余 鵬,張繁紅，費(fèi)為銀,惲 珍

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

Merton[1]于1969年利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理解決連續(xù)時(shí)間最優(yōu)消費(fèi)與組合投資問題,隨后,一系列拓展模型不斷完善現(xiàn)實(shí)框架.Bodie[2]等將代理人的勞動(dòng)收入和閑暇納入連續(xù)時(shí)間最優(yōu)消費(fèi)與組合投資模型中,其中代理人勞動(dòng)供給是彈性的.Choi[3]等討論了代理人最優(yōu)自愿退休與消費(fèi)決策問題,其中代理人可自由選擇何時(shí)退休,而他選擇工作即可獲得勞動(dòng)收入，同時(shí)伴有因勞動(dòng)產(chǎn)生的效用損失.代理人一旦選擇退休就避免了因勞動(dòng)產(chǎn)生的效用損失，但同時(shí)也失去了勞動(dòng)收入.在代理人勞動(dòng)收入具有隨機(jī)性的情況下,利用對(duì)偶方法,Barucci[4]等分析了最優(yōu)消費(fèi)、勞動(dòng)供給和退休時(shí)機(jī)選擇.退休選擇權(quán)具有相機(jī)而擇時(shí),Lee[5]等研究了代理人的最優(yōu)消費(fèi)、投資組合和閑暇,其中代理人的效用由不變替代彈性效用(CES型)刻畫.

伴隨經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,通貨膨脹不可避免,適度的通脹可以促進(jìn)經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展,但通脹水平過高對(duì)經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展會(huì)起到阻礙作用,尤其通脹不確定性的加大往往會(huì)改變?nèi)藗兊念A(yù)期，從而影響人們的消費(fèi)投資行為.在通脹不確定下,Munk[6]等分析了代理人在現(xiàn)金賬戶、名義債券和股票上的最優(yōu)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置問題,而Bensoussan[7]等研究了在物價(jià)水平完全可觀察和不可觀察下最優(yōu)組合投資和消費(fèi).利用鞅方法,Kwak[8]等刻畫了通脹對(duì)家庭最優(yōu)消費(fèi)、組合投資和人壽保險(xiǎn)決策的影響.在通脹不確定下的最優(yōu)消費(fèi)和組合投資也為國(guó)內(nèi)許多學(xué)者研究.例如，姚海祥[9]等研究了通貨對(duì)投資終止時(shí)間不確定最優(yōu)投資組合的影響.基于跳擴(kuò)散環(huán)境,費(fèi)為銀[10]研究了通脹對(duì)投資者資產(chǎn)配置的影響．

基于上述分析可以發(fā)現(xiàn),在代理人的消費(fèi)-組合投資、閑暇與自愿退休選擇框架下,應(yīng)該考慮通脹不確定對(duì)代理人決策的影響.Koo[11]結(jié)合通脹因素分析了最優(yōu)組合投資、消費(fèi)、閑暇和自愿退休選擇,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立了代理人值函數(shù)所滿足的HJB方程,并給出了最優(yōu)組合投資、消費(fèi)、閑暇與自愿退休選擇策略.陳雅豪[12]等研究了通脹不確定下最優(yōu)消費(fèi)-投資組合與自愿退休選擇問題,其中效用僅僅來自代理人消費(fèi)的效用,沒有考慮代理人的閑暇對(duì)其效用的影響.文章在考慮代理人消費(fèi)和閑暇兩個(gè)變量給其帶來效用(用Cobb-Douglas效用函數(shù)刻畫)的前提下,研究了代理人的效用優(yōu)化問題.其中投資機(jī)會(huì)集中不僅有無風(fēng)險(xiǎn)債券、風(fēng)險(xiǎn)股票,還有通脹指數(shù)債券.這使得模型的分析和結(jié)論更具有一般性,得到了更具現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義的結(jié)論.由于引入閑暇，代理人的效用不同于傳統(tǒng)僅依賴于消費(fèi)一個(gè)變量，而是依賴消費(fèi)和閑暇兩個(gè)變量，用Cobb-Douglas效用函數(shù)刻畫，由此帶來的分析發(fā)生了本質(zhì)的改變；由于通貨膨脹的引入，使得最優(yōu)策略的分析不同于現(xiàn)有文獻(xiàn)的工作，為得出結(jié)論需要隨機(jī)分析技術(shù)，方法上有一定的創(chuàng)新；正因?yàn)榭紤]代理人的閑暇、消費(fèi)-投資組合和退休選擇與宏觀經(jīng)濟(jì)變量通脹的緊密聯(lián)系使得研究問題更切合實(shí)際，具有較高的應(yīng)用價(jià)值.

