胡致遠(yuǎn)，楊向宇，趙世偉，裴云慶，曹江華

(華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣州 510640)

0 引 言

Halbach陣列是一種特殊的永磁體陣列磁化方法[1]，用于提高永磁電機(jī)的性能。近年來(lái)，為了適合不同的應(yīng)用場(chǎng)合，各種Halbach陣列充磁的新型永磁電機(jī)被研發(fā)出來(lái)[2-5]。最初的Halbach磁化陣列采用連續(xù)結(jié)構(gòu)，考慮到Halbach陣列磁化困難，在實(shí)際應(yīng)用中通常采用離散形式[6-7]。Mellor, P.H.提出了一種主極和輔助極不均勻的Halbach陣列[8]，通過(guò)實(shí)驗(yàn)和仿真證明，通過(guò)調(diào)整每極分塊方式和塊間氣隙來(lái)降低永磁電機(jī)諧波失真率是可行的。

Halbach陣列電機(jī)的分析通常采用解析法進(jìn)行分析?？紤]到電樞齒槽效應(yīng)對(duì)電機(jī)氣隙磁密的影響，學(xué)者們通常采用保角映射[9]的方法來(lái)提高解析結(jié)果的準(zhǔn)確性，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該方法的有效性[10]。

隨著計(jì)算機(jī)運(yùn)算能力的日漸強(qiáng)大，人工智能的發(fā)展速度和技術(shù)的更新?lián)Q代速度越來(lái)越快，更多復(fù)雜問(wèn)題可以用更加智能和科學(xué)的方法來(lái)解決。遺傳算法(GA)在電機(jī)優(yōu)化方面已應(yīng)用多年，對(duì)于解決非凸問(wèn)題有許多優(yōu)點(diǎn)。但不同的問(wèn)題有不同的特點(diǎn)，目前沒(méi)有一種優(yōu)化算法可以解決所有優(yōu)化問(wèn)題，即無(wú)免費(fèi)午餐定理(NFL)[11]，因此，研究人員改進(jìn)現(xiàn)有的算法以提供更好的結(jié)果。本文采用了一種新的元啟發(fā)式優(yōu)化技術(shù)MVO用于優(yōu)化電機(jī)的結(jié)構(gòu)。

1 電機(jī)模型和主要參數(shù)

本文采用一種五塊不等厚永磁體間隔排列，并以幾何中心對(duì)稱的方式來(lái)合成一極磁場(chǎng)。每塊永磁體的充磁角度符合永磁體的每一極被分成不同角度和厚度的五塊。塊與塊之間有一個(gè)低于1度的氣隙。如圖1(a)所示，該結(jié)構(gòu)有6個(gè)參數(shù)需要確定。k2為塊①與塊②之間的厚度比例;k1為塊①與塊③之間的厚度比例。m為塊①的左邊緣點(diǎn)，n和a分別為塊②的右邊緣和左邊緣點(diǎn)，b為塊③的右邊緣點(diǎn)。電機(jī)主要參數(shù)如表1所示。為了設(shè)計(jì)出合理的電機(jī)結(jié)構(gòu)，變量之間的約束條件如下：

0

(1)

0

(2)

m>4°

(3)

n-m>3°

(4)

b-a>3°

(5)

為了滿足基本要求，塊①的厚度的最小值是2.5 mm。每塊的瓦型結(jié)構(gòu)是平行充磁的。如果θ的永磁體的幾何中心，其磁化方向?yàn)棣萴=(1-p)θ，式中p是電機(jī)極數(shù)，在本文中取p=2，如圖1(b)所示。

表1 電機(jī)主要參數(shù)

圖1 電機(jī)結(jié)構(gòu)

2 不計(jì)齒槽效應(yīng)電機(jī)模型解析

對(duì)于表貼式永磁同步電動(dòng)機(jī)，為了建立其簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型，現(xiàn)對(duì)電機(jī)作如下假設(shè)：

(1)忽略定子鐵心的齒槽效應(yīng)。

(2)假設(shè)電機(jī)的氣隙是均勻分布的。

(3)假設(shè)鐵心磁導(dǎo)率無(wú)窮大。

(4)忽略永磁電機(jī)漏磁的影響。

以永磁體和氣隙為求解區(qū)域，氣隙中：

(6)

