吳彥華，馬慶力

(國防科技大學(xué) 電子對(duì)抗學(xué)院， 安徽 合肥 230037)

二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying， BPSK)具有較高的頻帶利用率、較強(qiáng)的抗噪聲干擾能力以及具備展寬信號(hào)的帶寬的優(yōu)勢(shì)，難以被探測(cè)。

對(duì)于第三方無線電監(jiān)測(cè)來說，對(duì)微弱BPSK信號(hào)的盲檢測(cè)是一個(gè)重要課題。當(dāng)前，針對(duì)PSK信號(hào)的盲檢測(cè)已有很多方法：文獻(xiàn)[1]采用高階累積量和循環(huán)譜檢測(cè)方法，文獻(xiàn)[2]采用聯(lián)合頻譜估計(jì)與循環(huán)矩檢測(cè)方法，文獻(xiàn)[3]采用最大自然準(zhǔn)則估計(jì)方法，文獻(xiàn)[4]采用基于星座圖檢測(cè)方法，文獻(xiàn)[5]采用隨機(jī)共振PSK信號(hào)參數(shù)估計(jì)方法，以及早期采用各種時(shí)頻分析檢測(cè)方法等。這些方法中大部分需要在信噪比大于0 dB時(shí)才能取得良好效果，對(duì)于信噪比在-10 dB以下的微弱PSK信號(hào)檢測(cè)沒有太多幫助。

Duffing振子對(duì)與系統(tǒng)策動(dòng)力同頻率的小信號(hào)具有敏感性，而對(duì)高斯噪聲信號(hào)具有極強(qiáng)免疫力。利用Duffing振子在混沌態(tài)到周期態(tài)的分岔行為，可以判斷強(qiáng)噪聲中是否存在微弱周期信號(hào)。

當(dāng)前，采用Duffing振子檢測(cè)微弱信號(hào)理論和方法的研究成果主要集中在微弱周期信號(hào)的檢測(cè)方面，在Duffing振子檢測(cè)PSK(包括BPSK)信號(hào)的研究方面，文獻(xiàn)資料比較少。文獻(xiàn)[6]建立了識(shí)別PSK信號(hào)識(shí)別模型，但它們只針對(duì)PSK信號(hào)頻率與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)頻率同頻的情況，不適用于PSK信號(hào)盲檢測(cè)。文獻(xiàn)[7]建立了基于Duffing振子的PSK信號(hào)調(diào)制識(shí)別算法，但同樣需要知道載頻頻率的先驗(yàn)知識(shí)，并且信噪比要求較高(-5 dB以上)。

本文推導(dǎo)了Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率對(duì)檢測(cè)靈敏度和過渡帶時(shí)長影響的關(guān)系表達(dá)式，建立了采用Duffing振子和S變換對(duì)任意頻率微弱BPSK信號(hào)進(jìn)行盲檢測(cè)的模型。

1 問題描述

1.1 Duffing振子微弱周期信號(hào)檢測(cè)

考慮Holmes型Duffing方程[8]：

(1)

式中：k為阻尼率；-x+x3為非線性恢復(fù)力；Fcos(ωt)為系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)即系統(tǒng)策動(dòng)力，F(xiàn)表示內(nèi)置信號(hào)幅值，ω表示內(nèi)置信號(hào)角頻率即振子的固有頻率。

為了對(duì)任意頻率信號(hào)進(jìn)行處理，式(1)也可寫為：

(2)

固定k值，F(xiàn)≠0條件下，F(xiàn)較小時(shí)，Duffing系統(tǒng)相軌跡逐漸收斂到兩個(gè)焦點(diǎn)(±1,0)中的一個(gè)。隨著F的增大，相軌跡由周期運(yùn)動(dòng)逐漸演化為混沌運(yùn)動(dòng)，并在較大范圍內(nèi)保持混沌運(yùn)動(dòng)。當(dāng)F大于某一個(gè)閾值Fr(Fr稱為臨界值)時(shí)，系統(tǒng)相軌跡由混沌態(tài)躍遷為大尺度周期態(tài)。

對(duì)弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)幅值設(shè)定為臨界值Fr，輸入信號(hào)si(t)為待測(cè)信號(hào)s(t)和高斯白噪聲n(t)的疊加。弱信號(hào)檢測(cè)模型為：

