彭培火，陳立明，王偉，何凡

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吊弦振動頻率及幅度對疲勞壽命的影響分析

彭培火1，陳立明2，王偉2，何凡1

(1. 北京建筑大學 理學院力學系，北京 102612；2. 中國鐵道科學研究院標準計量研究所，北京 100015)

推導吊弦的振動方程，用數值方法求解振動方程，模擬位移，橫截面作用力和彎矩的動態(tài)變化規(guī)律。根據吊弦的應力時程、利用MATLAB數值計算程序分析影響吊弦疲勞壽命的因素(如振幅和頻率)。數值計算結果表明：吊弦疲勞壽命的對數值隨著頻率和振幅的增加呈現(xiàn)出線性降低的趨勢。

吊弦；振動方程；有限差分法；應力時程；疲勞特征

接觸網是電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)的重要組成部分。吊弦是整個接觸網的“支架”，是接觸線、承力索之間振動和力的傳遞者，是供電接觸網安全運營的關鍵零部件。在高速鐵路實際運營中，由于隨機風場的作用，或受電弓在運行中產生強烈振動，或高鐵列車頂部的垂向位移激擾等，會引起吊弦的強烈振動。作用在吊弦上的循環(huán)應力極易引起疲勞破壞，發(fā)生吊弦斷股或斷裂的現(xiàn)象。如：2003年2月9日，京廣線許昌—孟廟段接觸網在暴風雪作用下，劇烈振動，吊弦折斷211根[1]。吊弦一旦發(fā)生斷裂，將直接導致列車運行故障。因此，對吊弦等接觸網零部件的疲勞特性的研究具有十分重要的意義。在供電接觸網系統(tǒng)的疲勞特征研究方面，諸多學者進行大量的工作。王曉陽等[2]利用ANSYS有限元軟件，采用直接積分法對弓網耦合系統(tǒng)進行動態(tài)仿真，得到接觸線的應力時程，通過簡化方法估算獲得材料曲線，最終運用線性累積損傷理論對接觸線的疲勞壽命進行研究。畢繼紅等[3?4]采用雨流計數法及Miner線性疲勞累積損傷理論計算得到接觸線各單元的疲勞壽命，對跨距、接觸線和承力索預張力、截面面積、列車行駛速度、抬升力、干摩擦等因素對接觸線疲勞壽命的影響進行研究。宋洋等[5]采用Davenport和Panosfsky功率譜對作用在接觸網上的隨機脈動風時程進行模擬，推導了作用在接觸網上的氣動力，對隨機風場下高速鐵路接觸線風振疲勞進行研究。在實際運營過程中，接觸網承受著不同振幅和頻率的交變載荷。如隨機風載荷的脈動頻率變化，或風速的大小引起吊弦振動幅度變化，或列車的運行速度變化對接觸網的干擾更加頻繁，或在受電弓的抬升作用下，接觸線的抬升量導致不同的振動幅度等，吊弦在這些因素的影響下，都可能表現(xiàn)出不同的疲勞特性。本文研究吊弦的振動幅度、振動頻率對吊弦疲勞壽命的影響。首先將吊弦簡化成在軸力、剪力與彎矩綜合作用下的組合變形構件，推導吊弦振動的微分方程組；其次采用數值求解的方法，將微分方程轉化成差分方程，并利用MATLAB軟件，編寫求解吊弦各個單元的應力時程的代碼以及彎矩、軸力、截面應力的可視化程序；然后基于巴斯坎(Basquin)方程得出的雙對數曲線圖和Palmgren–Miner線性疲勞累積損傷準則，利用由MATLAB編寫的疲勞壽命計算程序，通過改變數值計算的參數，對數值結果進行分析比較，研究以上因素對吊弦的疲勞行為的影響。

1 吊弦動應力計算

在高鐵列車供電弓網系統(tǒng)的實際運營過程中，當接觸網處于靜止狀態(tài)時，吊弦承受由接觸線恒定負載引起的拉伸載荷，吊弦處于拉伸狀態(tài)；當列車通過時，在受電弓的抬升作用下吊弦處于松弛狀態(tài)；列車通過后，在接觸線恒定負載的作用下吊弦回到拉伸狀態(tài)。每一次受電弓通過，吊弦完成一次周期振動?？梢詫⒌跸以趯嶋H工況下的振動等效為在吊弦與承力索連接點的簡諧振動激勵下引起的受迫振動，在吊弦的下端作用有一個由于接觸線重量產生的豎直向下的恒定的作用力(如圖1 所示)[6]。

