黑龍江省哈爾濱市工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校 張?zhí)旎?/p>

不等式是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中的一個(gè)重要組成部分，是研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具。不等式的證明方法有很多，涉及高中數(shù)學(xué)體系的方方面面。調(diào)查表明，學(xué)生在進(jìn)行證明時(shí)往往無(wú)法快速地選擇出最合適、最簡(jiǎn)便的方法，因此，教師如何將證明不等式的方法有效地滲透給學(xué)生，成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重難點(diǎn)。

一、研究不等式證明的教學(xué)意義分析

首先，不等式是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中一種廣泛被使用的輔助工具，在其他很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析與解答中都需要使用到不等式的知識(shí)，但是在使用不等式的過(guò)程中，很多時(shí)候需要我們先證明不等式的可行性。因此，研究不等式的證明方法是教學(xué)的切實(shí)需求，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的必經(jīng)之途。

其次，在不等式證明教學(xué)中可以有效地鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力。不等式證明的方法非常多，在高中數(shù)學(xué)中只涉及了一些關(guān)鍵的研究方法。在這些方法的教學(xué)中，滲透著經(jīng)典數(shù)學(xué)思想的精髓，通過(guò)記憶與推理的緊密結(jié)合，可以有效地達(dá)到鍛煉學(xué)生邏輯思維的目的。

最后，通過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟坏仁阶C明方法的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)思考的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)精神和習(xí)慣，這種行為習(xí)慣的形成對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的提升具有重要的幫助，對(duì)學(xué)生其他科目的學(xué)習(xí)也有很大的幫助。

二、兩種不等式證明的方法教學(xué)探討

在高中階段需要學(xué)習(xí)的不等式的證明方法有很多，主要用到的有放縮法、柯西不等式、比較法、反證法、換元法等。下面，我將針對(duì)放縮法和柯西不等式兩種主要的方法進(jìn)行教學(xué)講解。

1．放縮法

放縮法是指要證明某個(gè)不等式如A＜B，可以首先將不等式的一邊進(jìn)行放大或者縮小，尋找一個(gè)中間量，如將A放大成為C，如果我們可以首先證明C＜B，那么比C還要小的A自然也要小于B，即A＜C＜B，實(shí)際上是使用了不等式的傳遞性，而這種間接證明的方法就被稱之為放縮法。放縮法是研究不等式證明方法里常見(jiàn)的一種方法，它是通過(guò)思想轉(zhuǎn)換來(lái)實(shí)現(xiàn)證明的，對(duì)學(xué)生思維具有很重要的啟發(fā)作用，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)?shù)玫浇處煹淖銐蛑匾?，幫助學(xué)生對(duì)放縮法的使用做到熟能生巧。放縮法的含義非常簡(jiǎn)單，在教學(xué)中最重要的是培養(yǎng)學(xué)生的使用意識(shí)，當(dāng)面對(duì)此類題型時(shí)，學(xué)生可以一眼看穿，直接使用放縮法進(jìn)行迅速證明。下面我們用一個(gè)經(jīng)典例題來(lái)看看放縮法的具體使用過(guò)程。

分析：這是一個(gè)基本又經(jīng)典的利用放縮法來(lái)證明不等式的題目，在解答這個(gè)題目時(shí)，我們可以看到這個(gè)題目屬于A＜B的類型，于是我們可以首先將不等式左邊的A進(jìn)行放大，可以首先得出：可以看出在這個(gè)不等式中的右邊是我們非常熟悉的一個(gè)式子，可以通過(guò)裂項(xiàng)來(lái)計(jì)算，得出不等式右邊等于2-＜2，于是證明了原不等式。

使用放縮法進(jìn)行不等式的證明時(shí)，有一些有效的技巧可以讓學(xué)生記?。河鲆?jiàn)分式可以嘗試放大或者縮小分子或者分母；構(gòu)造出等比數(shù)列進(jìn)行放縮；利用裂項(xiàng)求式來(lái)進(jìn)行計(jì)算放縮；利用錯(cuò)位相減來(lái)進(jìn)行放縮等。教師需要在教學(xué)中積極總結(jié)題型經(jīng)驗(yàn)，把握命題規(guī)律，提升學(xué)生快速解決不等式證明問(wèn)題的能力。

2．柯西不等式

柯西不等式同樣是不等式證明中的一個(gè)重要方法，柯西不等式具有多種形態(tài)，我們通過(guò)柯西不等式的一般形態(tài)進(jìn)行講解?？挛鞑坏仁降囊话阈螒B(tài)為（a2+b2）+（c2+d2）≥（ac+bd）2，在實(shí)際使用過(guò)程中，我們經(jīng)常會(huì)對(duì)這個(gè)公式進(jìn)行變形，因此，一般還會(huì)用到ac+bd≤，等號(hào)成立的條件是有且僅有ad=bc，這個(gè)公式就代表柯西不等式。除了上面的一般形式，柯西不等式還存在向量形式、三角形式、概率論形式、積分形式等多種表現(xiàn)形式，也因此在教學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。下面，我們通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的例題來(lái)具體探討柯西不等式在不等式證明方面的應(yīng)用途徑。

例2：已知三個(gè)正數(shù)a，b，c互不相等，證明：

分析：這個(gè)不等式剛看上去很難掌握其中的關(guān)鍵，因此我們首先可以通過(guò)變形來(lái)獲得其中的關(guān)鍵。由于三個(gè)分母都是正數(shù)，所以我們可以首先將不等式右邊的分母移到左邊來(lái)，可以獲得：對(duì)這個(gè)式子通過(guò)一系列的化簡(jiǎn)，可以得到該式子≥=（1+1+1）2=9，又由于三個(gè)字母互不相等，所以需要注意等號(hào)是取不到的。

使用柯西不等式來(lái)證明不等式時(shí)的技巧一般是通過(guò)拆常數(shù)、湊常值來(lái)進(jìn)行的。柯西不等式是不等式證明方法中一個(gè)常用但是困難的方法，需要教師為學(xué)生多總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，找到其中的規(guī)律，最重要的是要讓學(xué)生多做題，自己找出其中的規(guī)律，對(duì)這幾種常見(jiàn)的題型做到爛熟于心，從而迅速地解決問(wèn)題。

除了放縮法和柯西不等式法之外，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及的不等式證明方法還有很多，需要教師為學(xué)生進(jìn)行一一細(xì)致講解，可以通過(guò)一些經(jīng)典例題的講解幫助學(xué)生真正地理清其中的區(qū)別與聯(lián)系，使學(xué)生在解題時(shí)能夠迅速地找出解決問(wèn)題的最適合方法，并提升學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。