=Frcos(ωt)+s(t)+n(t)

(3)

若取

s(t)=Acos[(ω+Δω)t+φ]

此時(shí)，Duffing系統(tǒng)周期驅(qū)動(dòng)力r(t)可以寫為：

r(t) =Frcos(ωt)+Acos[(ω+Δω)t+φ]

=B(t)cos[ωt+θ(t)]

只考慮微弱信號(hào)情況，即A?Fr，可以得到式(4)[9]。

(4)

在沒有頻差，即Δω=0情況時(shí)，有：

(5)

式中，k為整數(shù)。

由式(5)可知：當(dāng)-π/2+2kπ<φ<π/2+2kπ時(shí)，輸入信號(hào)幅度B(t)大于系統(tǒng)臨界值Fr，系統(tǒng)處于周期態(tài)；當(dāng)π/2+2kπ≤φ≤3π/2+2kπ時(shí)，輸入信號(hào)幅度B(t)小于等于系統(tǒng)臨界值Fr，系統(tǒng)處于混沌態(tài)。

仿真實(shí)驗(yàn)如下。在式(3)中取參數(shù)k=0.5，初始值x(0)=0.1，y(0)=x′(0)=0，采樣速率fs=40 MHz，內(nèi)置信號(hào)頻率f=ω/(2π)=1 MHz。待檢信號(hào)取s(t)=0.01cos(2πfct)，fc=1 MHz，噪聲為高斯白噪聲，SNR=-30 dB。采用四階Runge-Kutta算法對(duì)式(2)進(jìn)行求解，步長為1/fs，去除暫態(tài)后得到Duffing系統(tǒng)在Fr=0.825 V處只有噪聲以及有待檢信號(hào)和噪聲輸入時(shí)的相軌跡，如圖1所示。

(a) 只有噪聲時(shí)，混沌態(tài)(a) Chaotic state with noise only

(b) 有待檢信號(hào)和噪聲時(shí)，周期態(tài)(b) Periodic state with signal and noise圖1 微弱周期信號(hào)的Duffing系統(tǒng)相圖Fig.1 Phase figures of Duffing system with the weak input signal

1.2 Duffing振子微弱BPSK信號(hào)時(shí)序圖法檢測(cè)

雙極性BPSK信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式可以表示為：

(6)

其中，ωc為信號(hào)載波頻率。

若BPSK信號(hào)“1”碼和“-1”碼等概率出現(xiàn)，可以得到BPSK信號(hào)的功率譜密度：

(7)

式中，Td為基帶信號(hào)碼元周期。

從式(7)可以看出，BPSK信號(hào)功率譜中無載波分量，實(shí)際是抑制載波的調(diào)制信號(hào)，這給BPSK信號(hào)的檢測(cè)帶來難度。

由式(5)可知，當(dāng)Duffing系統(tǒng)輸入信號(hào)為微弱BPSK信號(hào)時(shí)，由于BPSK信號(hào)相位的不斷變化，在Δω=0時(shí)，Duffing系統(tǒng)相圖隨著BPSK信號(hào)相位的變化處于間歇性混沌狀態(tài)，周期態(tài)和混沌態(tài)交替出現(xiàn)。此時(shí)，只有和時(shí)間密切關(guān)聯(lián)，才能準(zhǔn)確判斷間歇性混沌狀態(tài)的存在，進(jìn)而判斷微弱信號(hào)的存在。

對(duì)混沌特性的判定，目前通常采用的方法主要包括相平面法、Lyaponov指數(shù)法和時(shí)序圖法[6]。前兩種方法反映的都是一段時(shí)間內(nèi)Duffing系統(tǒng)輸出的整體特征，而時(shí)序圖法反映了在不同時(shí)間Duffing系統(tǒng)輸出的狀態(tài)，它和時(shí)間關(guān)聯(lián)緊密。本文采用時(shí)序圖法對(duì)Duffing系統(tǒng)輸出狀態(tài)進(jìn)行描述。

