☉江蘇省海門市東洲國際學校 陳宏亮

筆者認為，學習數學的過程就是研究模型進而使用模型解決問題的過程.簡單舉例：一元一次方程一章中，我們從概念、解法、應用多個角度進行學習，最后將其落實到解題中.我們將不同模型對應于不同題型，相應地解決問題.在學習時，需要對模型進行歸納、消化，此時，思維具有形成的過程；在解題時需要在記憶中提取有效模型進而應用模型，此時，思維具有提取的過程.因此思維的過程性在數學學習中至關重要.在初三數學學習中，學生接觸的壓軸題越來越多，很多學生對于壓軸題淺嘗輒止，又或畏難止步.原因在于壓軸題是思維的制高點，題中含有的思維變化太多，立刻完成壓軸題的破題，難度很大.每位教師對于壓軸題的破題技巧各有千秋.就壓軸題類型而言，筆者認為，一部分題中隱含常用模型，可運用模型思想破題［1］；一部分有多個思維起點，則可選擇不同的思維起點破題［2］.但思維的起點只有一個時，如何破題？

圖1

原題展示：如圖1，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點，A點在原點左側，B點的坐標為（4，0），與y軸交于點C（0，-2），點P是直線BC下方拋物線上一動點.

（1）求這個二次函數的表達式.

（2）過點P分別作平行于x軸、y軸的直線，分別交直線BC于點E、F.

①求線段PF的最大值；

②將△EPF沿直線BC翻折得到△EP1F，若P1恰好落在坐標軸上，直接寫出P點的坐標.

原題分析：此題是筆者任教學校初三年級檢測卷中的壓軸題，班級得分率只有35%左右.最大的失分點在于第二小題的第二小問，筆者發(fā)現本題的思維起點只有將△EPF沿直線BC翻折得△EP1F，整理信息，即為點P、點P1關于直線BC對稱.在實際課堂教學中，筆者嘗試逐漸進行“思維進化”進而破解壓軸題.

思路1簡析：點P、P1關于直線BC對稱，則直線BC垂直平分線段PP1.設點P的坐標，求關于直線BC的對稱點P1的坐標，由點P1的坐標特征破題.

思路2簡析：點P、P1關于直線BC對稱，則直線BC垂直平分線段PP1.先設直線PP1的解析式，通過P1的坐標表示點P的坐標，然后代入二次函數解析式，求出點P1的坐標，進而求出直線PP1的解析式，通過函數圖像相交求點P的坐標破題.

圖2

思路3簡析：點P、P1關于直線BC對稱，則直線BC垂直平分線段PP1.先設點P的坐標，求出直線PP1的解析式，然后求出點P1的坐標，再通過中點坐標公式求得線段PP1的中點，代入直線BC的解析式破題.

分析：其實從本質而言，三種解題方法是一樣的，就是由P（不定）、P1（不定）、H（不定）、直線BC的解析式（定）、二次函數的解析式（定），進行不同的優(yōu)先組合而已.這三種方法都需要一定的參數運算能力.在實際教學中，只針對方法3進行了分析.筆者進而思考如何對思維進行進化.

思路簡析4：點P為拋物線上一動點，則主動點P的運動軌跡為拋物線，關于直線BC的對稱點P1為從動點，則點P1的軌跡也為拋物線，兩者應該關于直線BC成軸對稱，但P1的軌跡形成的拋物線無法求得，因此反其道而行之，嘗試把坐標軸關于BC成軸對稱，那么點P就應該為新坐標軸理解了以后，這道題就相對簡單了.由△OBC與△CMB關于BC成軸對稱分析，只需求點M的坐標即可，點O為定點、BC為定直線，則點M的求法較多，筆者用了以下兩種方法.

方法4：設CN=a，MN=b.因為CM=OC=2，所以可得a2+b2=4；△ONM △BOC，可得a+3=2b.解方程組即可求得點M的坐標.再分別求直線BM、CM的解析式，與二次函數聯(lián)立就可求得點P.

