張 凱，熊家軍，付婷婷，習(xí)秋實(shí)，蘭旭輝

(1. 空軍預(yù)警學(xué)院 研究生大隊(duì)， 湖北 武漢 430019； 2. 空軍預(yù)警學(xué)院 預(yù)警情報(bào)系， 湖北 武漢 430019)

作為新一代跨大氣層空天飛行器，高超聲速滑翔導(dǎo)彈(Hypersonic Gliding Missile, HGM)結(jié)合了航天器與航空器的特征，具有高速、高機(jī)動(dòng)、高精度、大航程等優(yōu)點(diǎn)，可實(shí)施遠(yuǎn)距離機(jī)動(dòng)快速打擊[1-2]。美國(guó)于2011年和2017年分別成功試射陸基和潛射高速滑翔彈頭，標(biāo)志著HGM武器已初步具備作戰(zhàn)能力，這給我國(guó)空天安全帶來(lái)了巨大威脅。面對(duì)這類目標(biāo)在早期預(yù)警和攔截中跟蹤精度有限的問題，有必要結(jié)合HGM的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)一步研究目標(biāo)跟蹤的相關(guān)理論。

從濾波器應(yīng)用角度來(lái)看，HGM跟蹤是典型的非線性濾波問題，其估計(jì)性能很大程度取決于目標(biāo)狀態(tài)模型的精細(xì)程度。通常，合理構(gòu)建機(jī)動(dòng)再入目標(biāo)的未知?dú)鈩?dòng)力模型可有效提高目標(biāo)的估計(jì)精度[3]。這類方法一般利用氣動(dòng)參數(shù)表征未知?dú)鈩?dòng)力變化，憑借經(jīng)驗(yàn)將其建模為高斯-維納或一階馬爾可夫等通用的機(jī)動(dòng)模型，通過(guò)狀態(tài)增廣[4-7]或輸入估計(jì)[8-9]等方法構(gòu)建完整的動(dòng)力學(xué)模型。其物理含義清晰，穩(wěn)定跟蹤時(shí)估計(jì)精度高。缺點(diǎn)是當(dāng)模型失配或氣動(dòng)力大幅變化時(shí)，跟蹤精度會(huì)大幅下降。

目標(biāo)機(jī)動(dòng)是造成跟蹤精度大幅下降的關(guān)鍵因素。HGM機(jī)動(dòng)是在控制系統(tǒng)作用下通過(guò)調(diào)整制導(dǎo)變量實(shí)現(xiàn)的，其特性受控制規(guī)律約束，并非完全無(wú)章可循。采用傳統(tǒng)的通用機(jī)動(dòng)模型對(duì)氣動(dòng)參數(shù)建模忽略了這一重要的先驗(yàn)信息，不利于提高跟蹤精度。針對(duì)這一問題，文獻(xiàn)[10]采用構(gòu)造的制導(dǎo)規(guī)律推導(dǎo)目標(biāo)的未知?dú)鈩?dòng)加速度模型，其工作具有一定啟示，但模型參數(shù)依賴于離線統(tǒng)計(jì)運(yùn)動(dòng)特征，實(shí)際應(yīng)用中難以實(shí)現(xiàn)。如果能夠在線辨識(shí)制導(dǎo)變量的相關(guān)規(guī)律，則更具應(yīng)用價(jià)值。文獻(xiàn)[11-12]針對(duì)來(lái)襲目標(biāo)末制導(dǎo)辨識(shí)問題，假設(shè)其采用某型比例導(dǎo)引律，通過(guò)狀態(tài)增廣的方式在線估計(jì)制導(dǎo)系數(shù)，從而辨識(shí)目標(biāo)的機(jī)動(dòng)行為。但末制導(dǎo)辨識(shí)問題通常約束條件較強(qiáng)，待定參數(shù)少，難以適應(yīng)中制導(dǎo)階段的HGM跟蹤問題。

據(jù)以上分析不難看出，利用制導(dǎo)控制規(guī)律對(duì)未知?dú)鈩?dòng)參數(shù)建模有助于提高HGM跟蹤精度，但如何辨識(shí)未知參數(shù)進(jìn)而構(gòu)造氣動(dòng)參數(shù)模型是亟待解決的問題。為此，本文對(duì)氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行分析，通過(guò)推導(dǎo)氣動(dòng)參數(shù)與制導(dǎo)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建一種基于制導(dǎo)變量變化規(guī)律的氣動(dòng)參數(shù)模型。