Duffing系統(tǒng)輸出的混沌態(tài)和周期態(tài)的包絡(luò)有比較明顯的差別：在混沌態(tài)下，Duffing系統(tǒng)輸出包絡(luò)起伏較大；而在周期態(tài)下，包絡(luò)恒定。為了更清晰地反映時(shí)序輸出包絡(luò)變化，本文采用S變換提取Duffing系統(tǒng)輸出時(shí)序包絡(luò)。

S變換是在連續(xù)小波變換和短時(shí)傅里葉變換基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種時(shí)頻分析方法，同其他時(shí)頻方法相比，具有多分辨特性、無交叉項(xiàng)、計(jì)算速度快等特點(diǎn)[10-11]。

信號(hào)h(t)的離散S變換形式為：

式中：a為常數(shù)，其決定了S變換對(duì)應(yīng)的窗函數(shù)；H(·)為信號(hào)h(t)的離散傅里葉變換；N為采樣點(diǎn)數(shù)；k=0,1,…,N-1；n=1,…,N-1。為了進(jìn)一步提高運(yùn)算速度，采用作者文獻(xiàn)[11]提出的改進(jìn)離散S變換算法提取Duffing系統(tǒng)輸出時(shí)序包絡(luò)。

仿真實(shí)驗(yàn)如下。取BPSK信號(hào)仿真采樣點(diǎn)數(shù)N=10 000，A=0.01，fc=1 MHz，碼元速率fd=1/Td=40 kHz，采樣速率fs=40 MHz。Duffing系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定同圖1，SNR=-30 dB。S變換中，為了更好提取f=1 MHz的Duffing系統(tǒng)時(shí)序輸出包絡(luò)和反映包絡(luò)變化，S變換窗函數(shù)在f=1 MHz處的時(shí)窗寬度取為4.68μs。此時(shí)，BPSK信號(hào)與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率同頻，得到Duffing系統(tǒng)時(shí)序輸出和在f=1 MHz處S變換包絡(luò)提取結(jié)果，如圖2所示。

(a) 調(diào)制碼元波形(a) Time wave of modulation symbol

(b) Duffing系統(tǒng)時(shí)序輸出(b) Time sequence output of Duffing system

(c) f=1 MHz 處S變換結(jié)果(包絡(luò))(c) Extracted envelope at f=1 MHz by using S transform圖2 BPSK信號(hào)Duffing振子輸出時(shí)序圖及包絡(luò)Fig.2 Time sequence and envelope of BPSK signal’s Duffing system output

從圖2可以看出，Duffing系統(tǒng)輸出包絡(luò)基本反映了BPSK信號(hào)的狀態(tài):輸入信號(hào)調(diào)制碼元為“1”時(shí)，Duffing系統(tǒng)呈周期態(tài)，輸出包絡(luò)恒定；輸入信號(hào)調(diào)制碼元為“-1”時(shí)，呈混沌態(tài)，輸出包絡(luò)起伏較大。

仔細(xì)觀察圖2(c)，可以看出：Duffing系統(tǒng)輸出狀態(tài)的變化時(shí)刻并不能與調(diào)制碼元變化時(shí)刻完全對(duì)應(yīng)，總是存在一個(gè)時(shí)間延遲。即在混沌態(tài)和周期態(tài)之間轉(zhuǎn)換時(shí)存在過渡帶。

這種延遲或過渡帶的存在，對(duì)BPSK信號(hào)的判斷是有害的。當(dāng)BPSK調(diào)制碼元速率較高時(shí)，如果此時(shí)過渡帶時(shí)間過長，Duffing系統(tǒng)輸出將很難被分辨處于周期態(tài)還是混沌態(tài)，從而嚴(yán)重影響B(tài)PSK信號(hào)的檢測(cè)。

2 內(nèi)置頻率對(duì)Duffing系統(tǒng)性能影響分析

對(duì)于具有非線性恢復(fù)力和一個(gè)周期外力的Duffing方程的求解，文獻(xiàn)[12-13]分析了依賴阻尼、內(nèi)置頻率、振幅和相差的分支結(jié)構(gòu)和動(dòng)力學(xué)行為，應(yīng)用二次平均方法給出了周期解和三次以下諧波解，應(yīng)用Melnikov方法分析了m(m>3)階次諧波解和混沌的存在條件，得到了一些有益的結(jié)論。本節(jié)在這些結(jié)論的基礎(chǔ)上，依據(jù)方程(1)，在阻尼系數(shù)和非線性恢復(fù)力確定的情況下，重點(diǎn)分析內(nèi)置頻率對(duì)Duffing系統(tǒng)性能的影響。

