者趨于滅絕,穩(wěn)定于(X,S,0),但系統(tǒng)不收斂;當(dāng)0<qE<r且K>X且滿足參數(shù)在一定的范圍內(nèi),在Holling I、Holling II功能性反應(yīng)的生態(tài)-流行病模型中,感染捕食者趨于滅絕,穩(wěn)定于(X,S,0),但系統(tǒng)收斂。

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