1 氣動(dòng)參數(shù)分析

HGM的加速度的矢量表達(dá)式可描述為：

(1)

式中，aA表示氣動(dòng)加速度，aG表示重力加速度。

飛行過(guò)程中，HGM制導(dǎo)系統(tǒng)通常采用傾斜轉(zhuǎn)彎(Bank To Turn, BTT)控制方式，選擇攻角α和傾側(cè)角υ作為制導(dǎo)變量。α確定阻力加速度D和升力加速度L的大小，υ確定L在縱向和側(cè)向上的分量。因此，aA在位于HGM質(zhì)心的半速度(Velocity Turn Climb, VTC)坐標(biāo)系中可表示為：

(2)

式中，

(3)

其中：uv、ut和uc表示VTC坐標(biāo)系中各向的單位矢量；ρ為大氣密度；v為目標(biāo)速度；m為目標(biāo)質(zhì)量；S為目標(biāo)等效截面積；CD(α)和CL(α)為阻力系數(shù)和升力系數(shù)，通?？杀硎緸棣恋暮瘮?shù)[13-14]。

為描述氣動(dòng)加速度aA的變化規(guī)律，通常利用狀態(tài)依賴參量ρv2/2將氣動(dòng)加速度aA中的未知參數(shù)(k，CL(α)，S，m，υ)轉(zhuǎn)化為氣動(dòng)參數(shù)u=[αv,αt,αc]T[3]。此時(shí)aA在東北天(East-North-Up，ENU)坐標(biāo)系中的表達(dá)式可描述為：

(4)

聯(lián)立式(2)和式(4)，可知?dú)鈩?dòng)參數(shù)u的表達(dá)式為：

(5)

從式(5)不難看出，氣動(dòng)參數(shù)的變化是由制導(dǎo)變量α和υ決定的。同時(shí)，制導(dǎo)變量又導(dǎo)致氣動(dòng)參數(shù)之間存在顯著耦合。在文獻(xiàn)[3-9]中，憑借經(jīng)驗(yàn)對(duì)各向氣動(dòng)參數(shù)進(jìn)行獨(dú)立建模的做法實(shí)際是對(duì)氣動(dòng)參數(shù)的解耦處理，忽略了制導(dǎo)變量對(duì)氣動(dòng)參數(shù)變化的影響。針對(duì)這一問題，下文不再簡(jiǎn)單地將氣動(dòng)參數(shù)當(dāng)作隨機(jī)過(guò)程來(lái)處理，而是通過(guò)構(gòu)造制導(dǎo)變量規(guī)律對(duì)氣動(dòng)參數(shù)建模，從而使得目標(biāo)狀態(tài)模型更加符合實(shí)際情況。

2 氣動(dòng)參數(shù)模型

2.1 模型推導(dǎo)

制導(dǎo)變量α和υ的變化是由目標(biāo)控制系統(tǒng)決定的，在未知其具體變化規(guī)律的情況下，可采用一階時(shí)滯過(guò)程近似處理[10]。

(6)

其中：τα和τυ為α和υ的時(shí)間常數(shù)，是表現(xiàn)制導(dǎo)變量變化快慢的參數(shù)；αG和υG為對(duì)應(yīng)的制導(dǎo)指令，表征制導(dǎo)變量的期望值。

對(duì)于在復(fù)雜大氣層內(nèi)高速飛行的HGM而言，攻角α的大幅值調(diào)整會(huì)使得氣動(dòng)特性復(fù)雜，影響目標(biāo)的熱防護(hù)系統(tǒng)并增加制導(dǎo)控制系統(tǒng)負(fù)擔(dān)。因此，α一般作為輔助的制導(dǎo)變量，在標(biāo)稱值的基礎(chǔ)上進(jìn)行小范圍調(diào)整[15]。由于氣動(dòng)系數(shù)CD(α)和CL(α)可近似為關(guān)于α的線性函數(shù)[16]，當(dāng)αG-α變化較小時(shí)，可用α處的一階泰勒展開式近似表示CD(αG)和CL(αG)。

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)，對(duì)式(5)中的阻力參數(shù)αv求導(dǎo)可得：

(8)

式中，αvG表示制導(dǎo)攻角αG對(duì)應(yīng)的阻力系數(shù)制導(dǎo)指令。

(9)

