☉安徽省淮南二中 王 勇

作為教學(xué)推手及風(fēng)向標(biāo)的高考試題是高考命題專家深入思考、長(zhǎng)久醞釀、反復(fù)打磨的精品，能很好地體現(xiàn)教育者的智慧，反映最前沿的教育理念，折射高校的選人標(biāo)準(zhǔn)，也能從一個(gè)側(cè)面管窺社會(huì)對(duì)人才的需求方向，一般都有研究和教育教學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.有詩(shī)人說：“千尺絲綸直下垂，一法才動(dòng)萬(wàn)法隨.”本文從對(duì)2017年全國(guó)卷Ⅲ第17題的解法賞析出發(fā)，探討其教育價(jià)值，希望對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有點(diǎn)啟發(fā)、對(duì)中學(xué)教師有點(diǎn)點(diǎn)撥、對(duì)教學(xué)改革有點(diǎn)幫助！

2017年全國(guó)卷Ⅲ第17題是一道三角函數(shù)求值及解三角形的綜合題，涉及三角變換、三角求值、正余弦定理及三角形面積等相關(guān)知識(shí).本題的多種解法考查了運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)了解決數(shù)學(xué)問題的思維的靈活性、建模的適用性、運(yùn)算的精確性，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性及開放性的思維品質(zhì)，對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)如何培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)有很好的導(dǎo)向作用.

一、多種解法展示

原題呈現(xiàn)：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

（1）求c；

（2）設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且AD⊥AC，求△ABD的面積.

解法1：在△ABC中，由余弦定理，得，從而可得

解法2：由解法1知，從而

所以D是BC中點(diǎn)，從而

解法3：

解法4：由余弦定理，得，從而

解法5：設(shè)

在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD，

解法6：如圖1所示，過點(diǎn)B作BH⊥AB交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

在直角三角形ABH中，所以BH=2，

所以△ADC≌△HDB，有BD=DC，故D是BC中點(diǎn)，

解法7：如圖2所示，過B作BH⊥AC交CA的延長(zhǎng)線于H.在直角三角形ABH中，，所以AH=2，所以A是HC中點(diǎn)，而BH∥DA，所以D是BC中點(diǎn)，從而

圖1

解 法8：設(shè)，則

解法9：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則

直線BC的方程為

令x=0，則，故D點(diǎn)坐標(biāo)為

從而D是BC中點(diǎn)，

二、教育價(jià)值淺析

本題上述幾種解法涵蓋了高中數(shù)學(xué)所涉及到的三角法、代數(shù)法、幾何法、向量法、解析法，并體現(xiàn)了兩種或兩種以上方法的綜合應(yīng)用.下面從以下幾點(diǎn)來(lái)分析其教育價(jià)值：

1.三角法

解法1、2、3、4體現(xiàn)了三角法在本題中的應(yīng)用.三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的一類重要函數(shù)模型，在很多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用.這種解法是將一般的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為三角符號(hào)，然后用三角運(yùn)算、分析推理求出答案.學(xué)生通過從一些基本公式出發(fā)推導(dǎo)結(jié)論，體會(huì)演繹推理的內(nèi)涵以及三角恒等變換的邏輯體系.應(yīng)用正弦定理、余弦定理解三角形加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的理解，同時(shí)又強(qiáng)化了與三角恒等變換的橫向聯(lián)系，從復(fù)雜的問題中抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決.因此，通過三角法的運(yùn)用，可以使學(xué)生在解決問題的過程中深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理與運(yùn)算能力，并增強(qiáng)了學(xué)生分析問題、解決問題的意識(shí).

2.代數(shù)法

解法5體現(xiàn)了代數(shù)法在本題中的應(yīng)用.函數(shù)與方程、不等式思想是高中數(shù)學(xué)的主線之一，這一數(shù)學(xué)思想貫穿高中數(shù)學(xué)始終.本題通過建立方程（組）找到等量關(guān)系，使復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問題得以靜態(tài)解決.在高中階段，學(xué)生要能夠用方程思想去研究問題、解決問題，并在頭腦中形成方程思想的雛形，才能以靜制動(dòng)、以不變應(yīng)萬(wàn)變.這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的要求，更是數(shù)學(xué)發(fā)展所必須的.

3.幾何法

解法6、7體現(xiàn)了幾何法在該題中的應(yīng)用.平面幾何中的演繹推理，是一種直觀化、形象化的數(shù)學(xué)模型.本題通過添加恰當(dāng)?shù)妮o助線，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.用平面幾何解決三角形問題對(duì)高中生來(lái)說本身就是一種跨越，信息整合的過程就是培養(yǎng)學(xué)生分析圖形、培養(yǎng)其直觀想象能力的過程.目前高中教材對(duì)平面幾何的內(nèi)容涉及較少，高考中更是沒有直接體現(xiàn).這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力不得不說是一種遺憾.

4.解析法

解法8體現(xiàn)了向量法在本題中的應(yīng)用.具有代數(shù)與幾何雙重屬性的向量在高中階段的重要性是不言而喻的，特別是用向量解傳統(tǒng)平面幾何問題可謂是“神來(lái)之筆”.本題的向量解法過程真是簡(jiǎn)潔、美觀、干凈利索，并讓人有意猶未盡之感.通過向量運(yùn)算有助于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)各板塊之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程，提高學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力.

5.向量法

解法9體現(xiàn)了解析法在本題中的應(yīng)用.笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何學(xué)是人類歷史上的一項(xiàng)重大發(fā)明，是數(shù)學(xué)史上一次劃時(shí)代的轉(zhuǎn)折.解析法的本質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.本題用解析法解決實(shí)際上是一次思維的跳躍，不但體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)解析法的理解、對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，更展現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

總之，一題多解考查了學(xué)生思維的深度與廣度以及運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力，從而可以評(píng)判出學(xué)生能力與素養(yǎng)的差異.在數(shù)學(xué)課上多進(jìn)行一題多解訓(xùn)練可以開闊學(xué)生的視野，調(diào)動(dòng)學(xué)生探索問題的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與創(chuàng)新意識(shí).一線數(shù)學(xué)老師要深入挖掘經(jīng)典考題的教學(xué)價(jià)值，多角度、多方位進(jìn)行應(yīng)用，使低效無(wú)趣的解題課堂變得高效而精彩！