式中，μ0為空氣磁導(dǎo)率，B1和H1分別為氣隙中的磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。

在永磁體中：

(7)

式中，M0為永磁體剩磁。B2和H2分別為永磁體中的磁通密度和磁場(chǎng)強(qiáng)度。

(8)

式中，Mr為M0的徑向分量，Mθ為M0的切向分量。對(duì)于離散型Halbach表貼式永磁同步電機(jī)，如圖1所示。徑向和切向磁化分量可表示為式(9)和式(10)。

(9)

(10)

式中，Mr為偶函數(shù)，Mθ為奇函數(shù)，它們的傅里葉展開(kāi)式僅包含恒定分量和奇數(shù)項(xiàng)(偶數(shù)項(xiàng))，其結(jié)果如下所示：

(11)

(12)

其傅里葉系數(shù)的計(jì)算結(jié)果如下所示：

(13)

結(jié)合式(3)到式(15)，電機(jī)內(nèi)部的合成氣隙磁密為各部分結(jié)果的疊加，其解析結(jié)果為式(16)到式(18)。其中Bθ和Br分別為空氣域氣隙磁密的切向分量和徑向分量。其中Rk為各永磁體外表面至鐵心中心的長(zhǎng)度，其中k∈[1，2，3]。無(wú)齒槽效應(yīng)的氣隙磁密的有限元分析結(jié)果和解析結(jié)果的對(duì)比如圖2所示。

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

圖2 氣隙磁密

3 計(jì)及齒槽效應(yīng)電機(jī)模型解析

保角變換是一種強(qiáng)大的分析方法，已在現(xiàn)代技術(shù)的多個(gè)領(lǐng)域內(nèi)應(yīng)用。保角映射能夠?qū)?fù)雜區(qū)域轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單區(qū)域。Schwarz-Christoffel變換是將多邊形上表面變換為多邊形內(nèi)部的變換[12]。將定子槽簡(jiǎn)化成開(kāi)槽無(wú)限深的模型，此無(wú)限槽深的槽口寬度等于實(shí)際槽口的寬度，因?yàn)槎ㄗ硬鄣拇艌?chǎng)基本集中在槽口附近，所以此簡(jiǎn)化方法對(duì)結(jié)果的影響不大。以修正上述分析結(jié)果。計(jì)及齒槽效應(yīng)的磁通密度Br與不計(jì)齒槽效應(yīng)的磁通密度Bk之間的關(guān)系為：

(19)

式中，λ*為氣隙磁導(dǎo)復(fù)數(shù)。這里認(rèn)為槽口是無(wú)限深的。

為了得到上式中的氣隙磁導(dǎo)復(fù)數(shù)，需要四個(gè)步驟，首先是由S平面變換到Z平面。

z=ln(s)

(20)

其中，s=m+jn=rejθ，z=x+jy。

通過(guò)Schwarz-Christoffel變換，將Z平面變換到W平面如下所示：

該藥的局部用藥方法為腹腔鏡下或超聲輔助下妊娠囊穿刺注射,可把胚胎直接殺死。近幾年,在該藥的局部給藥治療中,經(jīng)超聲輔助穿刺用藥最常用,于超聲輔助下明確穿刺路徑,把穿刺針置入輸卵管胚囊后,盡可能吸光囊內(nèi)積液,再把10~50 mg MTX溶于2~4 ml的0.9%氯化鈉溶液內(nèi),并注入胚囊里。局部給藥時(shí)無(wú)需進(jìn)行麻醉,能直接作用于異位妊娠包塊中,使病灶獲得較高的藥物濃度,因此具有見(jiàn)效時(shí)間短、疼痛輕微、費(fèi)用低等優(yōu)勢(shì),且具有治療時(shí)間相對(duì)短的特點(diǎn)。有文獻(xiàn)指出,治療未破裂型異位妊娠,經(jīng)超聲輔助下穿刺注射甲氨蝶呤的治療效果優(yōu)于肌肉注射,操作便捷,準(zhǔn)確安全。

(21)

(22)

(23)

(24)

然后，從W平面變換到T平面：

(25)

最后，由T平面變換到K平面如下：

k=et

(26)