式中，αlG為制導(dǎo)攻角αG對(duì)應(yīng)的總升力參數(shù)制導(dǎo)指令。

根據(jù)式(5)，對(duì)爬升力參數(shù)αt和轉(zhuǎn)彎力參數(shù)αc求導(dǎo)：

(10)

將式(6)和式(9)代入式(10)，可得：

(11)

其中：

υ=-arctan(αt/αc)

(12)

通過(guò)式(11)，可利用α和υ的變化規(guī)律構(gòu)造αt和αc的模型。

2.2 模型分析

根據(jù)上文推導(dǎo)，帶高斯白噪聲的氣動(dòng)參數(shù)模型可表示為：

(13)

其中，時(shí)間常數(shù)τα和τυ是與當(dāng)前狀態(tài)變化無(wú)關(guān)的參數(shù)。

為描述模型設(shè)計(jì)的合理性，下文對(duì)HGM在不同飛行狀態(tài)下式(13)的變式進(jìn)行分析。

1)穩(wěn)態(tài)飛行。此時(shí)制導(dǎo)變量α和υ保持不變，可知αvG=αv，αlG=αl，υG=υ，則式(13)可簡(jiǎn)化為：

(14)

其中，模型退化為各向解耦的高斯-維納模型，適用于穩(wěn)態(tài)跟蹤情形。

2)俯仰機(jī)動(dòng)飛行。此時(shí)α變化，υ不變，可知αvG≠αv、αlG≠αl、υG=υ，則式(13)可簡(jiǎn)化為：

(15)

3)轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)飛行。此時(shí)υ變化，α不變，可知αvG=αv、αlG=αl、υG≠υ，則式(13)可簡(jiǎn)化為：

(16)

其中 ，

ω=(υG-υ)/τυ

(17)

式中，αv退化為獨(dú)立的高斯-維納模型，αt和αc退化為關(guān)于ω的諧波振蕩模型，ω為諧波振蕩系數(shù)。此時(shí)模型與τυ有關(guān)，適合于由傾側(cè)角υ變化引起的俯仰機(jī)動(dòng)跟蹤情形。

綜上所述，在不同飛行狀態(tài)下，所提氣動(dòng)參數(shù)模型可自適應(yīng)地變化為與目標(biāo)機(jī)動(dòng)相匹配的模型，從而有助于提高跟蹤精度。同時(shí)，模型自適應(yīng)的關(guān)鍵在于如何在不同飛行狀態(tài)下辨識(shí)制導(dǎo)指令αvG、αlG和υG。

3 動(dòng)力學(xué)跟蹤算法

3.1 狀態(tài)與觀測(cè)模型

(18)

(19)

其中，μ為地球引力常數(shù)，Re為地球半徑。

3.2 模型參數(shù)辨識(shí)

為保證模型可用，需要確定時(shí)間常數(shù)以及控制指令的取值。時(shí)間常數(shù)τα和τυ與目標(biāo)控制特性有關(guān)，可根據(jù)目標(biāo)機(jī)動(dòng)特性等某些先驗(yàn)信息進(jìn)行估值。制導(dǎo)指令αvG、αlG和υG是表征目標(biāo)機(jī)動(dòng)的時(shí)變參數(shù)，理想的制導(dǎo)指令辨識(shí)值變化趨勢(shì)為：當(dāng)目標(biāo)穩(wěn)態(tài)飛行時(shí)，制導(dǎo)指令與對(duì)應(yīng)參數(shù)之間的偏差量為零，此時(shí)氣動(dòng)參數(shù)模型退化為各向獨(dú)立的高斯-維納模型(13)，制導(dǎo)指令辨識(shí)值處于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程；當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，制導(dǎo)指令辨識(shí)值由平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程變?yōu)榉瞧椒€(wěn)隨機(jī)過(guò)程，有明顯的上升或下降，并且顯著偏離對(duì)應(yīng)數(shù)，在偏差作用下，氣動(dòng)參數(shù)模型自適應(yīng)地變化為相應(yīng)的機(jī)動(dòng)態(tài)模型(14)或模型(15)，使偏差逐漸收斂，此后機(jī)動(dòng)態(tài)模型逐漸退化為高斯-維納模型。

可見，要實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)參數(shù)模型與目標(biāo)飛行狀態(tài)的自適應(yīng)匹配，需要在線辨識(shí)制導(dǎo)指令的變化趨勢(shì)。為此，假設(shè)制導(dǎo)指令的變化趨勢(shì)在短時(shí)間內(nèi)保持一致，k+1時(shí)刻的制導(dǎo)指令可根據(jù)k時(shí)刻氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)值近似獲取。結(jié)合式(6)、式(8)和式(9)，可得制導(dǎo)指令辨識(shí)值為：