圖1 吊弦疲勞原理

1.1 吊弦振動方程的推導

為了計算吊弦在上述等效實驗工況下的應力狀態(tài)，從其中取一段吊弦微元進行受力分析，如圖2所示。

圖2 吊弦微元段受力分析

為計算上的簡化和方便，引用以下無量綱 變量：

其中：表示吊弦的總長度；表示吊弦的密度；v表示方向的運動速度；v表示方向的運動速度；表示重力加速度；為彎矩；為抗彎剛度；為吊弦的彈性模量；為吊弦的橫截面積；為弧長坐標；為吊弦微元段與軸之間的夾角；f和f分別為吊弦上的作用力沿方向和方向的分量，正負號約定如圖2中所示。

根據吊弦微元段的受力和運動，可以得到如下的方程組：

初始條件可以表示為：

邊界條件可以表示為：

1.2 數值求解方法

方程組(1)為一組非線性偏微分方程，本文通過數值方法將微分方程轉換為差分方程，利用MATLAB編寫代碼求解差分方程組，最后求得吊弦運動的數值解。

1.3 計算參數

針對吊弦實際使用的銅絞線，在WDW?100型微機控制電子萬能材料試驗機上，利用電子引伸計測試軸向變形，進行彈性模量的測試實驗(如圖3所示)，測得其彈性模量為83.29 GPa。由于銅絞線是由多根銅絲絞合構成的，其彎曲剛度并不能簡單地等同于彈性模量乘以橫截面的慣性矩。早在1997年，Costello[7]就研究了絞線的宏觀力學行為，并推導了絞線彎曲剛度的計算公式。XING 等[8]利用ABAQUS建立的絞線有限元模型研究絞線的彎曲行為，得到不同螺旋角下絞線的等效抗彎剛度，計算結果與Costello模型接近。本文中吊弦的抗彎剛度參數基于Costello模型計算得出。由于吊弦振動過程中，截面應力主要由拉伸引起(通過比較考慮彎曲應力和不計入彎曲應力兩者之間的差別，可以發(fā)現(xiàn)彎曲應力的影響可以忽略)。銅絞線的彈性模量是利用萬能材料試驗機和電子引伸計直接測量得到的，可以保證抗拉剛度的計算參數是精確的。數值計算中各參數的具體取值如表1所示。

為了分析激勵頻率及振幅對吊弦截面應力的影響，利用MATLAB編寫了可視化程序，對吊弦振動過程中的彎矩、軸力和截面應力等實施動態(tài)顯示，可視化界面如圖4~5所示。

圖3 測試銅絞線的彈性模量

表1 數值計算中所采用的吊弦參數

圖4 吊弦動態(tài)振動過程、彎矩圖與軸力圖

圖5 吊弦動態(tài)振動過程、截面應力的變化過程

圖6 吊弦截面應力隨時間的變化過程

從圖6可以看出，驅動點按簡諧振動方程振動，隨著驅動點上抬，吊弦線被拉緊，應力發(fā)生減幅波動。當驅動點向下運動到原點時，吊弦開始松弛彎曲，瞬時受到較大的沖擊壓應力，隨之便迅速減小。在將吊弦拉直之前，其截面應力一直保持較小的壓應力。在驅動點向上運動的過程中，在將吊弦拉直的瞬時，吊弦受到非常大的沖擊應力，此時的拉應力數值為整個振動過程中的最大拉應力。在隨后的振動過程中，驅動點按簡諧振動往復循環(huán)運動，吊弦的截面應力基本也保持這樣的規(guī)律按相同的周期循環(huán)變化。

1.4 數值結果分析

1.4.1 振動頻率對吊弦截面應力的影響

通過將振幅固定為0.035 m，作用力固定為100 N，改變振動頻率進行計算分別得到吊弦截面在不同激勵頻率下的應力時程。統(tǒng)計在各個頻率下的最大和最小截面應力(如圖7所示)，可以看到，當頻率小于2.4 Hz時，最大截面應力隨頻率的增大而增大，最小截面應力隨頻率的增大而減小，二者都基本呈線性變化。當激勵頻率大于2.4 Hz之后，應力與頻率的關系變得復雜。通過對吊弦振動的動態(tài)過程仔細觀察，發(fā)現(xiàn)這是由于吊弦下端質量的運動幅度變得非常大，從而導致吊弦由彎曲松弛變?yōu)槔睆埦o的瞬時并不是發(fā)生在驅動點過原點時，此時吊弦下端質量與驅動點之間的相對速度與頻率的關系較為復雜，而瞬時沖擊力與該相對速度是密切相關的，于是最大應力與頻率之間不再呈現(xiàn)簡潔的線性關系。