結(jié)合式(20)至式(26)，氣隙磁導(dǎo)復(fù)數(shù)的計(jì)算如下：

(27)

計(jì)及開(kāi)槽的電機(jī)空載氣隙磁密波形如圖3所示。

圖3 計(jì)及開(kāi)槽的電機(jī)空載氣隙磁密

4 基于MVO的算法優(yōu)化

NFL理論已經(jīng)證明，沒(méi)有一種優(yōu)化算法可以解決所有的優(yōu)化問(wèn)題。這一理論顯然使電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題變得非常開(kāi)放，研究者可以改進(jìn)原有的優(yōu)化算法或發(fā)現(xiàn)新的自適應(yīng)優(yōu)化算法來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題，使電機(jī)設(shè)計(jì)更加科學(xué)高效?？紤]到遺傳算法的早熟收斂性、局部搜索能力差和種群同化較晚，2015年Seyedali Mirjalili首次提出了一種新的自然啟發(fā)算法，稱為MVO[13]。

在多目標(biāo)優(yōu)化中，局部搜索和全局搜索之間的權(quán)衡是很難處理的。不同的局部搜索和全局搜索的匹配將導(dǎo)致不同的搜索算法，如粒子群算法(PSO)、遺傳算法(GA)、蟻群算法(ACO)和模擬退火算法(SA)[14-15]。Seyedali Mirjalili比較了MVO算法與上述算法的搜索能力，證明了該算法在處理不同復(fù)雜函數(shù)時(shí)的優(yōu)越性。此外，該算法被用來(lái)解決一些結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題。Indrajit N.Trivedi.還利用MVO算法處理電力系統(tǒng)的無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題[16]。本文首先將MVO算法應(yīng)用到電機(jī)設(shè)計(jì)過(guò)程中。

假設(shè)每個(gè)解都是一個(gè)宇宙，解中的每個(gè)變量都是該宇宙中的一個(gè)對(duì)象。該解所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值被指定為宇宙膨脹率。此外，迭代次數(shù)被宇宙學(xué)中的術(shù)語(yǔ)‘時(shí)間’來(lái)代替。

正如GA一樣，白洞的產(chǎn)生是由輪盤(pán)輪機(jī)制決定的。在每次迭代中，根據(jù)宇宙的宇宙膨脹率對(duì)各個(gè)宇宙進(jìn)行排序，由賭輪盤(pán)選擇其中之一以形成白洞。

通過(guò)上述機(jī)制，黑洞和白洞將不斷地交換物體而不受擾動(dòng)。為了增強(qiáng)全局搜索能力，認(rèn)為每個(gè)宇宙都有蟲(chóng)洞隨機(jī)地穿越空間傳送物體。為了提高算法的局部尋優(yōu)能力，本文只考慮被選擇的宇宙和最優(yōu)宇宙之間建立蟲(chóng)洞。這一機(jī)制的運(yùn)行公式如下：

(28)

(29)

(30)

式中，l為當(dāng)前迭代次數(shù)，L為最大迭代次數(shù)，p為迭代的精度。max和min分別是蟲(chóng)洞存在可能性的最大值和最小值，本文將其設(shè)定為min=0.7，max=1，其中min可調(diào)，范圍0-1。

MVO在電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的操作步驟如下：

第 1步：隨機(jī)創(chuàng)建宇宙并獲得第一次迭代的最佳宇宙?zhèn)€體。

第2步：計(jì)算所有宇宙?zhèn)€體的膨脹率。

第3步：更新W和T的值。

第4步：交換黑洞和白洞內(nèi)的物體。

第5步：選定宇宙通過(guò)蟲(chóng)洞連接最佳宇宙。

第6步：如果迭代次數(shù)達(dá)到了設(shè)定值，則最優(yōu)個(gè)體將被選出，否則它將返回到步驟2。

此外，在進(jìn)行全局搜索和局部搜索時(shí)，搜索范圍必須滿足電機(jī)的結(jié)構(gòu)要求，因此，在計(jì)算目標(biāo)函數(shù)之前，必須檢查一些約束條件。

因此，本文將優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)設(shè)定：THD*V/B1，其中THD為氣隙磁密諧波畸變率，V為永磁體體積，B1為氣隙磁密基波幅值。