方法5：在△BOC中，OB=4，OC=2，求得tan∠ABC=，求得直線BM的解析式，與二交點即為點P.另一解通過求直線CM的解析式與拋物線相交即可.

思路5簡析：既然想到了翻折，那不妨把△EPF沿BC翻折，使得點P1就在y軸上，針對∠AP1F為直角構造K型求得：PE=8m-2m2；PF=4m-m2.

圖3

方法6：如圖4，△FHP1△P1GE，且相似比為1∶2.設HF=a，則求得GP1=2a，GE=2m，則可列方程：2a+m=8m-2m2；a+4m-m2=2m.另一解同理可求.此時思路清晰易懂.

圖4

教學反思：在實際教學時，筆者選擇了方法3、方法4、方法6進行教學，進而總結壓軸題中求點的坐標的常用策略.（1）設點的坐標，通過題意分析，列方程.（2）分析題意，求過要求點的函數解析式，通過方程組解決.筆者認為在壓軸題教學時，從一道壓軸題出發(fā)，歸類一類問題的解決策略，進而選用恰當的思維起點分析，是壓軸題教學的真正目的，也有利于幫助學生建立恰當的思維路徑.思維具有過程性的特征決定了思維的動態(tài)性，即問題的思維過程包含知識搜索及結論推理的過程.在知識搜索的過程中，結合結論推理得出相關結論，利用這些結論探索破題點的分析方式即為過程性分析.在上例中發(fā)現問題實質是點P、點P1關于直線BC對稱，可利用這一結論破題.然而進一步分析，直線BC垂直平分線段PP1，則利用垂直平分線上任意一點到線段兩端點距離相等，也可利用這一結論列方程破題.再進一步分析，還可以構造以C為圓心、OC為半徑的圓.過程性分析初期會發(fā)現知識點運用簡單，但是可能運算較復雜，但是隨著思維逐步“進化”，思路越來越寬，解法越來越活.因此，過程性分析的前提是知識需要系統(tǒng)化.

感悟1：學習的過程往往是經驗性知識的累積過程，而解決問題則是提取經驗性知識并以此破題的過程.在壓軸題處理時，往往在限定的時間內無法立刻破題，那就立刻需要在給定的前提條件下推理出所有可能性結果.進而轉換角度，進一步思考求出所有可能性結果或者對其中一個結果進一步思考得出所有可能性結果.這個過程就需要知識完備.例如，碰到已知中出現垂直條件，那垂直的處理策略必須完備：勾股定理、三角函數、相似、k1k2=-1、圓等，如果選擇了三角函數處理，那又涉及三角函數的思維下枝.

感悟2：過程分析的結果肯定是凌亂的，因此在信息不完全的情況下，出現前提和結論不一致時，就需要對原來得出的結論進行調整或修正，直到知識結構達到一致性，此時問題可解.以上題為例，利用垂直平分線思維結果得出的破題方法思維含量較少，計算較復雜.那就轉換角度，思考得點P由函數圖像相交得到，二次函數一定，只需求得過點P的另一個函數的解析式即可.那就需要翻折直角坐標系，此時翻折直角坐標系就是翻折△BOC，即可求得點O的對應點M的坐標.繼續(xù)轉換角度，直角怎么用？構造K型相似是其中一個途徑.繼續(xù)往下分析，最終知識結構一致，那結果就創(chuàng)意無限了.

感悟3：過程性分析也有一個缺點，就是思維進程較長，結果數量會無限擴大.知識內容越完備，思維活躍度也就越大，容易造成脫離主題的結果，學生在操作的時候無法準確把握，會造成思維混亂的負面影響，這方面就需要教師進行梳理、引導.

所以在知識內容的完備性為推理前提下，不斷調整或修正，逐步形成過程性的分析結果，直至知識結構一致，進而實現壓軸題破題，也是處理壓軸題的技巧之一.