(20)

(21)

式中，n是設(shè)計(jì)參數(shù)，取值應(yīng)當(dāng)根據(jù)采樣周期T和估計(jì)精度需求決定。n取較小的值，量測(cè)誤差容易導(dǎo)致制導(dǎo)指令偏差過(guò)大；n取較大的值，制導(dǎo)指令變化不明顯導(dǎo)致機(jī)動(dòng)信息丟失和機(jī)動(dòng)檢測(cè)延遲?？紤]制導(dǎo)變量變化通?？稍跀?shù)秒至數(shù)十秒量級(jí)時(shí)間內(nèi)完成，為及時(shí)檢測(cè)到目標(biāo)機(jī)動(dòng)，可設(shè)置nT≤1 s。需要注意的是，在濾波器啟動(dòng)階段(k

4 仿真分析

設(shè)計(jì)如下仿真環(huán)境：①目標(biāo)參數(shù)——仿真時(shí)間為180 s，真實(shí)模型參考某型HGM的基本參數(shù)，采用六自由度動(dòng)力學(xué)方程生成仿真彈道[15]，通過(guò)反饋調(diào)整控制力矩滿足制導(dǎo)指令要求，目標(biāo)在t≈35 s時(shí)進(jìn)行強(qiáng)機(jī)動(dòng)，在t≈90 s時(shí)進(jìn)行弱機(jī)動(dòng)。②傳感器參數(shù)——采用擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter, EKF)，距離量測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差為500 m，方位角、俯仰角量測(cè)標(biāo)準(zhǔn)差均為0.01 rad，采樣周期T=0.1 s，n取值為10。

利用兩種動(dòng)力學(xué)模型跟蹤算法進(jìn)行仿真對(duì)比。①M(fèi)aRV模型：將氣動(dòng)參數(shù)建模為一階馬爾可夫模型[3]。②Guide模型：將氣動(dòng)參數(shù)建模為本文所提模型。對(duì)跟蹤算例進(jìn)行50次蒙特卡洛仿真，計(jì)算狀態(tài)的均方根誤差(Root Mean Square Error，RMSE)。

4.1 不同模型條件下跟蹤算法仿真

圖1～2分別給出兩種算法的位置與速度RMSE仿真結(jié)果。可以看出：當(dāng)目標(biāo)強(qiáng)機(jī)動(dòng)時(shí)，兩種算法位置與速度估計(jì)誤差均顯著增大，然后逐漸減小，Guide模型估計(jì)誤差約為MaRV模型的75%，且收斂速度更快；當(dāng)目標(biāo)弱機(jī)動(dòng)時(shí)，MaRV模型位置與速度估計(jì)誤差增長(zhǎng)明顯，但Guide模型的位置估計(jì)誤差未發(fā)生明顯波動(dòng)，且速度估計(jì)誤差約為MaRV模型的60%；當(dāng)目標(biāo)不發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，算法性能差別不明顯。

圖1 不同濾波算法位置估計(jì)RMSEFig.1 RMSE in position estimate for different filters

圖2 不同濾波算法速度估計(jì)RMSEFig.2 RMSE in velocity estimate for different filters

圖3～4分別給出兩種算法的氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)值和相應(yīng)的RMSE仿真結(jié)果。為方便表現(xiàn)Guide模型中制導(dǎo)指令的變化情況，根據(jù)αlG和υG的辨識(shí)值，利用式(12)解算出表示αt和αc期望值的制導(dǎo)指令αtG和αcG，將各向氣動(dòng)參數(shù)對(duì)應(yīng)的制導(dǎo)指令αvG、αtG和αcG變化情況一并在圖3中表示。從圖3中可以看出：當(dāng)參數(shù)變化較為平緩時(shí)，Guide模型中制導(dǎo)指令與氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)值非常接近，兩種算法對(duì)氣動(dòng)參數(shù)的估計(jì)精度差別較小；當(dāng)氣動(dòng)參數(shù)劇烈變化時(shí)，Guide模型中制導(dǎo)指令會(huì)隨參數(shù)變化趨勢(shì)方向快速下降或上升，且Guide模型收斂速度顯著快于MaRV模型。從圖4中可以看出：當(dāng)目標(biāo)未發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，兩種算法對(duì)氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)性能相當(dāng)；當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，Guide氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)誤差約為MaRV模型的80%。