5 結(jié)果比較

本文通過(guò)兩種不同的優(yōu)化算法(MVO和GA)對(duì)電機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化。在本節(jié)中，將比較兩種算法搜索能力和優(yōu)化結(jié)果。并通過(guò)有限元分析，將優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)(均勻Halbach結(jié)構(gòu))進(jìn)行了比較。

通常，迭代次數(shù)應(yīng)該選擇為合適的值。次數(shù)不能太多，因?yàn)樗荒芊从硟蓚€(gè)最優(yōu)過(guò)程的差異。然而，次數(shù)也不能太少，因?yàn)樗赡懿粫?huì)收斂。為了反映MVO的效果和優(yōu)點(diǎn)，將迭代次數(shù)設(shè)置為50次。

圖4 目標(biāo)函數(shù)值的搜索軌跡

圖4為目標(biāo)函數(shù)值的搜索軌跡和收斂曲線。從圖中可以看出，MVO算法能夠在早期就找到較低的目標(biāo)函數(shù)值，在第50次迭代次數(shù)時(shí)能夠找到比GA更優(yōu)的解。

圖5 MVO和GA的搜索能力

MVO和GA的搜索能力的對(duì)比結(jié)果如圖5(a)和圖5(b)所示。MVO和GA的總體種群數(shù)為20，迭代次數(shù)為50，所以有1000個(gè)搜索點(diǎn)。該圖顯示了50次迭代的搜索過(guò)程，反映了全局搜索和局部搜索能力。圖5(a)為變量m和a中MVO的搜索能力，圖5(b)為變量m和a中GA的搜索能力，紅圈表示搜索點(diǎn)，紅線表示問(wèn)題域。從圖6(a)中可以看出，MVO的搜索范圍甚至擴(kuò)展到邊界處。此外，任何兩紅圈之間都有一定的距離，這反映了它的全局搜索范圍是均勻分布的。圖5(a)中有一個(gè)相對(duì)較大的密集區(qū)域，反映了局部搜索能力?？梢钥闯?，即使是密度較大的區(qū)域，任何兩個(gè)搜索點(diǎn)之間仍然有一定的距離，當(dāng)接近密度較大區(qū)域的中心時(shí)，距離逐漸減小。這種搜索模式非常適合于求解電機(jī)優(yōu)化問(wèn)題。從圖5(b)可以看出，GA不能搜索求解領(lǐng)域的全部區(qū)域，搜索點(diǎn)都集中在相對(duì)較小的密集區(qū)域，這可能是由于遺傳算法陷入了不是最優(yōu)解的局部收斂區(qū)域。

優(yōu)化后的電機(jī)結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量結(jié)果如表2所示。其目標(biāo)函數(shù)值如表3所示。從表2中可以看出，GA得到的結(jié)果與MVO得到的結(jié)果有一定的差異。從表3可以看出， MVO優(yōu)化的電機(jī)性能優(yōu)于GA。

表2

表3

圖6顯示了在相同永磁用量的前提下，傳統(tǒng)均勻Halbach結(jié)構(gòu)與新型不均勻Halbach結(jié)構(gòu)的性能對(duì)比。圖6(a)為不同結(jié)構(gòu)的氣隙通量密度分布?？梢?jiàn)，新型結(jié)構(gòu)都能使氣隙磁通密度更接近正弦波形。通過(guò)對(duì)波形的分析，可以得到氣隙磁通密度的基波幅值和諧波幅值，如圖6(b)所示。從圖6(b)可以看出，非均勻Halbach可以得到幾乎相同的基波幅值，但氣隙通量密度的3、5、7、9、11次諧波幅值幾乎全部降為零，比均勻Halbach的要好。

圖6 不同結(jié)構(gòu)氣隙磁密

6 結(jié) 論

本文引入了先進(jìn)的MVO算法首次對(duì)電機(jī)領(lǐng)域進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。分析結(jié)果表明，在一定的迭代次數(shù)下，MVO方法能取得比GA較好的優(yōu)化結(jié)果。

基于二維有限元仿真結(jié)果表明了所提出的非均勻Halbach陣列結(jié)構(gòu)比傳統(tǒng)的均勻Halbach陣列永磁同步電機(jī)具有更好的性能。