圖7 吊弦截面的最大、最小應力與激勵頻率的關系

圖8 吊弦截面的最大、最小應力與振幅的關系

1.4.2 振幅對吊弦截面應力的影響

將作用力固定為200 N，激勵頻率固定為1 Hz，通過改變振幅分別進行計算得到吊弦在不同振幅下的應力時程。統(tǒng)計在各個振幅下的最大和最小截面應力如圖8所示。為了定量分析應力與振幅之間的線性相關性，分別計算振幅與最大截面應力之間的線性相關系數1=0.989 8≈1，振幅和最小截面應力之間的線性相關系數2=?0.969 2≈?1。從計算結果可以看到，最大和最小截面應力均與振幅呈非常好的線性關系，最大截面應力隨振幅的增大而線性增大，最小截面應力隨振幅的增大而線性減小。

2 吊弦疲勞壽命分析

2.1 振動頻率對疲勞壽命的影響

計算當振幅和作用力固定(振幅為0.035 m，作用力為100 N)，加載頻率變化時吊弦截面的應力時程曲線。根據以上各個加載頻率下吊弦截面的應力時程曲線，可以計算出吊弦的疲勞壽命，計算結果如圖9所示。由于疲勞壽命的跨度較大，縱坐標采用對數表示。從圖9可以看出，當頻率小于2.4 Hz時，吊弦疲勞壽命的對數值log與激勵頻率之間保持較好的線性關系，隨著頻率的增大而降低。當頻率大于2.4 Hz時，由于前述原因，疲勞壽命也出現(xiàn)了一定的波動，其對數值也不再簡單地線性 降低。

2.2 振幅對疲勞壽命的影響

根據當加載頻率和作用力固定，各不同振幅下的應力時程曲線，可以計算出吊弦的疲勞壽命，計算結果如圖10所示。從圖10可以看出，吊弦疲勞壽命的對數值log與振幅基本呈線性關系，隨著振幅的增大而線性降低。

圖9 吊弦疲勞壽命隨加載頻率的變化規(guī)律

圖10 吊弦疲勞壽命隨振幅的變化規(guī)律

3 結論

1) 吊弦截面的最大應力出現(xiàn)在吊弦由彎曲松弛變?yōu)槔睆埦o的瞬時，且隨著振動頻率和振幅的增加而線性增加。最小應力出現(xiàn)在緊隨最大應力之后，吊弦下端的質量由于慣性向上急劇上升引起吊弦壓縮的瞬時。最小應力隨著振動頻率、振幅的增加而線性減小。

2) 當振動頻率較小時，吊弦疲勞壽命的對數值基本與振動頻率呈線性關系；當振動頻率較大時，吊弦疲勞壽命不再隨頻率的增加而線性降低，而是出現(xiàn)上下波動。這與頻率較大時吊弦的應力時程的變化密切相關。

3) 從數值模擬的結果上看，吊弦疲勞壽命的對數值與振動幅度呈較好的線性相關性，隨著振動幅度的增加而線性降低。

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The effect of frequency and amplitude of dropper on its fatigue life

PENG Peihuo1, CHEN Liming2, WANG Wei2, HE Fan1

(1. Department of Mechanics, School of Science, Beijing University of Civil Engineering and Architecture, Beijing 102612, China; 2. Standards & Metrology Research Institute, China Academy of Railway Sciences, Beijing 100015, China)

First, the vibration equation of dropper was derived. Then the dynamic change laws of displacement, cross-sectional force and bending moment were simulated by solving vibration equation with numerical method. According to the stress-time curve, the factors affecting the fatigue life of dropper (such as amplitude, frequency) were analyzed by using the MATLAB code. The results of numerical calculation show that the logarithm of the fatigue life decreases linearly with the increase of frequency and amplitude.

dropper; vibration equation; finite difference method; stress-time curve; fatigue characteristics

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.02.025

U225.4

A

1672 ? 7029(2019)02 ? 0471 ? 07

2018?01?08

中國鐵路總公司科技研究開發(fā)計劃資助項目(2017J010-A)

何凡(1979?)，男，江西南昌人，副教授，博士，從事工程力學研究；E?mail：hefan@bucea.edu.cn

(編輯 陽麗霞)