(a) 阻力參數(shù)估值(a) Drag parameter estimation

(b) 轉(zhuǎn)彎力參數(shù)估值(b) Turn force parameter estimation

(c) 爬升力參數(shù)估值(c) Climb force parameter estimation圖3 不同動(dòng)力學(xué)模型氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)值Fig.3 Aerodynamic parameters estimation of different dynamic models

(a) 阻力參數(shù)RMSE(a) RMSE of drag parameter

(c) 轉(zhuǎn)彎力參數(shù)RMSE(c) RMSE of turn force parameter圖4 不同動(dòng)力學(xué)模型氣動(dòng)參數(shù)估計(jì)RMSEFig.4 RMSE in aerodynamic parameter estimate of different dynamic models

分析上述仿真結(jié)果可知：當(dāng)目標(biāo)不發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，Guide模型退化為適合于穩(wěn)態(tài)跟蹤的高斯-維納模型，因此未表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢(shì)；當(dāng)目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，尤其是機(jī)動(dòng)強(qiáng)度不大時(shí)，由于Guide模型中制導(dǎo)指令能夠更快地反映目標(biāo)機(jī)動(dòng)的變化趨勢(shì)，此時(shí)Guide模型可自適應(yīng)地匹配目標(biāo)當(dāng)前運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其性能明顯優(yōu)于MaRV模型；而MaRV模型采用通用的一階馬爾可夫模型，未能及時(shí)刻畫目標(biāo)真實(shí)運(yùn)動(dòng)特性，導(dǎo)致模型在目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)跟蹤性能下降。

4.2 不同濾波器參數(shù)條件下跟蹤算法仿真

為檢驗(yàn)不同濾波器參數(shù)對(duì)所提氣動(dòng)參數(shù)模型的影響，利用表1中4個(gè)算例從濾波算法和量測(cè)參數(shù)兩方面對(duì)兩種跟蹤算法分別求RMSE均值并進(jìn)行分析。表中，濾波器有EKF和不敏卡爾曼濾波器(Unscented Kalman Filter, UKF)兩種。

表1 性能對(duì)比算例參數(shù)設(shè)置

表2為位置、速度和氣動(dòng)參數(shù)的RMSE均值情況?？梢钥闯觯篣KF的估計(jì)精度高于EKF的估計(jì)精度，但相對(duì)于模型和量測(cè)參數(shù)而言，濾波算法的性能提升作用不明顯；誤差協(xié)方差增大一倍，Guide模型中位置和速度RMSE均值分別增大約100%和35%，氣動(dòng)參數(shù)RMSE均值分別增大約40%、15%和20%；采樣周期增大一倍，位置和速度RMSE均值分別增大約70%和25%，氣動(dòng)參數(shù)RMSE均值分別增大約240%、25%和40%。

分析以上仿真結(jié)果可知：濾波算法對(duì)模型性能影響有限，采用EKF可有效提高計(jì)算效率；減小誤差協(xié)方差有助于提高位置與速度估計(jì)精度，提高采樣率有助于提高氣動(dòng)參數(shù)辨識(shí)精度；總體上Guide模型估計(jì)精度優(yōu)于傳統(tǒng)MaRV模型，進(jìn)一步證實(shí)前文結(jié)論。

表2 狀態(tài)估計(jì)誤差性能比較

5 結(jié)論

本文在假設(shè)HGM制導(dǎo)變量符合一階時(shí)滯過(guò)程的前提條件下，研究一種面向自適應(yīng)跟蹤的氣動(dòng)參數(shù)模型。與以往相關(guān)工作相比，本算法不再假定氣動(dòng)參數(shù)為獨(dú)立的機(jī)動(dòng)模型，而是通過(guò)推導(dǎo)其與制導(dǎo)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建了一種基于制導(dǎo)變量變化規(guī)律的自適應(yīng)氣動(dòng)參數(shù)模型。

仿真結(jié)果表明，當(dāng)目標(biāo)發(fā)生機(jī)動(dòng)時(shí)，使用Guide模型的跟蹤算法性能明顯優(yōu)于使用MaRV模型的跟蹤算法性能。同時(shí)，不同濾波器參數(shù)條件下的仿真算例則進(jìn)一步證實(shí)了上述結(jié)論。