刁鵬鵬 鄧書金 李芳 武海斌

(華東師范大學,精密光譜科學與技術國家重點實驗室,上海 200062）

多體系統(tǒng)的非平衡動力學演化是當前物理學中最具挑戰(zhàn)性的問題之一.超冷量子費米原子氣體具有較強的可控性,是研究多體非平衡動力學的理想系統(tǒng),可以用來模擬和理解大爆炸后的早期宇宙、重離子碰撞中產生的夸克-膠子以及核物理等動力學.一般多體系統(tǒng)演化是非常復雜的,往往需要利用對稱性來研究.利用Feshbach共振可以制備標度不變的費米原子氣體:無相互作用和幺正費米量子氣體.當遠離平衡態(tài)時,可利用普適的指數和函數來刻畫,其動力學可以通過對系統(tǒng)的時空演化進行標度變換來識別.本文主要介紹近年來強相互作用超冷費米氣體的膨脹動力學研究進展,包括原子氣體的各向異性展開、標度動力學和Efimovian膨脹動力學.

1 引 言

自從1999年簡并費米氣體(DFG)在實驗中被實現以來[1],費米原子氣體具有的量子統(tǒng)計規(guī)律和穩(wěn)定可控的相互作用使得其迅速成為了研究熱點,近二十年來得到了迅猛發(fā)展.相較于玻色氣體,費米氣體遵從不同的量子統(tǒng)計規(guī)律,在無相互作用下費米原子氣體從經典氣體到量子氣體趨于平滑過渡,超流相變過程只會在原子間存在相互作用的情況下才能出現.費米氣體初期的研究內容主要集中在超冷費米氣體的超流特性上,比如強相互作用超冷費米氣體的流體動力學展開[2]和集體激發(fā)振蕩[3,4]、分子的玻色愛因斯坦凝聚(BEC)和原子對的 BCS(Bardeen-Cooper-Schri effer)超流的渡越物理 (BEC-BCS crossover)[5?7]、強相互作用費米氣體量子化渦旋的實現[8]、自旋極化的費米氣體[9]、孤子的產生和傳播[10]、Mott絕緣態(tài)[11]以及反鐵磁態(tài)[12,13]的超流相變等,最近幾年超冷費米氣體的自旋軌道耦合[14]、Bragg譜[15]、新奇非平衡動力學[16]以及具有長程偶極相互作用的超冷磁性原子氣體[17,18]等也取得了較大的進展.

膨脹動力學是超冷費米氣體非常重要的研究方向.在超冷費米氣體中,Feshbach共振技術的使用可以精確調控原子間的相互作用,當原子間波散射長度調至0時,原子氣體為無散射碰撞的無相互作用費米氣體;而在Feshbach共振點處,原子間波散射長度遠超原子間距,系統(tǒng)的相互作用能占主導,形成幺正費米氣體.在幺正費米氣體中,原子間距成為了系統(tǒng)唯一的長度單位,系統(tǒng)可以表現出許多普適性的物理規(guī)律[19?21].

無論無相互作用費米氣體還是幺正費米氣體,系統(tǒng)中均存在標度不變動力學對稱性,在這種動力學對稱性下,超冷費米量子氣體的局域關聯(lián)函數在演化過程中是自相似的,因此其熱力學流體性質可以通過一個簡單的坐標含時標量因子變換來描述,極大地簡化了多體非平衡系統(tǒng)動力學的復雜性.在超冷費米氣體膨脹動力學的研究中,可以通過快速精確調控原子間相互作用以及外加勢來構成一個測試基本的少體和多體物理的理想系統(tǒng),探索強相互作用費米氣體許多新奇的非平衡特性,理解復雜少體和多體量子系統(tǒng)動力學過程.

本文主要介紹超冷費米氣體中膨脹動力學的研究進展.首先介紹強相互作用超冷費米氣體各向異性膨脹動力學,這一動力學膨脹行為直接反映了超冷費米氣體的超流特性;其次是超冷費米氣體的標度不變性及其對稱性破缺,介紹了幺正費米氣體和無相互作用費米氣體的標度不變展開動力學,以及在有限散射長度情形下原子氣體系統(tǒng)的標度不變性不再能夠維持而產生的標度不變對稱性破缺動力學行為;最后是標度不變費米氣體的Efimovian膨脹動力學的觀測,分別講述了超冷費米氣體的Efimovian膨脹動力學的實驗結果和普適的動力學特性,并且對超冷費米氣體超級Efimovian膨脹動力學原子團大小以及能量的雙對數標度振蕩行為展開了討論和分析.本綜述以強相互作用費米氣體為研究主體,介紹了最近強相互作用超冷費米氣體膨脹動力學的最新研究進展,主要對超冷費米氣體在少體和多體動力學研究、新奇非平衡動力學探究等方面展開了深入討論.

