張靜

[摘 要]在構(gòu)建分?jǐn)?shù)概念時(shí)，為了便于學(xué)生理解，因而臨時(shí)創(chuàng)建了中間概念單位“1”。單位“1”的引進(jìn)確實(shí)讓分?jǐn)?shù)的概念更容易被接受，也更有說服力，但也帶來了新問題，究竟何為單位“1”？單位“1”與自然數(shù)“1”有什么關(guān)系？教材未做詳盡解釋，學(xué)生即使翻遍參考書，也沒有解開疑問。

[關(guān)鍵詞]單位“1”;自然數(shù)“1”;度量

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）02-0091-01

學(xué)生認(rèn)為把一些物體的集合視為一個(gè)整體，就是單位“1”，而整體中的最小個(gè)體，就是自然數(shù)“1”。換言之，需要平均分配時(shí)，被分配的對象就是單位“1”，計(jì)數(shù)時(shí)是自然數(shù)“1”。例如，把12瓶啤酒視為一個(gè)被平均分配的整體時(shí)，這12瓶啤酒就是單位“1”，其中每一瓶啤酒就用自然數(shù)“1”表示。

一、回溯數(shù)的概念

傳統(tǒng)的解釋看似詳細(xì)，實(shí)則是沒有科學(xué)地區(qū)分單位“1”與自然數(shù)“1”，只是用生活情境比喻，如每3個(gè)水蜜桃為一堆，有4堆，那么3個(gè)水蜜桃既可以構(gòu)成整體單位“1”，又可以構(gòu)成自然數(shù)“1”（4堆中的1堆），此時(shí)單位“1”和自然數(shù)“1”就沒有差別。既然兩者的意義接近，那么教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，為何要說把單位“1”平均分成若干份，而不能說把自然數(shù)“1”平均分成若干份？很多人弄不明白單位“1”與自然數(shù)“1”的異同，也就無法正確認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義，自然理不清分?jǐn)?shù)與整數(shù)的關(guān)系。

教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)怎樣自然地從整數(shù)過渡到分?jǐn)?shù)？如何將二者統(tǒng)一起來？這是教師在教學(xué)時(shí)需要考慮的問題。然而學(xué)生要樹立正確的分?jǐn)?shù)觀，就要認(rèn)清“何為單位‘1？何為自然數(shù)‘1？二者的關(guān)系是什么？”等問題。

二、從度量角度區(qū)分

人類因?yàn)槎攘俊⒂?jì)量、測量的需要，發(fā)明了數(shù)，從這一本質(zhì)出發(fā)，就能將整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一起來，統(tǒng)一起來后的整數(shù)和分?jǐn)?shù)融為一體，學(xué)生便能自然投入分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)。因?yàn)槎攘恳_立統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即要規(guī)制度量單位，而這個(gè)度量單位就是單位“1”，又因?yàn)槎攘繂挝坏闹贫ň哂须S意性，所以單位“1”不一定是單個(gè)不可拆分的物體，它可以是一個(gè)群體或單件的物體。由于用單位“1”度量時(shí)，有時(shí)測得的次數(shù)或倍數(shù)為整數(shù)，此時(shí)結(jié)果正好用次數(shù)記錄;有時(shí)測得的次數(shù)或倍數(shù)不為整數(shù)，這時(shí)就要重新測定剩余部分的大小，剩余部分不夠一個(gè)單位“1”，于是只能尋求體量更小的度量單位來度量和計(jì)數(shù)。這種為剩余部分專設(shè)的新單位“1”，就是分?jǐn)?shù)。

例如，將1米設(shè)為度量單位“1”，度量一根跳繩，測了5次后，還剩余一截短繩，怎樣記錄這根跳繩的全長？此時(shí)，只能將1米平均分成10份，取其中一份的長度（0.1米）作為新的較小度量單位，來測量剩余部分。假如對剩余繩長又量了4次再無剩余，重新度量的這4次就是全新的計(jì)數(shù)方式，記錄為0.4米;加上前面的5次測量結(jié)果，跳繩的全長為5.4米。

又如，分裝20枚硬幣，每6枚硬幣裝一筒，能裝幾筒？題意是把6枚硬幣看作一個(gè)度量單位來量（裝），看能量（裝）幾次？我們知道20÷6=3（筒）……2（枚），即量3次（裝3筒）后余2枚硬幣。把剩余的2枚硬幣以“筒”為單位度量，此時(shí)需要把原度量單位“1”（即6枚硬幣）平均分成6份，用其中的1份（[16]筒即1枚硬幣）重新度量剩下的2枚硬幣，恰好度量2次。二次度量的2次換作原度量單位，記錄為[26]次，也就是[26]筒，所以合并兩次度量結(jié)果為3[26]筒。

由上述題目不難看出，分?jǐn)?shù)實(shí)際上是用較小度量單位測得的數(shù)據(jù)折算成較大度量單位計(jì)數(shù)。故整數(shù)和分?jǐn)?shù)可以互化互通。若是用較大度量單位測得的數(shù)據(jù)折算成較小度量單位，分?jǐn)?shù)就變成整數(shù)。

三、此“1”時(shí)，彼“1”時(shí)

經(jīng)上述分析可知，單位“1”與自然數(shù)“1”的異同有以下幾點(diǎn)。（1）單位“1”是一個(gè)抽象的人為設(shè)定的標(biāo)準(zhǔn)，而自然數(shù)“1”是不可分割的最低度量次數(shù)。（2）單位“1”可以在度量前規(guī)定，而自然數(shù)“1”則是度量時(shí)實(shí)際發(fā)生的次數(shù)。（3）單位“1”是度量前的靜態(tài)規(guī)劃，而自然數(shù)“1”是在度量、數(shù)數(shù)時(shí)的動態(tài)生成。（4）單位“1”屬于量，而自然數(shù)“1”屬于數(shù)。（5）兩者是客觀與主觀、單位與數(shù)字的關(guān)系，與整體或個(gè)體、等分或不等分沒有必然聯(lián)系。

總之，單位“1”是一個(gè)量，是可以分割為下一級單位的，而自然數(shù)“1”是一個(gè)數(shù)，是不可分割的。單位“1”與自然數(shù)“1”既有本質(zhì)的區(qū)別，又有密不可分的聯(lián)系。只要明確了單位“1”和自然數(shù)“1”的聯(lián)系與區(qū)別，學(xué)習(xí)數(shù)的知識時(shí)就能順利從整數(shù)過渡到分?jǐn)?shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)就能有機(jī)統(tǒng)一了。

（責(zé)編 黃 露）