2.1 內(nèi)置頻率對(duì)過渡帶的影響

在周期態(tài)和混沌態(tài)轉(zhuǎn)換之間存在過渡帶，對(duì)這方面研究的文獻(xiàn)資料比較少。文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[14]提出了從周期態(tài)向混沌態(tài)的逆向相變檢測(cè)方法，減少相變過渡帶的影響，但對(duì)過渡帶與什么因素有關(guān)沒有進(jìn)行分析。

為了求解方程(1)，可以將其看成是未擾動(dòng)系統(tǒng)和擾動(dòng)系統(tǒng)的組合。其未擾動(dòng)系統(tǒng)為：

(8)

存在三個(gè)不動(dòng)點(diǎn)：鞍點(diǎn)(0,0)，中心(±1,0)。方程的解為周期解。初始條件為x(0)=D，y(0)=x′(0)=0。采用文獻(xiàn)[15]的結(jié)論，可以推導(dǎo)出無阻尼Duffing方程(8)的解為：

(9)

式中，

(10)

式中，

(a) 混沌態(tài)(a) Chaotic state

(b) 周期態(tài)(b) Periodic state圖3 混沌態(tài)和周期態(tài)下Melnikov曲線示意圖Fig.3 Melnikov curves in chaotic and periodic state

外部輸入信號(hào)為BPSK信號(hào)時(shí)。在A?Fr和Δω=0情況下，并且不考慮噪聲，由式(4)可以得到式(3)的Duffing系統(tǒng)周期驅(qū)動(dòng)力。

其中，

Duffing系統(tǒng)將隨著F的變化在周期態(tài)和混沌態(tài)之間變換：F=F1時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期態(tài)；F=F2時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌態(tài)。此時(shí)可以采用在混沌態(tài)時(shí)的零解和周期態(tài)時(shí)的最大解對(duì)應(yīng)的時(shí)間差的最小值來衡量混沌態(tài)和周期態(tài)轉(zhuǎn)換的過渡時(shí)間。

在混沌態(tài)時(shí)的零解對(duì)應(yīng)時(shí)刻tc滿足：

解得：

(11)

式中，m為整數(shù)。

在周期態(tài)時(shí)的最大解對(duì)應(yīng)時(shí)刻tp滿足：

解得：

(12)

式中，n為整數(shù)。

由式(11)～(12)可知，用來衡量混沌態(tài)和周期態(tài)轉(zhuǎn)換的過渡帶時(shí)間的tc和tp之間時(shí)間差的最小值tg為：

(13)

由式(13)可知，過渡帶時(shí)間僅與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率有關(guān)。

直接分析式(13)比較復(fù)雜，為此仿真實(shí)驗(yàn)畫出時(shí)間差tg與系統(tǒng)內(nèi)置頻率f之間的曲線。取內(nèi)置頻率從1～10 MHz，取樣間隔0.1 MHz，其他實(shí)驗(yàn)條件同圖1。計(jì)算式(13)可以得到tg與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率f的關(guān)系仿真結(jié)果，如圖4所示。由圖4可以看出，tg與ω基本成反比關(guān)系，Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率越大，過渡帶時(shí)間越短。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證上述結(jié)論，在不同頻率下，采用Duffing系統(tǒng)對(duì)BPSK信號(hào)進(jìn)行處理，得到Duffing系統(tǒng)輸出時(shí)序包絡(luò)和調(diào)制碼元對(duì)應(yīng)關(guān)系，如圖5所示。實(shí)驗(yàn)中，頻率分別取1 MHz、1.75 MHz、3.25 MHz和5 MHz，SNR=-15 dB，其他實(shí)驗(yàn)條件同圖2。從圖5可以明顯看出，隨著Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率的增加，周期態(tài)和混沌態(tài)之間的過渡時(shí)間明顯縮短。

圖4 過渡帶時(shí)間與內(nèi)置頻率關(guān)系Fig.4 Curve of transition zone time length and forcing frequency