2 超冷費米氣體的膨脹動力學研究

2.1 強相互作用超冷費米氣體的各向異性展開

類似超冷費米氣體存在高溫超導特性,超流體也是超冷費米氣體具有的一大特性.在超冷費米氣體接近零溫的情況下,流體中存在的量子黏度越來越小,費米流體越來越接近超流體,通過對超流體所具有的流體力學性質[2,22]、量子化渦旋[8]、原子成對效應[23,24]等進行深入探索研究,可以進一步提高人們對超流體性質的深入認知.

2002 年,美國杜克大學的O'Hara 等[2]利用全光俘獲的方法獲取了強相互作用的6Li超冷費米氣體,并且首次觀測了強相互作用費米氣體的各向異性膨脹過程.在實驗中,他們使用外加磁場來進行原子的Feshbach共振,使三維“雪茄型”費米氣體處于強相互作用區(qū)域,當快速關掉光阱使原子氣體自由地在三維空間飛行膨脹時,發(fā)現其膨脹過程展現出圖1(a)中所示的情形,原子氣體的縱橫比很快發(fā)生顛倒,體現為各向異性的動力學膨脹,這是由于原子間強烈的散射碰撞導致的.對于稀釋的原子氣體而言,原子間間距相對較大,原子間短程相互作用長度一般會遠小于原子間距,利用Feshbach共振技術可以將超冷原子將s波散射長度調至遠大于原子間距,此時原子間的散射碰撞將占據主導作用,費米原子氣體也因此展現出各向異性的“橢圓流動”行為[2].而對于無相互作用的費米氣體,由于原子氣體間沒有散射碰撞,在足夠長的時間后原子的動量分布將趨向于各向同性,最終在空間中原子氣體將形成趨向于球形.因此這種各向異性膨脹過程不會發(fā)生在無相互作用的費米氣體中,無相互作用原子氣體的縱橫比不會超過1,如圖1(c)所示.

圖1 (a)強相互作用超冷費米氣體的各向異性膨脹吸收成像圖;(b)原子團不同方向的非平衡動力學膨脹行為;(c)不同相互作用下原子團的縱橫比大小演化圖[2]Fig.1.(a)The absorption image of the anisotropic expansion dynamics in strongly interacting Fermi gas;(b)the non-equilibrium dynamical expansion behavior in different directions;(c)the evolution for the aspect ratio of the atomic cloud under different interaction regime[2].

強相互作用超冷費米氣體各向異性的動力學膨脹行為是超冷費米氣體原子間超強相互作用最直觀的體現,曾一度作為費米超流體的有力證據.不僅如此,強相互作用超冷費米氣體的各向異性膨脹還與系統(tǒng)中存在的量子黏度[25]有著緊密的聯(lián)系.當系統(tǒng)中量子黏度增大時,原子氣體的動量分布將從快速膨脹的徑向方向流向緩慢膨脹的軸向方向,進而使得原子氣體的縱橫比逐步縮小,這一特性還可以用于測量費米流體中的量子黏度系數以及熵[3,20,25,26].

在理論方面,2002年意大利特倫托大學的Menotti等[27]做出了重要的貢獻.在研究中,從平衡態(tài)超流費米氣體的流體力學出發(fā),研究了系統(tǒng)的連續(xù)性方程和歐拉流體方程,利用Landau-Vlasov方程以及標量變換方程[28],成功推導了三維諧振子阱中強相互作用費米氣體的動力學方程,較為完備地描述了超流態(tài)強相互作用費米氣體BEC-BCS渡越區(qū)域的飛行時間動力膨脹行為.研究結果可以用以下方程來表示:

2.2 超冷費米氣體的標度不變性及其對稱性破缺

標度不變物理系統(tǒng)有一個鮮明的特征,系統(tǒng)中缺乏有效特征長度標度,使得連接不同物理領域的重大進展成為可能.在超冷費米氣體中,原子氣體間的s波散射占據主導作用,超冷原子間相互作用可以通過Feshbach共振技術來調節(jié),在原子間相互作用趨于0時可以形成無相互作用費米氣體,而原子間散射長度趨于無窮大時會形成幺正費米氣體.對于無相互作用費米氣體,原子間散射長度為0,幺正費米氣體中原子散射長度趨于無窮,更是遠大于原子間距,因此對于這兩種特殊情形,系統(tǒng)中原子間距成為了唯一標度,都將體現出標度不變的動力學對稱特性.在標度不變動力學對稱性下,超冷費米量子氣體的局域關聯(lián)函數在演化過程中是自相似的,因此其熱力學流體性質可以通過一個簡單的坐標含時標量因子變換來描述,極大地簡化了多體非平衡系統(tǒng)動力學的復雜性,可以激發(fā)許多少體和多體動力學的研究,在熱力學和流體力學方面產生許多普適的動力學規(guī)律[19,31?33].

超冷原子氣體從諧振子阱中自由展開時,在強相互作用區(qū)域原子氣體不僅僅體現出“橢圓流動”的行為,其均方原子團大小也呈現出標量動力學特征[34].這一標量動力學展開行為被Elliott等[34]在實驗上證實,如圖2所示,他們發(fā)現當標度不變的費米氣體在飛行時間展開時,原子氣體的均方原子團大小有著普適的飛行時間標量關系,無論是無相互作用費米氣體還是幺正費米氣體均遵從這一規(guī)律.

圖2 幺正費米氣體和無相互作用費米氣體的標度不變展開動力學[34]Fig.2.Scale invariant expansion of a resonantly interacting Fermi gas compared with the non-interacting Fermi gas[34].

在強相互作用幺正區(qū)域,當原子氣體從偶極阱中自由展開時,由于原子氣體間的體黏滯阻力和局域非平衡態(tài)帶來的壓力對原子氣體的自由膨脹過程影響較小,盡管原子氣體有著各向異性的動力學膨脹行為,原子氣體的整體均方原子團大小仍舊維持著飛行時間標量關系.而當散射長度有限時,系統(tǒng)的標度不變對稱性得到破壞,費米量子流體中的體黏滯阻力加大,并且出現了由標度對稱性破缺所產生的費米壓力,這些阻力與原子間的散射長度有著相同的符號,致使在散射長度為正的BEC區(qū)域阻礙原子氣體的自由展開,在散射長度為負的BCS區(qū)域使得原子氣體的膨脹速度加快,因此呈現出如圖3所示的動力學情形.

圖3 Feshbach共振點附近費米氣體膨脹動力學的對稱性破缺行為,從上到下依次為BCS區(qū)域、幺正區(qū)域和BEC區(qū)域[34]Fig.3.Conformal symmetry breaking in the expansion for a Fermi gas near a Feshbach resonance.Top:BCS region;Center:unitary region;Bottom:BEC region[34].

這一實驗結果證實了兩個問題:首先,在強相互作用超冷費米氣體的各向異性膨脹過程,費米氣體仍然維持著標度不變對稱性;其次,在流體力學膨脹中費米壓強與能量密度之間存在著定量的.在有限散射長度的情形下,系統(tǒng)的標度不變性將不再能夠維持,原子氣體中也會產生由標度對稱性破缺所產生的費米壓強差.

2.3 超冷費米氣體的Efimovian新奇膨脹動力學

2.3.1 超冷費米氣體的Efimovian動力學

Efimovian膨脹動力學[16]是近年來超冷費米氣體膨脹動力學研究中一個非常重要的研究內容,在標度不變性對稱性下,當超冷費米氣體所處諧振子阱的頻率按照關系連續(xù)變化時,原子團的膨脹過程將會隨著時間變化出現一系列分離的平臺結構,在每一個平臺附近費米氣體幾乎停止膨脹,平臺的位置和大小構成了一個等比數列,呈現出指數周期式分布.這種新奇的動力學膨脹過程和三體物理中的Efimov效應[35?38]有著類似的數學表達式,是由量子費米原子氣體所具有的對稱性決定的,只有在空間和時間上同時具有標度不變性的時候才會出現.而當超冷費米氣體原子間相互作用為有限值時,標度不變對稱性遭到破壞,此時系統(tǒng)的量子化平臺結構也不再能夠維持[39].