1 基本模型

假設(shè)金融市場(chǎng)所有隨機(jī)過程關(guān)于完備帶流概率空間(Ω,F,{Ft}t≥0,P)都是適應(yīng)的，W(t)和Z(t)是其上的Brown運(yùn)動(dòng).用居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)(CPI)度量通脹水平P(t),其服從隨機(jī)微分方程

式中，μp是預(yù)期通脹率;σp>0是通脹波動(dòng)率．

經(jīng)濟(jì)代理人在三種資產(chǎn)上投資,一種是名義利率為R的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)或銀行賬戶,另一種可投資的是預(yù)期收益率為μs和波動(dòng)率為μs>0的風(fēng)險(xiǎn)股票,還有一種是實(shí)際利率為r的通脹指數(shù)債券.用下列隨機(jī)微分方程分別描述無風(fēng)險(xiǎn)債券名義價(jià)格BN(t),股票名義價(jià)格SN(t)以及通脹指數(shù)債券名義價(jià)格IN(t)

于是代理人名義財(cái)富過程XN(t)滿足

(1)

2 代理人效用優(yōu)化

代理人最大化期望貼現(xiàn)消費(fèi)和閑暇累計(jì)效用的值函數(shù)為

(2)

其中,主觀貼現(xiàn)率β>0,A(x)表示所有允許策略(c,l,π,τ)之集并滿足

其中,u-:=max(-u,0).代理人既要消費(fèi)又要閑暇,兩者的效用可以用如下Cobb-Douglas效用函數(shù)刻畫

且γ≠1,

(3)

假設(shè)1 下列變量滿足

在式(2)中,代理人退休后的值函數(shù)U(·)與經(jīng)典Merton問題類似,退休后的值函數(shù)

(4)

假設(shè)k+>0和k-<-1是式(5)方程的兩個(gè)根

(5)

定理1 在上述假設(shè)下，最優(yōu)消費(fèi)、閑暇、組合投資和自愿退休選擇為

ξ和ζ是下列代數(shù)方程的解：

證明 當(dāng)0≤t<τ,0≤l

根據(jù)一階條件,可得(c,l,π0,π1,π2)關(guān)于V(x)的表達(dá)式,再代入上述方程整理得值函數(shù)如下

當(dāng)0≤t<τ,l=L時(shí),優(yōu)化問題的值函數(shù)滿足下列HJB方程

由一階條件,經(jīng)整理可得值函數(shù)

3 數(shù)值模擬和經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

利用MATLAB數(shù)值模擬直觀分析通脹不確定性對(duì)最優(yōu)消費(fèi)與組合投資的影響.

圖1中每個(gè)圖都由三條線組成.其他參數(shù)不變,僅改變代理人相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù),觀察通脹不確定性對(duì)最優(yōu)股票投資的影響.由圖1可知,對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡越高,代理人的投資意愿越低．

圖1 通脹波動(dòng)率σp對(duì)最優(yōu)投資π2的影響

圖2 通脹波動(dòng)率σp對(duì)消費(fèi)水平Ct的影響

4 小結(jié)

通貨膨脹成為經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程中不可忽視的因素.經(jīng)濟(jì)代理人的財(cái)富往往因通脹而貶值，基于通脹不確定風(fēng)險(xiǎn)，代理人如何做出最優(yōu)的決策是需要研究的基本問題.假設(shè)代理人考慮消費(fèi)-投資、閑暇和退休選擇，代理人的閑暇雖然會(huì)給代理人帶來效用，但由于勞動(dòng)時(shí)間的減少而工資收入降低，從而減少了代理人的財(cái)富；另一方面，代理人可以選擇提前退休以便享受更多的閑暇，但提前退休也會(huì)減少代理人的財(cái)富積累，所以需要在消費(fèi)、閑暇與勞動(dòng)時(shí)間之間進(jìn)行權(quán)衡，從而達(dá)到消費(fèi)、閑暇的生命周期內(nèi)預(yù)期累積效用最大化.為了解決優(yōu)化問題，利用隨機(jī)分析和隨機(jī)控制方法解決代理人的消費(fèi)-投資、閑暇與退休選擇問題，得出代理人的最優(yōu)決策.將代理人生命周期分為低閑暇、高閑暇和退休后三個(gè)階段，通過求解方程,獲得關(guān)于消費(fèi)、閑暇、投資和退休的最優(yōu)決策.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，隨著代理人財(cái)富的增加,其消費(fèi)和投資也會(huì)一定程度地增加.面對(duì)變化的通脹波動(dòng)率時(shí),代理人為了減小風(fēng)險(xiǎn)、增加收益,在不同的階段會(huì)選擇不同的最優(yōu)投資-消費(fèi)、閑暇策略.所得結(jié)論可以給代理人在金融市場(chǎng)的投資-消費(fèi)、閑暇和退休選擇決策提供一定的理論指導(dǎo)．