(a) f=1 MHz

(b) f=1.75 MHz

(c) f=3.25 MHz

(d) f=5 MHz圖5 不同頻率下BPSK信號(hào)Duffing系統(tǒng)輸出時(shí)序包絡(luò)與碼元變化對(duì)應(yīng)關(guān)系Fig.5 Duffing system output envelopes of BPSK signal at different frequencies

2.2 內(nèi)置頻率對(duì)靈敏度的影響

在Duffing系統(tǒng)幅頻特性研究方面，文獻(xiàn)[18]給出了周期態(tài)下系統(tǒng)內(nèi)置頻率作為因變量的頻率-幅度表達(dá)式，并沒有給出輸出諧波幅度作為因變量的表達(dá)式，無法得到系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線。但其首次分析了Duffing系統(tǒng)最佳內(nèi)置策動(dòng)力頻率，估算出最佳策動(dòng)力頻率約為0.5 rad/s。

當(dāng)Duffing系統(tǒng)有同頻外部激勵(lì)信號(hào)并處于周期態(tài)時(shí)，方程(1)的諧波解主要包含一次諧波，其周期解如式(14)所示[12-13]。

(14)

式中，(x0,0)為未擾動(dòng)系統(tǒng)式(8)的中心。

應(yīng)用諧波平衡法對(duì)處于臨界態(tài)的方程(1)進(jìn)行分析，可以得到Duffing系統(tǒng)輸出幅度a與頻率ω的關(guān)系[19]。

a2[ω2+1-0.75a2]2+k2ω2a2=F2

(15)

令z=a2，同時(shí)將ω2看作系數(shù)，則式(15)可以看作一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的一元三次方程：

Ez3+Bz2+Cz+D=0

(16)

式中，E=0.752，B=-1.5(ω2+1)，C=ω4+(2+k2)ω2+1，D=-F2。

由盛金公式求解式(16)，令

在式(15)中取k=0.5，F(xiàn)=Fr=0.825 V。可以得到，當(dāng)ω>1 rad/s時(shí)，一元三次方程根的判別式Δ=q2/4+p3/27>0，式(15)的實(shí)數(shù)解為：

(17)

當(dāng)ω≤1 rad/s時(shí)，根判別式Δ存在小于0的情況。Δ<0時(shí)，式(15)的解為：

(18)

綜合式(15)、式(17)和式(18)，可以看出，不同頻率下Duffing系統(tǒng)輸出幅度不同，即Duffing系統(tǒng)對(duì)弱信號(hào)的靈敏度是內(nèi)置頻率ω的函數(shù)。而當(dāng)ω>1 rad/s時(shí)，Duffing系統(tǒng)輸出幅度a是內(nèi)置頻率ω的遞減函數(shù)。

仿真實(shí)驗(yàn)如下。ω取值范圍為0.1～10 rad/s，間隔0.1 rad/s，F(xiàn)=Fr=0.825 V，k=0.5。對(duì)式(15)求解，得到Duffing系統(tǒng)輸出幅度a與內(nèi)置頻率ω的關(guān)系曲線，如圖6所示。

圖6 周期態(tài)時(shí)Duffing系統(tǒng)輸出幅度與內(nèi)置頻率關(guān)系曲線Fig.6 Curve of the output amplitude and the forcing frequency of Duffing system in periodic state

從圖6可以看出，Duffing系統(tǒng)的幅頻動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性在低頻段具有良好的特性，并且在ω≈0.6 rad/s處取得最大值，獲得最佳幅頻響應(yīng)。而后隨著內(nèi)置信號(hào)頻率的增大，幅頻動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性將變差。Duffing系統(tǒng)只有小頻率參數(shù)條件下才能有較好的動(dòng)態(tài)特性和檢測(cè)效果。

3 對(duì)任意頻率微弱BPSK信號(hào)盲檢測(cè)

由前文可知，對(duì)微弱BPSK信號(hào)檢測(cè)，一方面，BPSK信號(hào)本身相位變化，引起Duffing系統(tǒng)輸出在周期態(tài)和混沌態(tài)之間切換，此時(shí)要求過渡帶時(shí)間盡量短，需要提高Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率；另一方面，由Duffing系統(tǒng)本身幅頻響應(yīng)特性決定，只有在低頻段才能獲得良好的動(dòng)態(tài)特性。這兩方面因素構(gòu)成了一對(duì)矛盾。