在Efimovian膨脹動力學的實驗中,華東師范大學的武海斌研究組利用兩束交叉光偶極阱構成原子氣體的諧振子阱,利用磁場Feshbach的技術來調控原子氣體間的相互作用強度,分別在無相互作用費米氣體和幺正費米氣體中進行了實驗觀察,結果如圖4(d)和圖4(e)所示.當諧振子頻率按照現一系列的量子化平臺結構,且每個量子化平臺所處的時間和原子團的大小均呈現出周期式的離散化指數規(guī)律.隨著無量綱因子的逐漸變大,系統(tǒng)的平臺結構數目逐步減少且平臺間距逐漸加大,最終在=4的時候達到閾值點,趨近于連續(xù)分布.而在圖4(d)和圖4(e)中大于4的左側灰色區(qū)域,原子氣體膨脹過程不存在量子化平臺結構,原子氣體表現出連續(xù)的對稱性.

圖4 Efimovian膨脹動力學示意圖 (a),(b)原子氣體所處諧振子阱頻率的變化過程;(c)Efimovian膨脹動力學的理論預測;(d),(e)分別代表無相互作用費米氣體和強相互作用費米氣體的Efimovian膨脹動力學的實驗觀測結果[16]Fig.4.The Efimovian expansion dynamics:(a)and(b)are the evolution of the harmonic trap frequency;(c)the prediction of the Efimovian expansion dynamics;(d)and(e)are the experimental observation of the Efimovian expansion in non-interacting Fermi gas and unitary Fermi gas respectively[16].

類似于在超冷原子氣體中觀測的Efimov三體束縛態(tài)的離散化束縛能[36],Efimovian動力學膨脹過程也受因子控制,其動力學膨脹行為可以用數學表達式描述如下:

對比在不同相互作用下的超冷費米氣體的Efimovian膨脹動力學行為,研究發(fā)現當相同時,幺正費米氣體和無相互作用費米氣體有著相同的動力學膨脹規(guī)律,方程(3）可重新表示為

在偏離Feshbach共振點、散射長度有限的BEC和BCS區(qū)域,超冷費米氣體的Efimovian膨脹動力學的量子化臺階顯然也將不再能夠維持,原子氣體中存在的體黏滯阻力和對稱性破缺所帶來的壓強差會阻礙或者加速原子氣體的動力學膨脹行為,進而使得量子化平臺結構發(fā)生破壞和偏離.可以想像的是,隨著臺階數目的增加,標度不變對稱性破缺帶來的影響會逐步增加,量子化平臺結構的破壞也會變得愈加嚴重.

圖5 Efimovian 膨脹動力學的普適性 (a)Efimovian膨脹動力學與原子間相互作用的關系;(b)Efimovian膨脹動力學與原子數目、溫度間的關系;(c),(d)無量綱化后的普適Efimovian動力學膨脹圖[16]Fig.5.The universality of the Efimovian expansion dynamics:(a)The Efimovian expansion with different interaction regime;(b)the Efimovian expansion with different atoms'number and temperature;(c)and(d)are the universal dimensionless Efimovian expansions[16].

2.3.2 超冷費米氣體的超級Efimovian膨脹

近期有理論提出可以在標度不變費米氣體中開展動力學超級Efimov效應的研究[46],并且很快就被實驗證實[42].當超冷費米氣體的頻率按照氣體的膨脹動力學方程可以表述為

實驗結果如圖6所示,在時間和空間坐標下超冷費米氣體無論是在無相互作用下(圖6(c))下還是處于幺正區(qū)域(圖6(a))均呈現出與Efimov效應類似的時間空間離散結構,而將其轉化到雙對數坐標下(圖6(b)和圖6(d))原子團大小清晰地展現出正弦振蕩的行為,表征出原子氣體膨脹過程中所顯現的雙對數依賴關系.