為了將Duffing振子應(yīng)用于任意頻率的微弱信號(hào)檢測(cè)，文獻(xiàn)[20-21]等提出了變尺度的微弱信號(hào)檢測(cè)方法，對(duì)待測(cè)信號(hào)在時(shí)間尺度上進(jìn)行壓縮或放大。但這種方法需要知道待測(cè)信號(hào)頻率，不能應(yīng)用于未知頻率信號(hào)的盲檢測(cè)。文獻(xiàn)[18,22]提出了變步長型搜索檢測(cè)未知信號(hào)的方法，其實(shí)質(zhì)是采用變尺度方法，在|Δω/ω|<0.03頻段范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)未知頻率信號(hào)的檢測(cè)。

變尺度方法的基本思路是：對(duì)于頻率為ω，采樣速率為fs的待測(cè)信號(hào)，取微分方程數(shù)值計(jì)算的步長為1/fs。若將數(shù)值計(jì)算步長人為增大R倍，相當(dāng)于相應(yīng)信號(hào)的頻率被壓縮至原值的1/R，從而獲取Duffing系統(tǒng)良好的低頻特性。

對(duì)于未知頻率信號(hào)，假設(shè)與內(nèi)置頻率存在頻差Δω≠0，由式(4)可以得到：

φ一定，-π/2+2kπ<Δωt+φ<π/2+2kπ時(shí)，輸入信號(hào)幅度B(t)大于系統(tǒng)臨界值Fr，輸出周期態(tài)；π/2+2kπ≤Δωt+φ≤3π/2+2kπ時(shí)，輸入信號(hào)幅度B(t)小于等于系統(tǒng)臨界值Fr，輸出混沌態(tài)。令Δω=2πΔf，B(t)將以周期2π/Δω(即1/Δf)大于和小于臨界值Fr，使得Duffing系統(tǒng)也將以周期1/Δf在周期態(tài)和混沌態(tài)之間轉(zhuǎn)換，且周期態(tài)和混沌態(tài)持續(xù)時(shí)間都為π/Δω(即1/(2Δf))，系統(tǒng)進(jìn)入周期性混沌狀態(tài)。

對(duì)BPSK信號(hào)，無頻差情況下，信號(hào)碼元的變化將導(dǎo)致Duffing系統(tǒng)輸出處于間歇性混沌狀態(tài)。如果再考慮頻差的影響，則Duffing系統(tǒng)輸出肯定處于間歇性混沌狀態(tài)。

從BPSK信號(hào)相位變化影響來說，即碼元速率影響方面，頻差引起的周期態(tài)或混沌態(tài)持續(xù)時(shí)間tspan=1/(2|Δf|)與調(diào)制信號(hào)碼元長度td=1/fd滿足2tspan>td，即|Δf|

從頻差影響方面來說，輸入信號(hào)與Duffing系統(tǒng)內(nèi)置信號(hào)頻差越小，對(duì)間歇性混沌狀態(tài)的貢獻(xiàn)越小；頻差越大，貢獻(xiàn)越大。頻差太大，將使混沌態(tài)和周期態(tài)持續(xù)時(shí)間很短，無法找到持續(xù)一段時(shí)間的恒定包絡(luò)，不能判斷系統(tǒng)狀態(tài)。文獻(xiàn)[23]表明，當(dāng)|Δf|/f≤0.03時(shí)，有規(guī)則的周期混沌現(xiàn)象才可以被辨認(rèn)出來。

綜合以上兩點(diǎn)，Duffing系統(tǒng)識(shí)別BPSK信號(hào)的工作帶寬B=2|Δf|應(yīng)該滿足：

B

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通過變尺度算法，內(nèi)置頻率為f的Duffing振子可以實(shí)現(xiàn)對(duì)f±(B/2)范圍內(nèi)的任意頻率BPSK信號(hào)的盲檢測(cè)，并且獲得良好的幅頻動(dòng)態(tài)特性。此時(shí)，對(duì)Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率的選擇依據(jù)主要考慮過渡帶時(shí)長。轉(zhuǎn)換時(shí)間過長，將會(huì)影響判斷系統(tǒng)輸出狀態(tài)，因此，內(nèi)置頻率f不宜選取過低。

仿真實(shí)驗(yàn)如下。取BPSK信號(hào)頻率fc=3.505 MHz，Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率f=3.5 MHz，其他實(shí)驗(yàn)條件同圖2。得到Duffing系統(tǒng)時(shí)序輸出和在f=3.5 MHz處S變換包絡(luò)提取結(jié)果，如圖7所示?？梢钥闯觯茴l差和相位變化雙重影響，BPSK信號(hào)Duffing系統(tǒng)輸出狀態(tài)復(fù)雜，其周期態(tài)、混沌態(tài)之間切換時(shí)刻與碼元變化時(shí)刻不能一一對(duì)應(yīng)，甚至有時(shí)狀態(tài)截然相反，但仍然可以清晰分辨出系統(tǒng)輸出為間歇性混沌狀態(tài)，從而判斷BPSK信號(hào)的存在。

圖7 有頻差BPSK信號(hào)Duffing振子輸出時(shí)序包絡(luò)Fig.7 Duffing system output envelope of BPSK signal having frequency difference

在整個(gè)頻段范圍內(nèi)判斷是否有微弱BPSK信號(hào)存在，可以將處理頻段分為n個(gè)通道，每個(gè)通道控守的帶寬為B，采用通道分段控守，實(shí)現(xiàn)對(duì)整個(gè)頻段的全覆蓋。建立Duffing振子微弱BPSK信號(hào)盲檢測(cè)模型，如圖8所示。若任一通道內(nèi)有間歇性混沌狀態(tài)輸出，則判斷在對(duì)應(yīng)通道內(nèi)有微弱BPSK信號(hào)存在。

圖8 基于Duffing振子和S變換微弱BPSK信號(hào)盲檢測(cè)模型Fig.8 Blind detection model of weak BPSK signal by using Duffing oscillators and S transform

為驗(yàn)證變尺度方法的有效性，分別以原始方法和變尺度方法觀測(cè)Duffing系統(tǒng)的幅頻特性。仿真接收機(jī)中頻輸出的BPSK信號(hào)載頻以0.5 MHz步進(jìn)從0.5～5 MHz變化，共計(jì)10批實(shí)驗(yàn)。信道輸入高斯白噪聲，在每個(gè)頻率點(diǎn)上(即每批實(shí)驗(yàn)中)信噪比以1 dB步進(jìn)從-10～-45 dB變化，每批共計(jì)36組實(shí)驗(yàn)。取BPSK信號(hào)碼元速率fd=1/Td=40 kHz，設(shè)定Duffing系統(tǒng)過渡時(shí)間閾值為Th=Td/2，當(dāng)信噪比從高到低變化時(shí)，求得滿足過渡帶時(shí)長tg

圖9 變尺度和原始方法Duffing系統(tǒng)檢測(cè)性能對(duì)比Fig.9 Comparison of detection performance by using original and scale-transformation Duffing oscillator

4 結(jié)論

針對(duì)Duffing系統(tǒng)輸出混沌態(tài)和周期態(tài)之間存在過渡帶問題，分析發(fā)現(xiàn)過渡帶時(shí)間和Duffing系統(tǒng)內(nèi)置頻率有關(guān)，給出了過渡帶時(shí)間與內(nèi)置頻率之間關(guān)系的表達(dá)式，指出內(nèi)置頻率越大，過渡帶時(shí)間越短。

針對(duì)周期態(tài)下Duffing系統(tǒng)輸出與內(nèi)置頻率的幅頻響應(yīng)問題，給出了輸出幅度作為因變量、內(nèi)置頻率作為自變量的關(guān)系表達(dá)式，指出ω≈0.6 rad/s處為最佳幅頻響應(yīng)點(diǎn)，此后隨著內(nèi)置頻率增大，系統(tǒng)幅頻特性下降。

將變尺度方法與檢測(cè)陣列結(jié)合，分析了內(nèi)置頻率和檢測(cè)陣列控守頻段范圍的選取原則，建立了基于Duffing振子和S變化的任意頻率微弱BPSK信號(hào)盲檢測(cè)模型。