值得一提的是,超級Efimovian動力學膨脹過程中不僅原子團大小呈現雙對數依賴關系,其能量本征值也符合雙對數標量關系.諧振子阱中的量子氣體的能量可以認為勢能和內能之和,內能包括原子氣體的動能和相互作用能.如圖7所示,在無相互作用費米氣體中,由于相互作用能為零,系統(tǒng)可以簡單地認為只存在勢能和動能,隨著超級Efimovian動力學膨脹行為的進行,原子氣體的內能和勢能同步減少,且內能和勢能存在很大程度的周期式交換過程,其能量交換的周期剛好和超級Efimovian動力學效應的振蕩周期相同.超級Efimovian動力學過程中內能和勢能均符合雙對數指數標度關系,且振蕩周期相同,相位相差.

圖6 超級Efimovian膨脹動力學實驗結果 (a)和(c)分別表示幺正費米氣體和無相互作用費米氣體的超級Efimov動力學效應;(b)和(d)表示在時間雙對數標度下相應原子團大小的振蕩行為[42]Fig.6.The experimental observation of dynamical super Efimovian expansion.(a),(b)and(c),(d)are the mean axial cloud size versus the expansion time and the dimensionless axial mean square cloud size versus the dimensionless time in the unitary Fermi gas and ideal Fermi gas,respectively[42].

圖7 超級 Efimovian膨脹過程中的內能和勢能在時間(a)及其雙對數標度(b)下的變化示意圖[42]Fig.7.The axial potential(internal) energy ratio versus expansion time (a) and the axial energy scaling versus dimensionless time(b)for the super Efimovian expansion[42].

近期河海大學的Zhang等[47]用標度理論對不同構型、不同相互作用情形的動力學超級Efimov效應開展了拓展研究,研究發(fā)現在對稱性破缺的情形下超級Efimov動力學行為仍舊可以呈現出雙對數周期振蕩的行為,但是在BEC區(qū)域振蕩行為將表現為偏離中心向下振蕩,而相應的BCS區(qū)域則表現為偏離中心向上振蕩,這種行為可以用來區(qū)分不同類型的超流特性.

3 結 論

超冷費米氣體的研究是當前冷原子分子物理的重要研究方向之一,強相互作用超冷費米氣體的膨脹動力學更是有著非常重要的研究意義.當費米氣體處于強相互作用幺正區(qū)域時,超冷的費米氣體原子間散射長度趨于無窮,費米多體系統(tǒng)除原子間的距離外不再具有特征長度,表現出普適的熱力學特性,具有標度不變性的對稱性.重要的是這一膨脹動力學行為是普適的行為,可以拓展至其他標度不變的系統(tǒng)中,比如一維Tonk氣體和二維弱相互作用量子氣體等,這些系統(tǒng)中的行為需要進行進一步的實驗驗證.

本文介紹的工作均是在標度不變系統(tǒng)中進行的研究工作,此時的超冷費米氣體為無相互作用或者散射共振狀態(tài).然而當系統(tǒng)偏離散射共振時,散射長度變?yōu)榫唧w有限的大小,系統(tǒng)的標度不變性將遭到破壞,相應的膨脹動力學也將發(fā)生改變甚至原有的特性都會被破壞.研究散射長度從零變?yōu)闊o窮大過程中原子氣體的膨脹動力學有助于人們更加清晰地認知少體和多體物理,以及理解碰撞散射過程的機理.對于某些鮮明的動力學特征如Efimovian膨脹動力學的離散周期特性是否能夠保持仍舊需要探索,相應周期長度之間的關系還需要進一步的研究.

可以預見的是,強相互作用超冷費米氣體的非平衡動力學是未來比較前沿的研究課題,有許多新奇的非平衡動力學課題還未解決.比如低溫原子氣體散射長度突然改變時多體系統(tǒng)的膨脹動力學如何改變,以及在此變化條件下如何探索量子氣體中原子對能帶間隙的大振幅和低振動頻率的振蕩的集體行為,這對于研究孤立強相互作用費米氣體的準熱化、熱化和熱平衡過程有較大意義.

總的來說,研究強相互作用超冷費米氣體的膨脹動力學意義深遠,在這樣的超冷超強相互作用的標度不變費米氣體中,通過精確調控外加俘獲勢和原子間相互作用強度,構成了一個基本的測試少體和多體物理的理想系統(tǒng),對于新奇非平衡動力學操控和探測有著深遠的影響.

感謝清華大學翟薈教授、中山大學俞振華教授、中國人民大學齊燃副教授,以及美國Adolfo Del Campo教授的合作與討論.